Stora förenade teorier

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 mars 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

Grand Unified Theories [1] ( Eng.  Grand Unified Theory, GUT ) — inom elementarpartikelfysik, en grupp teoretiska modeller som beskriver de starka , svaga och elektromagnetiska interaktionerna på ett enhetligt sätt. Det antas att vid extremt höga energier (över 10 14 GeV ) kombineras dessa interaktioner. [2] [3] Även om denna enhetliga interaktion inte har observerats direkt, förutsäger många GUT-modeller dess existens. Om förenandet av dessa tre krafter är möjligt väcker detta frågan om att det fanns en stor förenande epok i det mycket tidiga universum där dessa tre grundläggande krafter ännu inte var separerade från varandra.

Experiment har bekräftat att vid hög energi kombineras den elektromagnetiska kraften och den svaga kraften för att bilda en enda elektrosvag kraft . GUT-modellerna förutspår att vid tillräckligt höga energier kombineras de starka växelverkningarna och de elektrosvaga växelverkan till en elektronisk kärnkraft. Denna interaktion kännetecknas av en enhetlig gaugesymmetri och därför flera kraftbärare, men en enhetlig kopplingskonstant [4] . Förening av gravitationen med elektronnukleär interaktion skulle leda till en teori om allt (TV) snarare än GUT. TVO ses ofta som ett mellansteg på vägen till TV.

De nya partiklarna som förutspås av GUT-modeller förväntas ha extremt höga massor i storleksordningen en GeV – bara några få storleksordningar under Planck-energin för en GeV – och därmed långt utanför räckhåll för något partikelkolliderexperiment under överskådlig framtid [5] [6] . Således kan partiklar som förutsägs av GUT-modeller inte observeras direkt, utan istället kan Grand Unification-effekter upptäckas genom indirekta observationer som protonsönderfall [5] , elektriska dipolmoment hos elementarpartiklar eller egenskaper hos neutriner [7] . Vissa teorier, som Pati-Salam-modellen, förutspår förekomsten av magnetiska monopoler .

GUT-modeller som syftar till att vara helt realistiska är ganska komplexa, även jämfört med standardmodellen , eftersom de behöver introducera extra fält och interaktioner, eller till och med extra dimensioner av utrymme. [8] [9] Huvudorsaken till denna komplexitet ligger i svårigheten att reproducera de observerade fermioniska massorna och blandningsvinklarna, vilket kan vara associerat med förekomsten av några ytterligare symmetrier som går utöver de vanliga GUT-modellerna. På grund av denna svårighet, och även på grund av frånvaron av någon observerbar effekt av GUT, finns det fortfarande ingen allmänt accepterad modell av GUT.

Modeller som inte kombinerar de tre interaktionerna med en enkel grupp som mätsymmetri, utan gör det med hjälp av semisenkla grupper som kan uppvisa liknande egenskaper och ibland också kallas GUT. [2]

Nackdelen med stora förenade modeller är det stora antalet partiklar och parametrar [10] .

Men många teoretiska fysiker tror att det inte är meningsfullt att kombinera dessa interaktioner utan gravitation , och vägen till den "stora föreningen" ligger genom skapandet av en " teori om allt ", troligen baserad på en av teorierna om kvantgravitation .

Historik

Historiskt sett föreslogs den första riktiga GUT, som var baserad på den enkla Lee-gruppen SU(5) , av Howard Georgi och Sheldon Glashow 1974 [11] [3] . Georgie-Glashow-modellen föregicks av Lee Pati-Salams halvenkla algebramodell som föreslagits av Abdus Salam och Jogesh Pati [12] som var pionjärer för idén om att förena gauge-interaktioner.

Förkortningen HBO myntades första gången 1978 av CERN-forskarna John Ellis, Andrzej Buras, Mary K. Gaillard och Dimitri Nanopoulos, men i den slutliga versionen av deras artikel [13] valde de en mindre betydelse (stor enande av massorna). Nanopoulos senare samma år [14] var den första som använde akronymen i tidningen [15] .

