Nyttofunktioner på odelbara varor

Vissa grenar av ekonomi och spelteori handlar om odelbara varor , diskreta objekt som bara kan överföras som en helhet. Till exempel, i kombinatoriska auktioner finns det en ändlig uppsättning objekt och varje agent kan köpa en delmängd av objekt, men objektet kan inte delas mellan två (eller flera) agenter.

Det antas vanligtvis att vilken agent som helst tilldelar ett subjektivt verktyg till varje delmängd av objekt. Detta kan representeras på två sätt

Ordinal nyttokvot , vanligtvis betecknad som . Det faktum att en agent föredrar en uppsättning framför en uppsättning skrivs som . Om agenten endast svagt föredrar (det vill säga antingen föredrar eller inte ser någon skillnad mellan och ), skrivs detta som . $\succ$ $A$ $B$ $A\succ B$ $A$ $A$ $A$ $B$ $A\succeq B$
Den kvantitativa nyttofunktionen betecknas som . Agentens hjälpmedel, som han får från uppsättningen , skrivs som . Den kvantitativa nyttofunktionen är ofta normaliserad, så att , var är den tomma uppsättningen av . $u$ $A$ $u(A)$ $u(\emptyset )=0$ $\emptyset$

Av funktionen kvantitativ nytta följer preferensrelationen : från följer och från följer . Verktygsfunktioner kan ha vissa egenskaper [1] . $u(A)>u(B)$ $A\succ B$ $u(A)\geqslant u(B)$ $A\succeq B$

Monotoni

Monotonicitet innebär att agenten alltid (svagt) föredrar att ha extra föremål. Formellt:

För preferensrelationer: följer av . $A\supseteq B$ $A\succeq B$
För en hjälpfunktion: följer av (det vill säga u är en monoton funktion av ). $A\supseteq B$ $u(A)\geqslant u(B)$

Monotonicitet är likvärdigt med antagandet om fritt förkastande - om en agent alltid kan kassera ett oönskat objekt, kommer extra objekt aldrig att minska användbarheten .

Additivitet

Additiv nytta

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Äpple	5
hatt	7
äpple och hatt	12

Additivitet (även kallad linjäritet eller modularitet ) betyder att "helheten är lika med summan av dess delar". Det vill säga nyttan av en uppsättning objekt är lika med summan av verktygen för varje objekt separat. Den här egenskapen gäller endast kvantitativa nyttofunktioner. Detta betyder att för vilken uppsättning objekt som helst, $A$

u(A)=\summa _{x\in A}u({x})

under antagandet att . Det är med andra ord en additiv funktion . Motsvarande definition: för alla uppsättningar av objekt och , $u(\emptyset )=0$ $u$ $A$ $B$

u(A)+u(B)=u(A\kopp B)+u(A\cap B).

En additiv nyttofunktion är en egenskap hos oberoende varor . Till exempel anses ett äpple och en hatt vara oberoende: nyttan för en person som mottas från ett äpple kommer att vara densamma oavsett om han har en hatt eller inte, och vice versa. En typisk hjälpfunktion för detta fall ges till höger.

Submodularitet och supermodularitet

Submodulärt verktyg

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Äpple	5
bröd	7
äpple och bröd	9

Submodularitet betyder att "helheten inte är mer än summan av dess delar (men kan vara mindre)." Formellt, för alla uppsättningar och , $A$ $B$

u(A)+u(B)\geqslant u(A\cup B)+u(A\cap B)

Med andra ord är en submodulär uppsättningsfunktion . $u$

Den ekvivalenta egenskapen är avtagande marginalnytta , vilket innebär att för alla uppsättningar och med , och alla : [2] $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notin B$

u(A\cup \{x\})-u(A)\geqslant u(B\cup \{x\})-u(B)

En submodulär nyttofunktion är en egenskap hos utbytbara varor . Till exempel kan ett äpple och en brödskiva anses vara utbytbara - nyttan som en person får av att äta ett äpple är mindre om han redan har ätit bröd (och vice versa), eftersom han kommer att vara mindre hungrig i det här fallet. En typisk hjälpfunktion för detta fall visas till höger.

supermodulärt verktyg

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Äpple	5
kniv	7
äpple och kniv	femton

Supermodularitet är motsatsen till submodularitet, vilket betyder att "helheten inte är mindre än summan av dess delar (men kan vara fler)". Formellt, för alla uppsättningar och , $A$ $B$

u(A)+u(B)\leqslant u(A\cup B)+u(A\cap B)

Det är med andra ord en supermodulär uppsättningsfunktion . $u$

Motsvarande egenskap ökar marginalnyttan , vilket innebär att för alla uppsättningar och med och alla : $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notin B$

u(B\cup \{x\})-u(B)\geqslant u(A\cup \{x\})-u(A)

Den supermodulära nyttofunktionen är en egenskap hos kompletterande varor . Till exempel kan ett äpple och en kniv betraktas som komplementära - tillfredsställelsen som en person får av ett äpple blir större om han också får en kniv dessutom, eftersom det blir lättare att äta ett äpple genom att skära av bitar från det. En möjlig hjälpfunktion för detta fall visas till höger.

Verktygsfunktionen är additiv om och endast om den är både submodulär och supermodulär.

