Shubnikov-de Haas-effekt

Shubnikov-de Haas-effekten ( Shubnikov-de Haas-effekten ) är uppkallad efter den sovjetiske fysikern L. V. Shubnikov och den holländska fysikern V. de Haas , som upptäckte den 1930 . Den observerade effekten bestod i svängningar av magnetoresistansen hos vismutfilmer vid låga temperaturer . Senare observerades Shubnikov-de Haas-effekten i många andra metaller och halvledare . Shubnikov-de Haas-effekten används för att bestämma den effektiva masstensorn och formen på Fermi-ytan i metaller och halvledare.

Termerna longitudinella och tvärgående Shubnikov-de Haas-effekter introduceras för att skilja mellan orienteringen av det magnetiska fältet i förhållande till riktningen för den elektriska strömmen . Av särskilt intresse är den tvärgående Shubnikov-de Haas-effekten i en tvådimensionell elektrongas ( DEG ).

Orsak

Orsaken till förekomsten av konduktivitets- och motståndssvängningar ligger i egenskaperna hos 2DEG-energispektrumet, nämligen här talar vi om Landau-nivåer med energier

E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),

där är Planck-konstanten, är cyklotronfrekvensen för Landau-oscillatorn, är den effektiva elektronmassan, är Landau-nivåtalet, är ljusets hastighet,. $\hbar$ $\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}$ $m^{*}$ $n=0,1,2...$ $c$

Tätheten av tillstånd för 2DEG i ett kvantifierande magnetfält för det tvådimensionella fallet är en uppsättning deltaliknande singulariteter $DOS(\varepsilon)$

DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{ 2}}\right)\right)}.

Låt Fermi-nivån fixeras, till exempel av Fermi-nivån i kontakter. Sedan, när magnetfältet B ökar, kommer avståndet mellan Landau-nivåerna att börja öka, och de kommer att passera Fermi-nivån, och 2DEG-konduktiviteten kommer att öka. När Fermi-nivån ligger mellan två Landau-nivåer, där det inte finns några elektroner som bidrar till konduktiviteten, observeras dess minimum. Denna process upprepas när magnetfältet ökar. Oscillationer av magnetoresistansen är periodiska i det omvända magnetfältet och från deras period bestäms koncentrationen av den tvådimensionella elektrongasen (2DEG) $E_F$ $E_{F}=E_{n}^{{LL}}$ $\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)$

n_{{2DEG}}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B))),

var är elektronladdningen och är Plancks konstant. $e$ $h$

Oscillationer av magnetoresistansen uppstår också i en annan inställning av experimentet, om magnetfältet är fixerat och koncentrationen av 2DEG ändras på något sätt, till exempel i en fälteffekttransistor genom att ändra gatepotentialen.

Tvådimensionellt fall

Betrakta en degenererad tvådimensionell gas (belägen i planet ) av icke-interagerande (fria) elektroner med en effektiv massa . Ett starkt magnetfält riktas vinkelrätt mot planet och olikheten ( är cyklotronfrekvensen ) är uppfylld, det vill säga energispektrumet kvantiseras. Vi antar att temperaturen är tillräckligt låg, och att breddningen av Landau-nivåerna på grund av elektronspridning är mindre än avståndet mellan nivåerna , vilket är den genomsnittliga fria vägen. I detta fall har beroendet av komponenterna i den elektriska konduktivitetstensorn på magnetfältet formen: $xy$ $m^{*}$ ${\bold symbol {B}}$ $\omega _{c}\tau \gg 1$ $\omega _{c}=eB/m^{*}c$ $T$ $\hbar \omega _{c}\gg T,\hbar /\tau$ $\tau$

\sigma _{xx}=\sigma _{yy}={\frac {\sigma _{0}}{1+\left(\omega _{c}\tau \right)^{2}} }\left[1+{\frac {2{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2))}{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2)))){\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}\right]

\sigma _{xy}=-\sigma _{yx}=-{\frac {\sigma _{0}\omega _{c}\tau }{1+{{\left(\omega _{ c}\tau \right)}^{2))))\left\{1-{\frac {3{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}+1 }{{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\left[1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2} }\right]}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right\}

var är den elektriska ledningsförmågan i frånvaro av ett magnetfält, bestämt av Drudeformeln [1] . $\sigma _{0}$

