Bernoullis lag

Bernoullis lag [1] (även Bernoullis ekvation [2] [3] , Bernoullis sats [4] [5] eller Bernoullis integral [2] [6] [7] ) fastställer sambandet mellan hastigheten för ett stationärt vätskeflöde och dess tryck . Enligt denna lag, om vätsketrycket ökar längs strömlinjen , minskar flödeshastigheten och vice versa. Det kvantitativa uttrycket av lagen i form av en Bernoulli-integral är resultatet av att integrera de hydrodynamiska ekvationerna för en ideal vätska [2] (det vill säga utan viskositet och värmeledningsförmåga ).

Historik

För fallet med en inkompressibel vätska publicerades ett resultat motsvarande den moderna Bernoullis ekvation 1738 av Daniil Bernoulli [K 1] . I sin moderna form publicerades integralen av Johann Bernoulli 1743 [11] för fallet med en inkompressibel vätska, och för vissa fall av komprimerbara vätskeflöden, av Euler 1757 [12] .

Bernoulli integral i en inkompressibel vätska

Fullt tryck
Dimensionera	$L^{-1}MT^{-2}$
Enheter
SI	J / m 3 \u003d Pa
GHS	erg / cm 3
Anteckningar
Ständigt längs strömlinjen av ett jämnt flöde av en inkompressibel vätska .

För ett stadigt flöde av en inkompressibel vätska kan Bernoullis ekvation härledas som en konsekvens av lagen om energibevarande . Bernoullis lag säger att en kvantitet förblir konstant längs en strömlinje: $\rho v^{2}/2+\rho gh+p$

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.

Här

\rho

är vätskans densitet ;

v

— flödeshastighet ;

h

- höjd;

sid

- tryck ;

g

är den fria fallaccelerationen . En elementär härledning av Bernoullis ekvation från lagen om energibevarande

En elementär härledning av Bernoullis ekvation från lagen om energibevarande ges till exempel i läroboken av D. V. Sivukhin [13] . Den stationära rörelsen av vätskan längs strömlinjen, som visas i figuren, beaktas. Till vänster påverkas vätskevolymen, initialt innesluten mellan två sektioner och , av kraften och till höger kraften i motsatt riktning . Hastigheten och trycket i sektionerna 1 och 2, såväl som deras områden, indikeras med sänkta 1 och 2. På en oändlig tid har den vänstra gränsen för denna vätskevolym förskjutits med ett litet avstånd , och den högra med en avstånd . Det arbete som utförs av tryckkrafter är lika med: $A_{1}$ $A_{2}$ $F_{1}=p_{1}A_{1}$ $F_{2}=-p_{2}A_{2}$ $v$ $sid$ $\Delta t$ $s_{1}=v_{1}\Delta t$ $s_{2}=v_{2}\Delta t$

W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2} p_{2}\höger).

I början av tidsintervallet består den vätskevolym som är innesluten mellan de två ytorna och består av det vänstra blåa elementet och den mellersta blåa delen; i slutet av detta intervall består den förskjutna volymen av den mellersta blåa delen och den högra blåa delen element. Eftersom flödet är stationärt förändras inte bidraget från det blå fragmentet till energin och massan av vätskevolymen som diskuteras, och bevarandet av massan gör det möjligt för oss att dra slutsatsen att massan av det vänstra blå elementet är lika med massan av det högra blåa elementet: Därför är kraftarbetet, vars uttryck kan omvandlas till formen: lika med energiförändringen , som i sin tur är lika med energiskillnaden mellan det högra blåa elementet och det vänstra blåa elementet . $\Delta t$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.$ $\Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}} \höger),$ $\Delta E_{2}$ $\Delta E_{1}$

För en inkompressibel vätska, för det första, i uttrycket för arbete, kan vi lägga och, för det andra, i uttrycket för energin hos ett flytande element, kan vi begränsa oss till kinetisk och potentiell energi: Därefter ger jämlikheten: , eller . $\rho _{1}=\rho _{2}=\rho$ $\Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),$ $\Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).$ $\Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}$ $p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}$ $p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}$

Konstanten på höger sida (kan skilja sig för olika strömlinjer) kallas ibland för totaltryck [2] . Termerna "vikttryck" , "statiskt tryck" och "dynamiskt tryck" kan också användas . Enligt DV Sivukhin [13] noterades irrationaliteten i dessa begrepp av många fysiker. $\rho gh$ $sid$ $\rho v^{2}/2$

Dimensionen av alla termer är en energienhet per volymenhet. De första och andra termerna i Bernoulli-integralen har betydelsen av kinetisk och potentiell energi per volymenhet av vätskan. Den tredje termen i sitt ursprung är tryckkrafternas arbete (se ovanstående härledning av Bernoullis ekvation), men inom hydraulik kan den kallas för "tryckenergin" och en del av den potentiella energin [14] ).