Subadditivitet och superadditivitet

Subadditiv men inte submodulär

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X, Y eller Z	2
X,Y eller Y,Z eller Z,X	3
X,Y,Z	5

Subadditivitet betyder att för alla par av disjunkta uppsättningar $A,B$

u(A\cup B)\leqslant u(A)+u(B)

Med andra ord, är en subadditiv uppsättning funktion . $u$

Under antagandet att det är icke-negativt är varje submodulär funktion subadditiv. Det finns emellertid icke-negativa subadditiva funktioner som inte är submodulära. Låt oss till exempel föreställa oss att det finns 3 identiska objekt, och , och verktyget beror bara på deras antal. Tabellen till höger beskriver en hjälpfunktion , som är subadditiv men inte submodulär pga $u(\emptyset )$ $X,Y$ $Z$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Superadditiv men inte supermodulär

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X eller Y eller Z	ett
X,Y eller Y,Z eller Z,X	3
X,Y,Z	fyra

Superadditivitet betyder att för alla par av osammanhängande uppsättningar $A,B$

u(A\cup B)\geqslant u(A)+u(B)

Med andra ord, är en superadditiv uppsättningsfunktion . $u$

Om man antar att det inte är positivt är vilken supermodulär funktion som helst superadditiv. Det finns emellertid icke-negativa superadditiva funktioner som inte är supermodulära. Anta till exempel att det finns 3 identiska objekt, och Z, och verktyget beror bara på deras antal. Tabellen till höger beskriver en hjälpfunktion som är icke-negativ och superadditiv men inte supermodulär pga. $u(\emptyset )$ $X,Y$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

En hjälpfunktion c är additiv om och endast om den är både superadditiv och subadditiv. $u(\emptyset )=0$

Under det typiska antagandet att varje submodulär funktion är subadditiv och vilken supermodulär funktion som helst är superadditiv. Utan att införa en sådan begränsning för den tomma uppsättningen är dessa relationer inte sanna. $u(\emptyset )=0$

I synnerhet, om en submodulär funktion inte är subadditiv, måste den vara negativ. Anta till exempel att det finns två objekt, , med och . Denna verktygsfunktion är submodulär och supermodulär och icke-negativ förutom den tomma uppsättningen, men inte subadditiv eftersom $u(\emptyset )$ $X,Y$ $u(\emptyset )=-1$ $u(\{X\})=u(\{Y\})=1$ $u(\{X,Y\})=3$

u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).

Dessutom, om den supermodulära funktionen inte är superadditiv, måste den vara positiv. Låt oss föreställa oss det istället . Denna verktygsfunktion är icke-negativ, supermodulär och submodulär, men inte superadditiv, eftersom $u(\emptyset )$ $u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1$

u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).

Enkel begäran

enhetsnytta

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Äpple	5
päron	7
äpple och päron	7

En enhetsbegäran (EZ, eng. Unit demand , UD) innebär att agenten bara vill ha ett objekt. Om agenten tar emot två eller flera objekt, använder han ett av dem, vilket ger mer användbarhet, och det andra objektet kasseras. Formellt:

För preferensrelationen: för varje uppsättning finns det en delmängd med storlek , så att . $B$ $A\subseteq B$ $|A|=1$ $A\succeq B$
För verktygsfunktion: för valfri uppsättning : [3] $A$

u(A)=\max _{x\in A}u({x})

Enhetsförfrågan-funktionen är en extrem version av den submodulära funktionen. Funktion är en egenskap hos goda som är helt utbytbar. Till exempel, om det finns ett äpple och ett päron, och agenten vill äta en enda frukt, är denna hjälpfunktion en enda begäran, som visas i tabellen till höger.

Fullständig ersättning

Bruttosubstitut ( GS ) innebär att agenter betraktar objekt som utbytbara varor eller oberoende varor , men inte komplementvaror . Det finns många formella definitioner av denna egenskap, som alla är likvärdiga.

Varje E3-uppskattning är PP, men det omvända är inte sant.
Varje PP-estimator är submodulär, men det omvända är inte sant.

Se artikeln Full substitution för en detaljerad diskussion.

Därför finns det följande samband mellan klasser:

EZ PP Submodulär Subadditiv

\subsetneq

\subsetneq

\subsetneq

Se bilden till höger.

Aggregering av verktygsfunktioner

Verktygsfunktionen beskriver individuella preferenser. Ofta behöver vi en funktion som beskriver hela samhällets tillfredsställelse. En sådan funktion kallas allmän välfärdsfunktion och är vanligtvis en aggregerad funktion av två eller flera nyttofunktioner. Om enskilda verktygsfunktioner är additiva gäller följande för aggregerade funktioner:

aggregerad funktion	Fast egendom	Exempel på funktionsvärden från {a}, {b} och {a,b }
aggregerad funktion	Fast egendom	f	g	h	aggregat(f,g,h)
Belopp	Tillsats	1,3; fyra	3,1; fyra		4,4; åtta
Medel	Tillsats	1,3; fyra	3,1; fyra		2,2; fyra
Minimum	superadditiv	1,3; fyra	3,1; fyra		1,1; fyra
Maximal	Subadditiv	1,3; fyra	3,1; fyra		3,3; fyra
Median	ingen av fastigheterna	1,3; fyra	3,1; fyra	1,1; 2	1,1; fyra
Median	ingen av fastigheterna	1,3; fyra	3,1; fyra	3,3; 6	3,3; fyra

Se även

Delbara bra nyttofunktioner

Anteckningar

↑ Gul, Stacchetti, 1999 , sid. 95–124.
↑ Moulin, 1991 .
↑ Koopmans, Beckmann, 1957 , sid. 53–76.

Litteratur

Gul F., Stacchetti E. Walrasian Equilibrium with Gross Substitutes // Journal of Economic Theory. - 1999. - T. 87 . - doi : 10.1006/jeth.1999.2531 .
Herve Moulin. Axiom för kooperativt beslutsfattande. - Cambridge England New York: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 9780521424585 .
Koopmans TC, Beckmann M. Uppdragsproblem och ekonomisk verksamhets lokalisering // Econometrica. - 1957. - T. 25 , nr. 1 . - doi : 10.2307/1907742 . — .