Svängningar i den elektriska konduktiviteten med en förändring i fältet beskrivs av förhållandet mellan den oscillerande delen av tillståndstätheten och tillståndstätheten i frånvaro av ett magnetfält, : $\Delta \nu$ $\nu _{0}\gg \Delta \nu$

{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}=2\summa \limits _{s=1}^{\infty }{\exp \left(-{\frac {\ pi s}{\omega _{c}\tau }}\right)}{\frac {2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)} {\sinh \left(2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)\right)))\cos \left({\frac {2\pi s{{\varepsilon }_{F))}{\hbar \omega _{c))}-\pi s\right)

var är Fermi-energin [2] . $\varepsilon _{F}$

Komponenterna i resistanstensorn , omvända till konduktivitetstensorn, har en enkel form [2] : ${{\rho }_{ik}}$ $\sigma _{ik}^{-1}={{\rho }_{ik}}$

{{\rho }_{xx}}={\frac {1}{\sigma _{0}}}\left(1+2{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0 }}}\höger)

{{\rho }_{xy}}={\frac {\omega _{c}\tau }{\sigma _{0}}}\left(1-{\frac {1}{{\ vänster(\omega _{c}\tau \right)}^{2))}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}\höger)

Ovanstående formler är giltiga i de fall då Zeeman-delningen av kvantnivåer kan försummas ( , är Bohr-magnetonen , är g- faktorns tensorkomponent för elektroner) [3] . ${\displaystyle g_{zz}\mu _{B}B\ll \hbar \omega _{c))$ $\mu _{B}$ ${\displaystyle g_{zz))$

3D-fodral

Svängningarnas form beror svagt på spridningspotentialens form, och följande uttryck, som tar hänsyn till breddning på grund av kollisioner och temperatur, samt spinnsplittring, ger en bra approximation för att beskriva den tvärgående Shubnikov-de Haas-effekten för en tredimensionell elektrongas [4]

\sigma _{{xx}}=\sigma _{0}\left(1+\summa _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)

b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot { \frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B }T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}} \cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}

där , är Dingle-temperaturen, bestämd från kollisionsbreddningen av nivån som , är Boltzmann-konstanten, är temperaturen på elektrongasen, är Lande-multiplikatorn för elektronen ( -faktor), är den fria elektronmassan. $\eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}$ $T_D$ $\Gamma$ $\pi k_{B}T_{D}=\Gamma$ $k_B$ $T_{e}$ $g$ $g$ $m_{{0}}$

Ett liknande uttryck för att beskriva den longitudinella Shubnikov-de Haas-effekten för en tredimensionell elektrongas (med hänsyn till spridning av akustiska fononer) kan skrivas som [5]

\sigma _{{xx}}=\sigma _{{0L}}\left(1-\summa _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2 \pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)

b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2))}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^ {2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \ omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \över 2m_{0}}

där ( är deformationspotentialen , är ljudets hastighet, är temperaturen). $\sigma _{{0L}}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{{*} ))}{\frac {E_{F}}{3}}$ $\Xi$ $mot$ $T$

Godtycklig spridningslag

För en godtycklig spridningslag för ledningselektroner ( är kvasi -momentet), beror amplituden och perioden för de elektriska konduktivitetssvängningarna på Fermi -ytans geometri ( är Fermi-energin ). $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$ ${\mathbf {p}}$ $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)={{\varepsilon }_{F}}$ ${\varepsilon }_{F}$

I motsats till de Haas-van Alphen-effekten , i Shubnikov- de Haas-effekten , i det oscillerande beroendet av komponenterna i den elektriska konduktivitetstensorn ( ) av magnetfältet, förutom oscillationer av tillståndstätheten (liknande tillståndens densitet) de Haas-van Alphen-effekten), uppstår svängningar som är associerade med Landau-kvantiseringens inflytande på spridningsprocesser [6] [7] . Redovisning av den kinetiska ekvationen för kvantisering av energispektrum och påverkan av det elektriska fältet på elektronenergin i kollisionsintegralen visade att spridningsprocessernas bidrag till amplituden av Shubnikov-de Haas-svängningarna av de tvärgående komponenterna , ( magnetfält riktas längs axeln ) i korsade fält ( ) är avgörande. Det relativa oscillerande tillägget till de diagonala komponenterna i konduktivitetstensorn i den semiklassiska approximationen är av storleksordningen [7] : ${{\sigma }_{ik}}$ $i,k=x,y,z$ $\mathbf {E}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{åå}$ $\mathbf {H}$ $z$ $\mathbf {E} \bot \mathbf {H}$ $\Delta {{\sigma }_{ii}}/{\sigma }_{ii}$

