Elektromagnetisk vågekvation

Den elektromagnetiska vågekvationen är en andra ordningens partiell differentialekvation som beskriver utbredningen av elektromagnetiska vågor genom ett medium eller i ett vakuum . Detta är 3D-formen av vågekvationen . Den homogena formen av ekvationen, skriven i termer av antingen det elektriska fältet E eller magnetfältet B , är:

{\begin{aligned}\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2)){\partial t^{2))}\right )\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2)){\partial t^{ 2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}

var

{\displaystyle v_{ph}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon ))))

är ljusets hastighet (dvs. fashastighet ) i ett medium med magnetisk permeabilitet μ och permittivitet ε , och ∇ 2 är Laplace-operatorn . I vakuum är v ph = c 0 = 299.792.458 m/s en fundamental fysikalisk konstant [1] . Den elektromagnetiska vågekvationen följer av Maxwells ekvation . I de flesta äldre litteraturen kallas B för magnetisk flödestäthet eller magnetisk induktion. . Följande ekvationer

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned))

betecknar att varje elektromagnetisk våg måste vara tvärgående , där det elektriska fältet E och magnetfältet B båda är vinkelräta mot vågens utbredningsriktning.

Ursprunget för den elektromagnetiska vågekvationen

I sitt papper från 1865 med titeln " Dynamic Theory of the Electromagnetic Field använde James Maxwell ett tillägg till Ampères cirkulationslag som han introducerade i del III av sitt 1861 papper " On Physical Lines of Force ". I del VI av hans papper från 1864 med titeln "The Electromagnetic Theory of Light " [2] kombinerade Maxwell förskjutningsströmmen med några andra ekvationer av elektromagnetism och härledde en vågekvation med en hastighet lika med ljusets hastighet. Han kommenterade:

Överensstämmelsen mellan resultaten verkar visa att ljus och magnetism är effekterna av samma ämne, och att ljus är en elektromagnetisk störning som fortplantar sig genom fältet i enlighet med elektromagnetiska lagar [3] .

Maxwells härledning av den elektromagnetiska vågekvationen har ersatts i modern fysikutbildning med en mycket mindre besvärlig metod som involverar att kombinera en korrigerad version av Ampères cirkulationslag med Faradays induktionslag .

För att härleda ekvationen för en elektromagnetisk våg i vakuum med den moderna metoden börjar vi med Maxwells ekvationer i Heaviside form . I rymden utan vakuum och laddning kan dessa ekvationer skrivas som:

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}

Dessa är de allmänna Maxwell-ekvationerna, specialiserade för fallet när laddningen och strömmen är noll. Att ta rotorn i virvelekvationen ger:

{\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t))\right)=-{\frac {\partial }{\partial t))\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _ {0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2))}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right) &=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))\right)=\mu _{0}\ varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}

Vi kan använda vektoridentiteten

\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf { V}

där V är vilken vektorfunktion som helst i rummet. Och

\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)

där ∇ V är en dyad , som, när man arbetar med divergensoperatorn ∇ ⋅ , ger en vektor. Eftersom det

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned))

den första termen till höger i identiteten försvinner, och vi får vågekvationerna:

{\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2} }}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=0\\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B } }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=0\end{aligned}}

var

c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0))))=2.99792458\times 10^{8}\;{\text{m/ Med}}

är ljusets hastighet i fritt utrymme.

Kovariant form av den homogena vågekvationen

Dessa relativistiska ekvationer kan skrivas i kontravariant form som

\Box A^{\mu }=0

där den elektromagnetiska fyrpotentialen finns

A^{\mu }=\left({\frac {\phi}{c)),\mathbf {A} \right)

med Lorentz-mätarens tillstånd:

\partial _{\mu }A^{\mu }=0,

och var

\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}

är d'Alembert-operatören .

Homogen vågekvation i krökt rumtid

Den elektromagnetiska vågekvationen modifieras på två sätt, derivatan ersätts av en kovariant derivata och en ny term dyker upp, som beror på krökningen.

-{A^{\alpha ;\beta}}_{;\beta}+{R^{\alpha }}_{\beta}A^{\beta }=0

var är Ricci-tensorn och semikolon indikerar kovariansdifferentiering. ${R^{\alpha }}_{\beta }$

Det är tillåtet att generalisera Lorentz-kalibreringsvillkoret i krökt rum-tid:

{A^{\mu}}_{;\mu }=0.