Härledning av Torricellis formel från Bernoullis lag

När den appliceras på utflödet av en idealisk inkompressibel vätska genom ett litet hål i sidoväggen eller botten av ett brett kärl, ger Bernoullis lag likheten mellan de totala trycken på den fria ytan av vätskan och vid utloppet av hålet:

\rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},

var

h

är höjden på vätskekolonnen i kärlet, mätt från hålets nivå,

v

är vätskeflödet,

p_{0}

- atmosfärstryck .

Härifrån: . Detta är Torricellis formel . Den visar att när vätskan rinner ut får den den hastighet som en kropp skulle få om den faller fritt från en höjd . Eller, om strålen som strömmar från ett litet hål i kärlet är riktad uppåt, vid topppunkten (bortsett från förluster) kommer strålen att nå nivån för den fria ytan i kärlet [15] . $v={\sqrt {2gh}}$ $h$

Andra manifestationer och tillämpningar av Bernoullis lag

Approximationen av en inkompressibel vätska, och med den Bernoullis lag, är också giltiga för laminära gasflöden, om bara flödeshastigheterna är små jämfört med ljudets hastighet [16] .

Längs det horisontella röret är koordinaten konstant och Bernoullis ekvation tar formen . Det följer att när flödetvärsnittet minskar på grund av en ökning av hastigheten, minskar trycket. Effekten av tryckminskning med ökande flödeshastighet ligger till grund för driften av Venturi-flödesmätaren [17] och jetpumpen [1] . $z$ ${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}$

Bernoullis lag förklarar varför fartyg som rör sig i en parallell kurs kan attraheras av varandra (till exempel inträffade en sådan incident med det olympiska linjefartyget ) [18] .

Tillämpningar inom hydraulik

Den konsekventa tillämpningen av Bernoullis lag ledde till uppkomsten av en teknisk hydromekanisk disciplin - hydraulik . För tekniska tillämpningar skrivs ofta Bernoullis ekvation som att ha alla termer dividerade med " specifik vikt " : $\rho g$

H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}}),

där längdtermerna i denna ekvation kan ha följande namn:

Tryck [19]
Dimensionera	$L$
Enheter
SI	meter
Anteckningar
Totaltryck dividerat med specifik vikt .

H

— hydraulisk höjd [4] eller huvud [19] ,

h

— utjämningshöjd [ 4] ,

{\frac {p}{\rho g))

- piezometrisk höjd [4] eller (tillsammans med nivelleringshöjden) hydrostatisk höjd [19] ,

{\frac {v^{2}}{2g}}

— hastighetshöjd [4] eller hastighetshuvud [19] .

Bernoullis lag är endast giltig för ideala vätskor där det inte finns några viskösa friktionsförluster . För att beskriva flödena av verkliga vätskor inom teknisk hydromekanik (hydraulik) används Bernoulli-integralen med tillägg av termer som ungefär tar hänsyn till olika " hydrauliska tryckförluster " [19] .

Bernoulli integral i barotropa flöden

Bernoullis ekvation kan också härledas från fluidrörelseekvationen [K 2] [K 3] . I detta fall antas flödet vara stationärt och barotropt . Det senare betyder att densiteten för en vätska eller gas inte nödvändigtvis är konstant (som i den tidigare antagna inkompressibla vätskan), utan är en funktion av endast trycket: , vilket tillåter oss att introducera tryckfunktionen [22] Under dessa antaganden, kvantitet $\rho =\rho (p)$ ${\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p))).$

{\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}

är konstant längs vilken strömlinje som helst och vilken virvellinje som helst . Förhållandet gäller för flödet i vilket potentialfält som helst och ersätts av kroppskraftpotentialen . $gh$ $\varphi$

Härledning av Bernoulli-integralen för barotropt flöde

Gromeka-Lambs ekvation [23] [24] (hakparenteser anger vektorprodukten ) har formen:

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\operatörsnamn {grad} \left({\frac {v^{2)){2))\right)+ \left[\mathrm {rot} \,{\vec {v)),{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operatörsnamn {grad} p+{\vec {F}}