Motivation

"Antagandet" att de elektriska laddningarna av elektroner och protoner, så att säga, balanserar varandra är mycket viktigt - det är den yttersta noggrannheten i deras jämlikhet som är nödvändig för existensen av den makroskopiska världen som vi känner till. En sådan viktig egenskap hos elementarpartiklar förklaras dock inte i standardmodellen för elementarpartikelfysik. Medan beskrivningarna av starka och svaga interaktioner inom standardmodellen är baserade på gaugesymmetrier och styrs av enkla symmetrigrupper SU(3) och SU(2) , som endast tillåter diskreta laddningar, beskrivs resten, den svaga hyperladdningen , av U(1) Abels symmetri . , som i princip tillåter en godtycklig källladdning. [16] Den observerade laddningskvantiseringen, nämligen postulatet att alla kända elementarpartiklar bär elektriska laddningar som är exakta multiplar av ⅓ av elementarladdningen, har lett till idén att hyperladdningsinteraktioner och möjligen starka och svaga interaktioner kan byggas in i en stor enhetlig interaktion som beskrivs av en enda, större, enkel symmetrigrupp som innehåller standardmodellen. Således förklaras den kvantiserade naturen och värdena för alla laddningar av elementarpartiklar automatiskt. Det leder också till en förutsägelse av de relativa styrkorna hos fundamentala interaktioner som vi observerar, i synnerhet den svaga blandningsvinkeln. Större enande reducerar också idealiskt antalet oberoende indataparametrar, men dess utveckling begränsas av brist på experimentella data.

Storslagen förening påminner om föreningen av elektriska och magnetiska krafter genom Maxwells teori om elektromagnetism på 1800-talet, men dess fysiska konsekvenser och matematiska strukturer är kvalitativt olika.

Kombinera materiepartiklar

SU(5)

SU(5) är den enklaste TVÅ. Den minsta enkla Lie-gruppen som innehåller standardmodellen som den första TVO var baserad på är [5] :

.

Sådana gruppsymmetrier tillåter oss att betrakta flera kända elementarpartiklar som olika tillstånd i ett enda fält. Det är dock inte uppenbart att den enklaste möjliga versionen av den utökade symmetrin hos GUT ska ge den korrekta listan över egenskaper hos elementarpartiklar. Det faktum att alla för närvarande kända partiklar av materia passar perfekt in i tre kopior av den minsta grupprepresentationen från SU(5) och omedelbart bär de korrekta observerbara laddningarna är en av de första och viktigaste anledningarna till att teoretiska fysiker tror att GUT faktiskt kan realiseras i naturen.

De två minsta irreducerbara representationerna av SU(5) är 5 (den definierande representationen) och 10 . I standardrepresentation innehåller 5 laddningskonjugationen av en vänsterhänt d-quark färgtriplett och en vänsterhänt lepton isospin - dubbel [3] , medan 10 innehåller sex komponenter av U -typ kvark , en vänsterhänt d-quark färgtriplett och en högerhänt elektron. Detta schema måste reproduceras för var och en av de tre kända generationerna av materia. Det är anmärkningsvärt att teorin inte innehåller anomalier med detta materiella innehåll.

De hypotetiska högerhänta neutrinorna är en SU(5) singlett , vilket betyder att deras massa inte är förbjuden av någon symmetri; det behöver inte spontant symmetribrott, vilket förklarar varför dess massa skulle vara tung (se gungbrädamekanism).

SU(5) TVO-modellen förklarar varför d-kvarkens laddning är 1/3 och förutsäger protonens sönderfall och förekomsten av en magnetisk monopol [3] .

SO(10)

Nästa enkla Lie-grupp som innehåller standardmodellen är [3] :

.

Här är föreningen av materia ännu mer komplett, eftersom den irreducible spin - representationen 16 innehåller både typerna 5 och 10 från SU(5) och högerhänta neutrinos, och därmed kompletterar beskrivningen av partiklar av en generation av den utökade standardmodellen med massiva neutriner . Detta är redan den största enkla gruppen , med hjälp av vilken det är möjligt att skapa ett enda schema för att beskriva materia, inklusive endast redan kända partiklar av materia (förutom de som tillhör Higgs-sektorn ).

Eftersom de olika fermionerna i standardmodellen är grupperade tillsammans av gemensamma representationer, förutsäger GUT särskilt sambanden mellan fermionmassor, t ex mellan elektron och d-kvark , myon och s-kvark , och tau-lepton och b-kvark för SU (5) och SO(10) . Vissa av dessa massförhållanden håller ungefär, men de flesta inte (se Georgie-Jarlskog masskvot ).