Inhomogen elektromagnetisk vågekvation

Lokaliserade tidsvarierande laddnings- och strömtätheter kan fungera som källor till elektromagnetiska vågor i vakuum. Maxwells ekvationer kan skrivas som en vågekvation med källor. Att lägga till källor till vågekvationer gör partiella differentialekvationer inhomogena

Lösningar av den homogena elektromagnetiska vågekvationen

Den allmänna lösningen av den elektromagnetiska vågekvationen är en linjär överlagring av vågor i formen

{\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k } \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{aligned}}

för nästan vilken välkontrollerad funktion g som helst av ett dimensionslöst argument φ , där ω är vinkelfrekvensen (i radianer per sekund) och k = ( k x , k y , k z ) är vågvektorn (i radianer per meter).

Även om g- funktionen kan vara, och ofta är, en monokromatisk sinusvåg behöver den inte vara sinusformad eller ens periodisk. I praktiken kan g inte ha oändlig periodicitet, eftersom varje verklig elektromagnetisk våg alltid har en ändlig utsträckning i tid och rum. Som ett resultat, baserat på Fourierexpansionsteorin , måste en verklig våg bestå av en överlagring av en oändlig uppsättning sinusformade frekvenser.

För att lösningen ska vara korrekt behöver inte vågvektorn och vinkelfrekvensen vara oberoende; de måste lyda spridningsförhållandet :

{\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda ))

där k är vågnumret och λ är våglängden . Variabeln c kan endast användas i denna ekvation när den elektromagnetiska vågen befinner sig i ett vakuum.

Monokromatisk, sinusformad steady state

Den enklaste uppsättningen lösningar till vågekvationen följer av antagandet om sinusformade vågformer med samma frekvens i separerbar form:

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\))

var

i - imaginär enhet ,
ω = 2 π f är vinkelfrekvensen i radianer per sekund,
f är frekvensen i Hz , och
$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ - Eulers formel .

Plane wave solutions

Betrakta ett plan definierat av en enhetsnormalvektor

\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.

Då har lösningarna av vågekvationerna för flygande vågor formen

{\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } \\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}

där r = ( x , y , z ) är en positionsvektor (i meter).

Dessa lösningar är plana vågor som rör sig i riktning mot normalvektorn n . Om vi definierar z- riktningen som n - riktningen och x - riktningen som E -riktningen , så ligger magnetfältet enligt Faradays lag i y -riktningen och är relaterat till det elektriska fältet genom att

c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.

Eftersom divergensen mellan de elektriska och magnetiska fälten är noll, finns det inga fält i utbredningsriktningen.

Denna lösning är en linjärt polariserad lösning av vågekvationerna. Det finns också cirkulärt polariserade lösningar där fälten roterar runt en normalvektor.

Spektral nedbrytning

På grund av linjäriteten hos Maxwells ekvationer i vakuum, kan deras lösningar expanderas till en superposition av sinusoider . Detta är grunden för Fouriertransformmetoden för att lösa differentialekvationer. Den sinusformade lösningen av den elektromagnetiska vågekvationen har formen

{\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}

var

t - tid (per sekund),
ω är vinkelfrekvensen (i radianer per sekund),
k = ( k x , k y , k z ) är vågvektorn (i radianer per meter), och
$\phi _{0}$ är fasvinkeln (i radianer).

Vågvektorn är relaterad till vinkelfrekvensen enligt följande

{\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda ))

där k är vågnumret och λ är våglängden .

Det elektromagnetiska spektrumet är en graf över storleken på ett fält (eller energi) kontra våglängd.

Multipolexpansion

Om vi antar att monokromatiska fält förändras med tiden i enlighet med lagen , då med Maxwells ekvationer för att eliminera B , reduceras den elektromagnetiska vågekvationen till Helmholtz-ekvationen för E : ${\displaystyle e^{-i\omega t))$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k))\nabla \times \mathbf {E} ,

med k = ω / c enligt ovan. Alternativt kan man eliminera E till förmån för B för att få:

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k))\nabla \times \mathbf {B} .

Det totala elektromagnetiska fältet med frekvensen ω kan skrivas som summan av lösningarna av dessa två ekvationer. Tredimensionella lösningar av Helmholtz-ekvationen kan uttryckas som en expansion i sfäriska funktioner med koefficienter som är proportionella mot de sfäriska Bessel-funktionerna . Att applicera denna expansion på varje komponent i vektorn E eller B kommer dock att ge lösningar som i allmänhet inte är divergensfria ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ) och därför kräver ytterligare restriktioner på koefficienterna.

