Eisenstein nummer

Eisensteintalet ( Eulertal [1] ) är ett komplext tal av formen:

z=a+b\omega

där a och b är heltal och

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

är den kubiska icke-verkliga roten till enhet . Eisenstein-heltalen bildar ett triangulärt gitter i det komplexa planet . (Liknande hur Gaussiska heltal bildar ett kvadratiskt gitter.)

Systematiskt undersökt av den tyske matematikern Ferdinand Eisenstein .

Egenskaper

Uppsättningen av Eisenstein-heltal är en kommutativ ring . Denna ring finns i fältet med algebraiska tal Q (ω), ett cirkulärt fält av tredje graden.

Talet ω uppfyller ekvationen och är ett algebraiskt heltal . Därför är alla Eisenstein- heltal algebraiska heltal . $\omega ^{2}+\omega +1=0.$

Du kan också uttryckligen skriva ut polynomet vars rot är z = a + b ω.

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

Produkten av två Eisenstein-tal och ger $a+b\omega$ $c+d\omega$

(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .

Normen för Eisensteins heltal är kvadraten på det absoluta värdet

|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.

Således är normen för ett Eisenstein-heltal alltid ett naturligt heltal. Eftersom det

4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},

normen för ett Eisenstein-heltal som inte är noll är alltid positiv.

Gruppen av enheter i ringen av Eisenstein-tal är en cyklisk grupp som bildas av sex enhetsrötter på det komplexa planet. Nämligen

{±1, ±ω, ±ω 2 }

Och dessa är Eisensteins heltal av enhetsnorm.

Eisenstein primtal

Om x och y är Eisenstein-heltal, säger vi att x delar y om det finns något Eisenstein-heltal z så att y = z x .

Detta utökar begreppet delbarhet av naturliga heltal . Vi kan också utöka begreppet ett primtal ; Ett icke-ett Eisenstein-heltal x sägs vara ett Eisenstein- primtal om alla dess divisorer är av formen ux , där u är någon av de sex ettorna.

Det kan visas att naturliga primtal jämförbara med 1 modulo 3, såväl som talet 3, kan representeras som x 2 − xy + y 2 ( x , y är heltal) och därför kan dekomponeras ( x + ω y )( x + ω 2 y ), och är därför inte Eisenstein-primtal. Naturliga primtal som är kongruenta med 2 i bas 3 kan inte representeras på samma sätt, så de är också Eisenstein-primtal.

Varje Eisenstein-heltal a + b ω vars norm a 2 − ab + b 2 är ett naturligt primtal är ett Eisenstein-primtal.

Euklidisk ring

Ringen av Eisenstein-tal bildar en euklidisk ring där normen N ges av formen

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Detta kan matas ut så här:

{\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+ b \,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2 } -ab+b^{2}\end{aligned}}

Faktorgrupp C av Eisenstein heltal

Faktorgruppen för det komplexa planet C med avseende på gittret som innehåller alla Eisenstein-heltal är en komplex torus av reell dimension 2, som kännetecknas av den största symmetrigruppen bland alla komplexa tori med reell dimension 2.

Se även

Anteckningar

↑ Surányi, László. Algebra (obestämd) . - TYPOTEX, 1997. - s. 73. och Szalay, Mihály. Számelmélet (neopr.) . - Tankönyvkiadó, 1991. - S. 75. Båda kallar dessa nummer för "Euler-egészek", det vill säga Eulernummer.

Länkar

Eisenstein Integer--från MathWorld

Algebraiska tal
Olika sorter	Algebraiska heltal Chebyshev noder Konstruktiva siffror Eisensteins helhet Gaussiska heltal Kummer ring Perron nummer Piso-Vijayaraghavan nummer Kvadratisk irrationalitet ℚ Rötter från enhet Salem nummer
Specifik	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2