Den bosoniska matrisen för SO(10) erhålls genom att ta 15 × 15 -matrisen av 10 + 5 - representationen av SU(5) och lägga till en extra rad och kolumn för den högerhänta neutrinon . Bosonerna beskrivs genom att lägga till en partner till var och en av de 20 laddade bosonerna (2 högerhänta W-bosoner, 6 massiva laddade gluoner och 12 X/Y-bosoner) och lägga till ytterligare en tung neutral Z-boson för att få totalt 5 neutrala bosoner. Varje rad och kolumn i bosonmatrisen kommer att innehålla ett boson eller dess nya partner. Dessa par kombineras för att skapa de berömda 16-dimensionella Dirac-spinormatriserna SO(10) .

E 6

I vissa former av strängteori , inklusive "E" 8  × "E" 8 heterotisk strängteori , liknar den resulterande fyrdimensionella teorin efter spontan kompaktering på en sexdimensionell Calabi-Yau-grenrör en GUT baserad på gruppen E 6 . Det är anmärkningsvärt att E 6 endast är en exceptionellt enkel Lie-grupp , för att ha några komplexa representationer som krävs för att konstruera en teori som innehåller kirala fermioner (nämligen alla svagt interagerande fermioner). Därför kan de andra fyra ( G 2 , F 4 , E 7 och E 8 ) inte vara HBO-mätgrupper.

Utökade TVOs

Icke-kirala förlängningar av standardmodellen med vektorspektra av delade multiplettpartiklar som naturligt förekommer i högre SU(N) GUT modifierar högenergifysiken avsevärt och leder till realistisk (strängskala) storslagen förening för de vanliga tre kvark-leptonfamiljerna även utan användning av supersymmetri (se . nedan). Å andra sidan, på grund av den nya saknade VEV-mekanismen som uppstår i den supersymmetriska SU(8) TVO, kan man hitta en samtidig lösning på gaugehierarkiproblemet (dubbel-triplettdelning) och smakföreningsproblemet [17]

GUT med fyra familjer/generationer, SU(8) : Låt oss anta att 4 generationer fermioner istället för 3 totalt 64 typer av partiklar. De kan sättas in i 64 = 8 + 56 representationer av SU(8) . Detta kan delas in i SU(5) × SU(3) F × U(1)  är SU(5) -teorin tillsammans med några tunga bosoner som verkar på generationsnumret.

GUT med fyra familjer/generationer, O(16) : Om man återigen antar 4 generationer av fermioner, kan partiklar 128 och antipartiklar placeras i en O(16) spinorrepresentation .

Symplektiska grupper och kvaternionrepresentationer

Man kan också överväga symplectic gauge grupper. Till exempel har Sp(8) (som kallas Sp(4) i artikeln den symplectic group ) en tillståndsrepresentation av en 4 × 4 kvartjoner enhetsmatris, som har en "'16"' dimensionell reell representation och så kan vara anses vara en kandidat för mätargruppen. Sp(8) har 32 laddade bosoner och 4 neutrala bosoner. Dess undergrupper inkluderar SU(4) så den kan åtminstone innehålla gluoner och en foton SU (3) × U (1) . Även om det förmodligen är omöjligt att göra det i denna representation, verkar svaga bosoner på kirala fermioner. En kvaternionrepresentation av fermioner kan vara:

En annan komplikation med kvarternionrepresentationer av fermioner är att det finns två typer av multiplikation, vänster multiplikation och höger multiplikation, som måste beaktas. Det visar sig att inkludering av vänster och höger 4×4 kvaternionmatris är likvärdigt med att inkludera en högermultiplikation med identitetskvaternion, som lägger till en extra SU(2) och så vidare har en extra neutral boson och två laddade bosoner till. Således är gruppen av vänsterhänta och högerhänta 4 × 4 kvaternionmatriser Sp(8) × SU (2) , vilket inkluderar standardmodellens bosoner:

Om är en quaternion-märkt spinor, är en quaternion av den hermitiska 4×4 - matrisen som härrör från Sp(8) och är en ren imaginär quaternion (som båda är 4-vektorbosoner), då är interaktionstermen:

Octonion representationer

En generation av 16 fermioner kan representeras som en oktonion , där varje element i oktonionen är en 8-vektor. Om 3 generationer sedan placeras i en 3x3 hermitisk matris med specifika tillägg för de diagonala posterna, så bildar dessa matriser en exceptionell Jordanalgebra som har en av de exceptionella Lie-grupperna som symmetrigrupp (F 4 , E 6 , E 7 eller E 8 ) beroende på detaljer.