På grund av de antaganden som gjorts och (i det speciella fallet med en homogen gravitationskraft är dess potential ), så Gromeka-Lamb-ekvationen tar formen: ${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=0,$ ${\frac {\operatörsnamn {grad} p}{\rho }}=\operatörsnamn {grad} {\cal {P}}$ ${\vec {F}}=-\operatörsnamn {grad} \varphi$ $\varphi =g\,h$

\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {rot} \, {\vec {v)],{\vec {v}}\right]=0

Den skalära produkten av denna ekvation och enhetsvektorn som tangerar strömlinjen ger: ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0

eftersom produkten av gradienten av enhetsvektorn ger en derivata i riktningen , och vektorprodukten är vinkelrät mot hastighetens riktning. Följaktligen, längs strömlinjen. Denna relation gäller även för virvellinjen, tangentvektorn till vilken varje punkt är riktad längs ${\frac {\partial }{\partial l))$ ${\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .$ $\mathrm {rot} \,{\vec {v}}.$

För irroterande barotropa flöden, vars hastighet kan uttryckas som en gradient av hastighetspotentialen , bevaras Bernoulli-integralen i formen [K 4] också i ostadiga flöden, och konstanten på höger sida har samma värde för hela flödet [25] . ${\vec {v}}=\operatörsnamn {grad} \psi$ ${\frac {\partial \psi }{\partial t))+{\frac {\left(\operatörsnamn {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const}$

Saint-Venant-Wanzel formel

Om den adiabatiska lagen är uppfylld i flödet av en perfekt gas [26]

p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0 }}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}} {\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1) /\gamma }\right],

sedan uttrycks Bernoullis ekvation enligt följande [27] (bidraget från gravitationen kan vanligtvis försummas):

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}} \left[1-\left({\frac {p}{p_{0))}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const}

längs en strömlinje eller virvellinje. Här

\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}

är det gasadiabatiska indexet uttryckt i termer av värmekapacitet vid konstant tryck och vid konstant volym,

p,\ \rho

är gasens tryck och densitet,

p_{0},\ \rho _{0}

är villkorligt valda konstanta (samma för hela flödet) värden på tryck och densitet.

Denna formel används för att hitta hastigheten för en gas som strömmar ut ur ett högtryckskärl genom en liten öppning. Det är bekvämt att ta trycket och densiteten för gasen i kärlet, där gashastigheten är lika med noll, eftersom utflödeshastigheten då uttrycks i termer av det yttre trycket enligt Saint-Venant-Wanzel formel [ 28] : $p_{0},\ \rho _{0},$ $sid$

v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left( {\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].

Termodynamik av Bernoullis lag

Det följer av termodynamiken att längs strömlinjen av varje stationärt flöde av en ideal vätska

{\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const)),\quad s={\text{const)),

där är entalpin för en massaenhet , är gravitationspotentialen (lika för en enhetlig gravitation), är entropin för en massenhet. $w$ $\varphi$ $gz$ $s$

Härledning av Bernoullis lag från Eulers ekvation och termodynamiska relationer

1. Eulerekvationen för stationär ( ) rörelse för en ideal vätska i gravitationsfältet [29] har formen $\partial {\vec {v}}/\partial t=0$

({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g)),

där tyngdaccelerationen kan uttryckas i termer av gravitationspotentialen (för ett enhetligt fält ) betyder punkten mellan vektorerna inom parentes deras skalära produkt . ${\vec {g}}=-\nabla \varphi$ $\varphi =gh$

2. Skalärprodukten av denna ekvation och enhetsvektorn som tangerar strömlinjen ger ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v)),$

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho )){\frac {\partial p}{\partial l)),

eftersom produkten av gradienten och enhetsvektorn ger derivatan i riktning ${\frac {\partial }{\partial l)).$

3. Termodynamisk differentialrelation

\mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,

där är entalpin för en massaenhet , är temperaturen och är entropin för en massenhet, ger $w$ $T$ $s$

{\frac {\partial w}{\partial l))={\frac {1}{\rho )){\frac {\partial p}{\partial l))+T{\frac {\ partiell s}{\partial l)),\quad

så

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s} {\partial l)).

I ett stationärt flöde av en ideal vätska har alla partiklar som rör sig längs en given strömlinje samma entropi [30] ( ), därför längs strömlinjen: $\partial s/\partial l=0$

s={\text{const)),\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.