Multipolexpansionen kommer runt denna svårighet genom att inte sönderdela E eller B utan r ⋅ E eller r ⋅ B till sfäriska funktioner. Dessa expansioner löser fortfarande de ursprungliga Helmholtz-ekvationerna för E och B eftersom för ett divergensfritt fält F , ∇ 2 ( r ⋅ F ) = r ⋅ ( ∇ 2 F ) . De resulterande uttrycken för det allmänna elektromagnetiska fältet har formen:

{\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{ E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M) }\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}( l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right ]\,,\end{aligned}}

där och är elektriska multipolfält av ordning (l, m) , och och är de motsvarande magnetiska multipolfälten , och a E ( l , m ) och a M ( l , m ) är expansionskoefficienter. Flerpoliga fält ges som ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)))$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)))$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)))$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)))$

{\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m }^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l, m}^{(M)}\,,\end{aligned}}

där h l (1,2) ( x ) är Hankel sfäriska funktioner , E l (1,2) och B l (1,2) bestäms av randvillkoren, och

\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)))}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l, m}

är vektorsfäriska övertoner normaliserade på ett sådant sätt att

\int \mathbf {\Phi} _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi} _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'} \delta _{m,m'}.

Multipolexpansionen av ett elektromagnetiskt fält finner tillämpning i ett antal problem som involverar sfärisk symmetri, såsom antennmönsterproblem eller nukleär gammastrålning . Ofta i sådana applikationer är kraften som utstrålas i fjärrfältet av intresse. I dessa regioner av fältet EochB asymptotiskt närmande

{\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i) ^{l+1}\vänster[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi} _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r)) \ gånger \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r)) .\end{aligned))

Vinkelfördelningen av den tidsgenomsnittliga utstrålade effekten ges enligt följande:

{\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\summa _{l,m}(-i)^{l+ 1 }\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi} _{l,m}\times \mathbf {\hat {r)) +a_{M}(l,m)\mathbf { \ Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.

Se även

Teori och experiment

Maxwells ekvationer
vågekvationen
Partiell differentialekvation
Beräkningselektromagnetism
Elektromagnetisk strålning
Lagen om bevarande av elektrisk laddning
Ljus
elektromagnetiskt spektrum
Optik

Särskild relativitetsteori
Allmän relativitetsteori
Inhomogen elektromagnetisk vågekvation
Fotonpolarisation
Larmor formel
Teoretisk och experimentell belägg för Schrödinger-ekvationen

Applikationer

Biografier

Anteckningar

^ Nuvarande praxis är att använda c 0 för att beteckna ljusets hastighet i vakuum, enligt ISO 31 . Den ursprungliga rekommendationen från 1983 använde tecknet c för detta ändamål , se NIST Special Publication 330 , Supplement 2, sidan 45 för detaljer Arkiverad 2016-06-3.
↑ James Maxwell. En dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet . - 1864. - S. 497 . Arkiverad från originalet den 28 juli 2011.
↑ James Maxwell. En dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet . - 1864. - S. 499 . Arkiverad från originalet den 28 juli 2011.

Litteratur

Elektromagnetism

Tidskriftsartiklar

Maxwell, James Clerk (1865). "En dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet". Filosofiska transaktioner från Royal Society of London (155): 459-512.

Läroböcker för universitetsstudenter

Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3:e upplagan) . - Prentice Hall, 1998. - ISBN 0-13-805326-X .
Tipler, Paul. Fysik för forskare och ingenjörer: elektricitet, magnetism, ljus och elementär modern fysik (5:e upplagan). - W.H. Freeman, 2004. - ISBN 0-7167-0810-8 .
Purcell, Edward M. Elektricitet och magnetism. - McGraw-Hill, 1985. - ISBN 0-07-004908-4 .
Haus, Hermann A. Elektromagnetiska fält och energi / Hermann A. Haus, James R. Melcher. - Prentice-Hall, 1989. - ISBN 0-13-249020-X .
Hoffman, Banesh. Relativitet och dess rötter. - Freeman, 1983. - ISBN 0-7167-1478-7 .
Staelin, David H. Elektromagnetiska vågor / David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, Jin Au Kong. - Prentice-Hall, 1994. - ISBN 0-13-225871-4 .
Stevens, Charles F. The Sex Core Theories of Modern Physics. - MIT Press, 1995. - ISBN 0-262-69188-4 .
Zahn, Markus. Elektromagnetisk fältteori: en problemlösningsmetod. - John Wiley & Sons, 1979. - ISBN 0-471-02198-9 .

Utexaminerade läroböcker

Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3:e upplagan). - Wiley, 1998. - ISBN 0-471-30932-X .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Fältteori. - M. , 2016 . - ("Teoretisk fysik", volym II).
Maxwell, James C. En avhandling om elektricitet och magnetism. - Dover, 1954. - ISBN 0-486-60637-6 .
Misner, Charles W. Gravitation / Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler. - W.H. Freeman, 1970. - ISBN 0-7167-0344-0 .

Vektoranalys

Matthews, PC Vector Calculus. - Springer, 1998. - ISBN 3-540-76180-2 .
Schey, HM Div Grad Curl och allt det där: En informell text om vektorkalkyl, 4:e upplagan. - W. W. Norton & Company, 2005. - ISBN 0-393-92516-1 .