Eftersom de är fermioner, blir Jordan algebra-antikommutatorerna kommutatorer. E 6 är känt för att ha en O(10) -undergrupp och är därför tillräckligt stor för att inkludera standardmodellen . En E 8 gauge-grupp skulle till exempel ha 8 neutrala bosoner, 120 laddade bosoner och 120 laddade antibosoner. För att ta hänsyn till 248 fermioner i den minsta E 8 -multipetten skulle de antingen behöva inkludera antipartiklar (och så finns det redan baryogenes ), eller överväga nya oupptäckta partiklar, eller överväga den gravitationsliknande kopplingen av bosoner som påverkar rotationsriktningarna för elementära partiklar. Var och en av dessa förklaringssätt har sina egna teoretiska problem.

Utanför Lie-grupper

Andra strukturer har föreslagits, inklusive Lie 3-algebras och Lie superalgebras. Ingendera är förenlig med Yang-Mills teori . I synnerhet kommer Lie superalgebras att introducera bosoner med felaktig statistik. Supersymmetri överensstämmer dock med Yang-Mills teori. Till exempel kräver N=4 Yang-Mills superteorin mätgruppen SU("N") .

Förening av krafter och supersymmetrins roll

Föreningen av krafter är möjlig på grund av energiskalans beroende av styrkan hos interaktionskonstanten i kvantfältteorin , som kallas den löpande kopplingskonstanten . Detta fenomen tillåter kopplingskonstanter för interaktioner med mycket olika värden vid vanliga energier att konvergera till samma värde vid mycket högre energier. [7] [3]

Beräkningar av renormaliseringsgruppen för de tre gauge-interaktionerna i standardmodellen visar att alla tre interaktionskonstanter möts vid nästan samma punkt om hyperladdningen är normaliserad så att den överensstämmer med SU(5) eller SO(10) TVO-grupperna, dessa är TVO-grupperna som leder till en enkel förening av fermioner [4] . Detta är ett viktigt resultat eftersom andra Lie-grupper leder till olika normaliseringar. Men om en supersymmetrisk förlängning av den minimala supersymmetriska standardmodellen används istället för standardmodellen, blir matchningen mycket mer exakt. I det här fallet möts kopplingskonstanterna för de starka och elektrosvaga interaktionerna vid Grand Unification-energin, även känd som GUT-skalan [4] :

.

Detta sammanträffande anses generellt vara osannolikt att vara en tillfällighet, och citeras ofta som en av huvudmotivationerna för ytterligare undersökning av supersymmetrisk teori trots att inga supersymmetriska partnerpartiklar har observerats experimentellt. Dessutom föredrar de flesta modellbyggare helt enkelt supersymmetri eftersom det löser hierarkiproblemet  - det vill säga att det stabiliserar massan av den elektrosvaga Higgs-bosonen på grund av strålningskorrigeringar . [fyra]

Neutrinomassor

Eftersom Majorana -massan av högerhänta neutrinos är förbjuden av SO(10) -symmetri, förutspår SO(10) HUTs att Majorana-massor av högerhänta neutrinos kommer att vara nära Grand Unification-energin när spontant symmetribrott inträffar . I supersymmetriska GUT tenderar denna energi att vara större än vad som skulle vara önskvärt i ljuset av ett realistiskt tillvägagångssätt, särskilt för vänsterhänta neutrinos (se neutrinoscillationer ) som använder gungbrädemekanismen. Dessa förutsägelser beror på Georgie-Janskog massförhållande, med vissa GUTs som förutsäger olika fermion massförhållanden.

Föreslagna teorier

Flera TBO har föreslagits, men ingen av dem är för närvarande accepterad. Ännu mer ambitiös är teorin om allting , som inkluderar alla grundläggande krafter , inklusive gravitationen . Huvudmodellerna av TVO är:

  • minimal vänster-höger modell  - SU(3) C × SU(2) L × SU(2) R × U(1) BL
  • Modell Georgie - Glashow  - SU(5)
  • SO(10)
  • Inverterad SU(5)  - SU(5) × U(1)
  • Pati-Salam-modell  - SU(4) × SU(2) × SU(2)
  • Inverterad SO(10)  - SO(10) × U(1)


Inte riktigt TVO:

Notera : varje modell har motsvarande Lie-algebra , inte Lie-gruppen . Lie-gruppen kan till exempel vara [SU(4) × SU(2) × SU( 2 )]/ Z2 .