{\displaystyle {\frac {\Delta {{\sigma }_{zz}}}{{\sigma }_{zz}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{xx}}} {{\sigma }_{xx}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{yy}}}{{\sigma }_{yy}}}\sim {{\nu }^{ -1}}\left({{\varepsilon }_{F}}\right)\summa \limits _{m}{({\left({\frac {m_{c}{{S}_{m} }}{H}}\right)}^{2}}{\frac {\partial M_{osc}}{\partial H))))

där är densiteten av tillstånd vid en energi lika med Fermi-energin; är elektronens cyklotronmassa ; är områdena för extrema sektioner ( ) av Fermi-ytan med plan , där är projektionen av elektronens kvasimomentum på magnetfältets riktning; är den oscillerande delen av elektronernas magnetiska moment. Summeringen över indexet utförs över alla extrema avsnitt. Enligt Lifshitz - Kosevich- teorin [8] [9] $\nu \left({{\varepsilon }_{F))\right)$ ${{m}_{c}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_ {F}}}}$ ${S}_{m}(\varepsilon _{F})$ $\partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0$ ${p_{H}}=const$ $p_{H}$ ${\displaystyle M_{osc))$ $m$

{{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\ frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);

var

A_{LK}={\frac {V}{\pi ^{2}{\sqrt {2\pi }}\hbar ^{3}}}\left({\frac {e\hbar }{ c}}\right)^{3/2}{\frac {S_{m}{\sqrt {H}}}{{{\left|{}^{{{\partial }^{2}}{{ S}_{m}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\partial p_{H}^{2}}\;\right|}^{1/2}}\partial {{ S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}}\Psi \left({\frac {2\pi ^{2}T}{\hbar \omega _{c}} }\höger)

Formeln är giltig när ojämlikheterna är uppfyllda:

T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F));\quad {\frac {e\hbar H }{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}});

där är volymen av metallen, , är temperaturen , är massan av en fri elektron , är cyklotronfrekvensen , , är Boltzmann-konstanten . $V$ $\Psi \left(z\right)=z/\sinh z$ $T$ $m_{0}$ ${{\omega }_{c}}={\frac {eH}{{{m}_{c}}c}}$ $\gamma <1$ $k_{B}=1$

Perioden för oscillationer i det omvända magnetfältet är:

\Delta \left({\frac {1}{H}}\right)={\frac {2\pi e\hbar }{c{{S}_{m))))

Se även

Litteratur

Ridley BK Kvantprocesser i halvledare = Kvantprocesser i halvledare. - 4:a. - Oxford: Clarendon Press, 1999. - 436 sid. — ISBN 0-19-850580-9 .

Anteckningar

↑ Akira Isihara och Ludvig Smrčka. Densitet och magnetfältsberoende av konduktiviteten hos tvådimensionella elektronsystem // J. Phys. C: Solid State Phys.. - 1986. - Vol. 19 . - S. 6777-6789 . - doi : 10.1088/0022-3719/19/34/015 .
↑ 1 2 Isihara och Smrčka, 1986 .
↑ SA Tarasenko. Effekten av Zeeman-splittring på Shubnikov–De Haas-svängningar i tvådimensionella system // Fasta tillståndets fysik. - 2002. - Vol. 44 , nr. 9 . — S. 1769–1773 . - doi : 10.1134/1.1507263 .
↑ Ridley, 1999 , sid. 309.
↑ Ridley, 1999 , sid. 312-313.
↑ I.M. Lifshits, M.Ya. Azbel, M.I. Kaganov. Elektronisk teori om metaller: [ rus. ] . - Moskva: Förlaget "Nauka", 1971. - S. 416.
↑ 1 2 A.A. Abrikosov. Grunderna i teorin om metaller. - Moskva: FIZMATLIT, 2010. - S. 598. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ I. M. Lifshits och A. M. Kosevich ZhETF, 27 , 730 (1955).
↑ I. M. Lifshits, A. M. Kosevich DAN SSSR, 96 , 963-966, (1954).