Bernoulli-integralen används i tekniska beräkningar, inklusive för media som i sina egenskaper är mycket långt från en idealisk gas, till exempel för vattenånga som används som kylmedel i ångturbiner. I det här fallet kan de så kallade Mollier-diagrammen användas som representerar specifik entalpi (längs y- axeln ) som en funktion av specifik entropi (längs abskissan ), och till exempel tryck (eller temperatur) i form av en familj av isobarer ( isotermer ). I det här fallet ligger sekvensen av tillstånd längs strömlinjen på någon vertikal linje ( ). Längden på segmentet av denna linje, avskuren av två isobarer som motsvarar kylvätskans initiala och slutliga tryck, är lika med halva förändringen i kvadraten på hastigheten [31] . $s={\text{const))$

Generaliseringar av Bernoulli-integralen

Bernoulli-integralen bevaras också när flödet passerar genom fronten av stötvågen, i referensramen där stötvågen är i vila [32] . Men under en sådan övergång förblir inte mediets entropi konstant (ökar), därför är Bernoulli-relationen bara en av de tre Hugoniot-relationerna , tillsammans med lagarna för bevarande av massa och momentum, som relaterar tillståndet i medium bakom fronten till tillståndet för mediet framför fronten och med stötvågshastigheten.

Det finns kända generaliseringar av Bernoulli-integralen för vissa klasser av viskösa vätskeflöden (till exempel för planparallella flöden [33] ), inom magnetohydrodynamik [34] , ferrohydrodynamik [35] . I relativistisk hydrodynamik, när flödeshastigheterna blir jämförbara med ljusets hastighet , formuleras integralen i termer av relativistiskt invariant [36] specifik entalpi och specifik entropi [37] . $c$

Kommentarer

↑ I D. Bernoullis inlägg syntes inte det inre trycket i vätskan explicit [8] [9] [10] .
↑ "...[Herledningen av Bernoullis sats från energiekvationen] utarmar innehållet i Bernoullis sats... Bernoulli-integralen är generellt sett inte beroende av energiekvationen, även om den sammanfaller med den för den isentropiska och adiabatisk rörelse av en perfekt gas" [20] .
↑ "Två ... sätt att få Bernoullis ekvation är inte likvärdiga. I energihärledningen behöver man inte anta att flödet är isentropiskt. När man integrerar rörelseekvationen erhålls Bernoulli-integraler inte bara längs strömlinjer, utan också längs virvellinjer” [21] .
↑ I rysk litteratur är Bernoulli-integralen för potentiella flöden av en inkompressibel eller barotrop vätska känd som Cauchy-Lagrange-integralen [25]

Anteckningar

↑ 1 2 Landsberg G. S. Bernoullis lag, 1985 .
↑ 1 2 3 4 Vishnevetsky S. L. Bernoullis ekvation, 1988 .
↑ Titjens O., Prandtl L. Hydro- and Aeromechanics, 1933 .
↑ 1 2 3 4 5 Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §24. Bernoullis sats.
↑ Milne-Thomson L. M. Teoretisk hydrodynamik, 1964 .
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 .
↑ Cherny G. G. Gas dynamics, 1988 .
↑ Truesdell K. Essays in the History of Mechanics, 2002 .
↑ Mikhailov G.K. , 1999 , sid. 17.
↑ Darrigol O. A history of hydrodynamics, 2005 , sid. 9.
↑ Truesdell K. Essays in the history of mechanics, 2002 , sid. 255, 257.
^ Euler L. Continuation des recherches, 1755 (1757) , sid. 331.
↑ 1 2 Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94. Stationär rörelse av en ideal vätska. Bernoullis ekvation.
↑ Chugaev R. R. Hydraulik. - L . : Energi , 1975. - 600 sid.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §95. Exempel för tillämpning av Bernoullis ekvation. Torricelli formel.
↑ Sivukhin D.V. Mechanics, 1989 , §94, formel (94.6).
↑ Molokanov Yu.K. Processer och apparater för olje- och gasbearbetning . - M . : Chemistry, 1980. - S. 60. - 408 sid.
↑ Ya. I. Perelman . Varför lockas fartyg? . Hämtad 27 december 2018. Arkiverad från originalet 11 maj 2012. (ryska)
↑ 1 2 3 4 5 Napor, 1992 .
↑ Batchelor J. Introduktion till vätskedynamik, 1973 , anteckning av G. Yu. Stepanov, sid. 208.
↑ Goldstein R. V., Gorodtsov V. A. Continuous media mechanics, 2000 , sid. 104.
↑ Loitsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §23, ekvation (9).
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §23, ekvation (7).
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 , kapitel VIII. §2, ekvation (2.1).
↑ 1 2 Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §42. Lagrange-Cauchy-integralen.
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §24, ekvation (29).
↑ Loitsyansky L. G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §24, ekvation (30).
↑ Loitsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas, 2003 , §24, ekvation (31).
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , ekvation (2.4).
↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics, 1970 , kapitel VII. §2. tryckfunktion.
↑ Paul R.V. , Mekanik, akustik och värmeläran, 2013 , s. 446.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , §85.
↑ Golubkin V. N., Sizykh G. B. Om några allmänna egenskaper hos planparallella flöden av en viskös vätska // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, serie Fluid and gas mechanics: journal. - 1987. - Nr 3 . — S. 176–178 . - doi : 10.1007/BF01051932 .
↑ Kulikovskiy A. G. , Lyubimov G. A. Magnetisk hydrodynamik . - M .: Fizmatlit , 1962. - S. 54 . — 248 sid.
↑ Rosenzweig R. Ferrohydrodynamics / Per. från engelska. ed. V. V. Gogosov. - M .: Mir , 1989. - S. 136. - 359 sid. — ISBN 5-03-000997-3 .
↑ Zubarev D. N. , Relativistisk termodynamik, 1994 .
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. Hydrodynamics, 2001 , Ekvation (134.11).