Den mest lovande kandidaten är SO(10) [18] [19] . (Minimum GUT-modellen) SO(10) innehåller inga exotiska fermioner (det vill säga ytterligare fermioner utöver de som finns i standardmodellen av fermioner och högerhänta neutrinos), och den kombinerar varje generation av dem till en enda irreducerbar representation . Ett antal andra HBO-modeller är baserade på undergrupper från SO(10) . Bland dem finns den minimala vänster-höger-modellen SU (5) , inverterad SU(5) och Pati-Salam-modellen . TVO-gruppen E 6 innehåller SO(10) , men modellerna baserade på den är mycket mer komplexa. Huvudskälet till att studera E 6 - modellen följer av E 8 × E 8 heterotisk strängteori .

GUT-modeller förutsäger i allmänhet förekomsten av topologiska defekter som magnetiska monopoler , kosmiska strängar , domänväggar och andra. Men inget av dessa föremål har hittats i naturen. Deras frånvaro är känt som monopolproblemet i kosmologin. Många GUT-modeller förutsäger också protonnedbrytning , dock inte Pati-Salam-modellen; protonsönderfall har aldrig observerats i experiment. Den minsta experimentella gränsen för protonlivslängden utesluter till stor del minimigränsen för SU(5) och begränsar andra modeller kraftigt. Bristen på supersymmetri som hittills upptäckts hindrar också utvecklingen av många modeller.

Vissa GUT-teorier, som SU(5) och SO(10) , lider av det som kallas doublet-triplet splitting-problemet. Dessa teorier förutspår att för varje elektrosvag Higgs-dubbel finns det ett motsvarande färgtriplett -Higgs-fält med mycket låg massa (många storleksordningar mindre än GUT-skalan här). I en teori som kombinerar kvarkar med leptoner , kommer Higgs-dubbletten också att kombineras med Higgs-tripletten. Sådana trillingar har inte hittats. De skulle också orsaka extremt snabbt protonsönderfall (väl under nuvarande experimentella gränser) och förhindra övervägande av mätenhetskrafter i en enda renormaliseringsgrupp.

De flesta GUT-modeller kräver trippelreplikering av materiafält. Som sådana förklarar de inte varför exakt tre generationer fermioner existerar. De flesta GUT-modeller lyckas inte heller förklara hierarkin mellan fermionmassor för olika generationer.

Matematisk formalism

TVO-modellen består av en mätgrupp som är en kompakt Lie-grupp. Yang-Mills-åtgärden i denna modell ges av en invariant symmetrisk bilinjär form över dess Lie-algebra (som ges av en kopplingskonstant för varje faktor), och Higgs-sektorn består av en serie skalära fält som tar värden inom verklig/komplex representation av Lie-gruppen och den kirala Weyl-fermion, som antar värden inom den komplexa representationen av Lie-gruppen. Lie-gruppen innehåller standardmodellgruppen och Higgsfälten förvärvar VEV, vilket leder till spontana symmetribrott i standardmodellen . Weylfermioner representerar materia.

Nuvarande tillstånd

För närvarande finns det inga övertygande bevis för att naturen beskrivs av TVÅ. Upptäckten av neutrinoscillationer indikerar att standardmodellen är ofullständig och har lett till ett förnyat intresse för en viss GUT som SO(10) . Ett av få möjliga experimentella tester för en viss GUT är protonens sönderfall och även massan av fermionerna. Det finns några fler specialtester för supersymmetrisk HUT. Den minsta protonlivslängden från experimentet (när den faller inom eller överstiger intervallet 10 34 - 10 35 år) exkluderade enklare GUT och de flesta icke-supersymmetriska modeller. Den maximala övre gränsen för protonlivslängden (om instabil) beräknas till 6 x 10 39 år för SUSY-modellerna och 1,4 x 10 36 år för de minimala icke-supersymmetriska GUT-modellerna. [tjugo]

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Stor förening. . Hämtad 26 juli 2018. Arkiverad från originalet 23 februari 2020.
  2. ↑ 1 2 Okun L. B. Leptoner och kvarkar. - M., Redaktionell URSS, 2005. - sid. 243-255
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 Okun L. B. Elementarpartiklars fysik. - M., Nauka, 1988. - sid. 91-106
  4. ↑ 1 2 3 4 arXiv.org Frank Wilczek The Future of Particle Physics as a Natural Science Arkiverad 1 januari 2020 på Wayback Machine
  5. ↑ 1 2 3 Sadovsky M. V. Föreläsningar om kvantfältteori. - M., IKI, 2003. - sid. 20, 425-431
  6. ↑

    ...acceleration av partiklar till en energi av GeV, motsvarande den "stora föreningen" av de starka och elektrosvaga interaktionerna, skulle kräva konstruktion av en accelerator av storleken på solsystemet. Och om vi ville gå vidare till "Planck-energin" GeV (vid denna tidpunkt blir kvantgravitationseffekter betydande), då skulle vi behöva bygga en accelerator, vars ring skulle ha en längd på cirka 10 ljusår.

    Sisakyan A.N. Utvalda föreläsningar om partikelfysik. - Dubna, JINR, 2004. - sid. 95
  7. ↑ 1 2 Ross, G. Stora förenade teorier  (ospecificerad) . - Westview Press , 1984. - ISBN 978-0-8053-6968-7 .
  8. ↑ Georgie H. "Unified Theory of Elementary Particles and Forces" Arkiverad 1 januari 2020 på Wayback Machine // UFN 136 287-316 (1982)
  9. ↑ Salam A. "Gauge Unification of Fundamental Forces" Arkivexemplar av 29 april 2018 på Wayback Machine // UFN 132 229-253 (1980)
  10. ↑ Ivanenko D. D. , Sardanishvili G. A. Gravity. - M., LKI, 2012. - s.135-137
  11. ↑ George, H.; Glashow, S. L. Unity of All Elementary Particle Forces  (engelska)  // Physical Review Letters  : journal. - 1974. - Vol. 32 , nr. 8 . - s. 438-441 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.32.438 . — .
  12. ↑ Pati, J.; Salam, A. Lepton Number as the Fourth Color  (engelska)  // Physical Review D  : journal. - 1974. - Vol. 10 , nej. 1 . - S. 275-289 . - doi : 10.1103/PhysRevD.10.275 . - .
  13. ↑ Buras, AJ; Ellis, J.; Gaillard, M.K.; Nanopoulos, DV Aspekter av den stora föreningen av starka, svaga och elektromagnetiska interaktioner  (engelska)  // Nuclear Physics B  : journal. - 1978. - Vol. 135 , nr. 1 . - S. 66-92 . - doi : 10.1016/0550-3213(78)90214-6 . - . Arkiverad från originalet den 28 september 2018.
  14. ↑ Nanopoulos, DV- protoner är inte för evigt  (obestämd)  // Orbis Scientiae . - 1979. - T. 1 . - S. 91 . Arkiverad från originalet den 13 december 2019.
  15. ↑ Ellis, J. Fysik blir fysisk   // Nature . - 2002. - Vol. 415 , nr. 6875 . — S. 957 . - doi : 10.1038/415957b . - . — PMID 11875539 .
  16. ^ Det finns dock vissa begränsningar för valet av partikelladdningar utifrån teoretisk konsistens, särskilt upphävandet av anomalier.
  17. ↑ JLChkareuli, SU(N) SUSY GUTS WITH STRING REMNANTS: MINIMAL SU(5) AND BEYOND, Inbjudet föredrag vid 29:e internationella konferensen om högenergifysik (ICHEP 98), Vancouver, 23-29 juli 1988. I *Van 199couver , Högenergifysik, vol. 2 1669-73
  18. ↑ Grumiller, Daniel. Fundamental Interactions: A Memorial Volume for Wolfgang Kummer  (engelska) . - World Scientific , 2010. - P. 351. - ISBN 978-981-4277-83-9 . Arkiverad 1 augusti 2020 på Wayback Machine
  19. ↑ Pran, Nath; T., Vaughn Michael; George, Alverson. Pascos 2004: Del I: Partiklar, strängar och kosmologi; Del Ii: Themes In Unification -- Pran Nath Festschrift - Proceedings Of The Tenth International  Symposium . - World Scientific , 2005. - ISBN 978-981-4479-96-7 . Arkiverad 2 augusti 2020 på Wayback Machine
  20. ↑ Pran Nath och Pavel Fileviez Perez, "Protonstabilitet i stora förenade teorier, i strängar och i branes", Appendix H; 23 april 2007. arXiv: hep-ph/0601023 https://arxiv.org/abs/hep-ph/0601023 Arkiverad 3 maj 2020 på Wayback Machine

Länkar

 Fysik bortom standardmodellen
Bevis
teorier
supersymmetri
kvantgravitation
Experiment