Litteratur

Batchelor J. Introduktion till vätskedynamik / Per. från engelska. ed. G. Yu. Stepanova . — M .: Mir , 1973. — 760 sid.
Vishnevetsky S. L. Bernoullis ekvation // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov-Bohm-effekten - Långa rader. - S. 187. - 704 sid.
Gol'dshtein R. V. , Gorodtsov V. A. Kontinuummekanik. Del 1. - M . : Fizmatlit , 2000. - 256 sid. — ISBN 5-02-015555-1 .
Zubarev, D.N. Relativistisk termodynamik // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting-Robertson-effekt - Streamers. - S. 333-334. - 704 sid. - ISBN 5-85270-087-8 .
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hydrodynamics. - 5:e upplagan, stereotypt. - M. : Fizmatlit, 2001. - 736 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym VI). — ISBN 5-9221-0121-8 .
Loytsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas. - M . : Bustard, 2003. - 842 sid. — ISBN 5-7107-6327-6 .
Milne-Thomson L. M. Teoretisk hydrodynamik. — M .: Mir , 1964. — 656 sid.
Mikhailov G.K. Bildning av hydraulik och hydrodynamik i verk av Petersburg-akademiker (XVIII) // Proceedings of the Academy of Sciences, serie Fluid and gas mechanics: journal. - 1999. - Utgåva. 6 . — S. 7–25 .
Tryck // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M .: Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasma-kompressor - Poyntings teorem. - S. 242. - 672 sid. — ISBN 5-85270-019-3 .
Paul R. V. Mekanik, akustik och läran om värme . - Ripol Classic, 2013. - 490 sid. — ISBN 5458431251 , 9785458431255.
Sedov LI Kontinuummekanik . - M . : Nauka , 1970. - T. 2. - 568 sid.
Sivukhin DV Allmän kurs i fysik . - 3:e upplagan, reviderad och förstorad. - M . : Nauka , 1989. - T. I. Mechanics. — 576 sid. — ISBN 5-02-014054-6 .
Titjens O., Prandtl L. Hydro- och flygmekanik. - M. - L. : GTTI , 1933. - T. 1. - 224 sid.
Truesdell K. Essays in the History of Mechanics . - M. - Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2002. - 316 sid. — ISBN 5-93972-192-3 .
Faber T. E. Hydroaerodynamik / Per. från engelska. ed. A. A. Paveleva. - M . : Postmarket, 2001. - 560 sid. - ISBN 5-901095-04-9 .
Cherny G. G. Gasdynamik. — M .: Nauka , 1988. — 424 sid. — ISBN 5-02-013814-2 .
§182. Bernoullis lag // Elementär lärobok i fysik / Ed. G. S. Landsberg . - M . : Science , 1985. - T. 1. Mekanik. Värme. Molekylär fysik.
Darrigol O. Flödes världar. En historia av hydrodynamik från Bernoullis till Prandtl . - Oxford: Oxford University Press, 2005. - 356 sid. — ISBN 978-0-19-856843-8 .
Euler L. Continuation des recherches sur la théorie du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1755 (1757). - T. 11 . - S. 316-361 .
Truesdell, Clifford Ambrose. Rationell fluidmekanik, 1687–1765. Redaktörens introduktion till Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. - Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. - V. 12. - C. I-CXXV. — (II).

Länkar

Rysk översättning av Daniel Bernoullis avhandling, där Bernoullis integral (lag) först förekommer

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska stor kines Britannica (online)