G2-grenrör

$G_{2}$ -manifold är ett sjudimensionellt Riemannmanifold med en holonomigrupp eller dess undergrupp. De är viktiga i strängteorin , särskilt i M-teorin . $G_{2}$

$G_{2}$ -grenrör har noll Ricci-krökning , är orienterbara och har en spinorstruktur.

Geometri

Geometrin för -förgreningar är nära besläktad med den sjudimensionella vektorprodukten : dessa är nämligen sjudimensionella Riemannska samlingsrör, på varje tangentrum till vilket det finns en vektorprodukt, och som ett tensorfält bevaras det av Levi- Civita-koppling (därmed är det sjudimensionella euklidiska rummet med en vektorprodukt det enklaste exemplet -varieteter). Detta villkor innebär att holonomi för ett sådant mått ligger i gruppen : parallella översättningar bevarar vektorprodukten, och automorfismgruppen för en sådan produkt är exakt . Å andra sidan, om det finns ett mått med sådan holonomi, hjälper grupprepresentationsteori att se att det finns en utmärkande parallell endimensionell underbunt i utrymmet för snedsymmetriska typtensorer. Dess sektion med konstant längd är fältet för sjudimensionella vektorprodukter. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $(2.1)$

Genom att utelämna index med avseende på metriken, från vektorprodukten, kan man få en 3-form, vanligtvis betecknad eller . Eftersom den är parallell under en vridningsfri anslutning (nämligen Levi-Civita-anslutningen), är den stängd. Dess Hodge dual 4-form är också parallell och stängd, så den är också harmonisk. En allmän 3-form på ett sjudimensionellt utrymme har en stabilisator , så att -grenrör kan definieras i termer av en ingenstans degenererad sluten 3-form. Detta för dem närmare symboliska grenrör (grenrör med en ingenstans degenererad sluten 2-form), men det är viktigt att förstå att en 3-form i ett sjudimensionellt utrymme definierar en metrik, och en 2-form definierar aldrig en metrik. $\phi$ $\rho$ $G_{2}$ $G_{2}$

En viktig föreställning om symplektisk geometri - begreppet en lagrangisk undergren , det vill säga en undergren av halvdimension så att 2-formen är begränsad till den av den identiska nollan - överförs dock delvis till -grenröret. En tredimensionell undergren kallas nämligen associativ om 4-formen försvinner när tre tangentfält till denna undergren ersätts i den (eller, vad är samma, 3-formen är begränsad till den som en form av en tre -dimensionell Riemannisk volym). En fyrdimensionell delmanifold kallas koassociativ om 3-formen är begränsad till den av den identiska nollan (motsvarande är 4-formen begränsad till den som en form av en fyrdimensionell Riemann-volym). Dessa namn förklaras av deras alternativa definitioner genom vektorprodukten: ett associativt delrum i är ett tredimensionellt delrum stängt under vektorprodukten (eller, om vi tar hänsyn till att den sjudimensionella vektorprodukten erhålls från multiplikationen av imaginära oktaver , som imaginära kvaternioner i imaginära oktaver för viss inbäddning av algebror ). Koassociativa delrum är exakt de ortogonala komplementen av associativa, eller delrum där vektorprodukten av vilka två vektorer som helst är vinkelräta mot detta delrum. $G_{2}$ $\star \rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\mathbb{R} ^{7}$ $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {O}$

En annan analogi, vanligare bland fysiker, jämför associativa grenrör med komplexa kurvor i Calabi-Yau 3-grenrör , och samassociativa grenrör med speciella lagrangiska undergrenar. Faktum är att den kartesiska produkten av ett Calabi-Yau 3-grenrör med ett Ricci-platt mått på en cirkel är ett sjudimensionellt grenrör med holonomi . Dessutom är produkterna av komplexa kurvor som ligger i detta grenrör och cirkeln associativa, och produkterna från speciella lagrangiska undergrenar är koassociativa. ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\subset G_{2))$

En anmärkningsvärd egenskap hos den sjudimensionella vektorprodukten, som för den närmare den tredimensionella, är att om är en enhetsvektor, så har vi för varje vinkelrät vektor . Med andra ord, vektormultiplikation med enheten normal är en hyperplanedomorfism i kvadrat som multiplikation med , det vill säga helt enkelt en komplex struktur. Således, i en -manifold, har varje orienterbar hyperyta en naturlig nästan komplex struktur , vilket är analogt med strukturen hos en Riemann-yta på en orienterbar yta i . Detta fenomen, som applicerat på det sjudimensionella euklidiska rymden, upptäcktes av Calabi (även innan införandet av allmänna grenrör). Samtidigt, i motsats till det tredimensionella fallet, är en sådan struktur extremt sällan integrerbar (det vill säga tillåter en analytisk atlas från domäner av komplext rymd ): till exempel, i fallet med det euklidiska rummet , anger Calabi-kriteriet att denna nästan komplexa struktur är integrerbar om och bara om operatorn Weingarten -hyperytan har egenvärden . I synnerhet måste denna hyperyta vara minimal . Till exempel erhålls den nästan komplexa standardstrukturen på sfären som Calabi nästan komplexa struktur för enhetssfären . Närvaron av en integrerbar nästan komplex struktur på en sexdimensionell sfär är ett extremt svårt problem (känd som Chern-förmodan ), om vilken status åsikterna från de mest framstående geometrarna är långt ifrån enhälliga. Samtidigt är sådana nästan komplexa grenrör som enhetssfären också av intresse för differentialgeometri: de utgör klassen av sk. "approximately Kähler manifolds" ( eng. nearly Kähler manifold - den exakta översättningen till ryska har ännu inte fastställts), det vill säga nästan hermitiska manifolds, den kovarianta derivatan av standard 2-formen med avseende på Levi-Civita-förbindelsen på vilken är helt skevsymmetrisk. En metrisk kon över ett verkligt sexdimensionellt ungefär Kähler-manifold är ett -manifold, och omvänt är kvoten av en koniskt symmetrisk -manifold (det vill säga en som medger verkan av en multiplikativ grupp av homoteter) naturligtvis ungefär Kählerian. $u$ $x$ $(x\ gånger u)\ gånger u=-x$ $-ett$ $G_{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $G_{2}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $\lambda ,\mu ,\nu ,-\lambda ,-\mu ,-\nu$ ${\displaystyle S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7))$ $G_{2}$ $G_{2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0))$

Historik

Berger-Simons-satsen, bevisad 1955, säger att holonomigruppen i ett kompakt Riemann-grenrör som inte är lokalt symmetriskt verkar transitivt på tangentenhetsvektorer. Listan över sådana grupper som Berger gav inkluderade både de grupper som vid den tiden var kända som holonomigrupperna för klassiska geometrier (till exempel holonomigruppen för en allmän Riemann-manifold eller holonomigruppen av Kählerian-manifolds ), och de som , som det visade sig senare, kan endast vara holonomigrupper på lokalt symmetriska grenrör (som spinorgruppen , som uteslöts från listan av Berger Alekseevsky ). Man trodde länge att gruppen som verkar på det sjudimensionella rummet av imaginära oktaver inte också kan vara holonomigruppen i ett icke-lokalt symmetriskt grenrör, och geometrarnas ansträngningar på 1960- och 1980-talen var inriktade på att bevisa detta. ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {U} (n)$ $\mathrm {Spin} (16)$ $G_{2}$

Bonan bevisade 1966 att en -manifold tillåter en parallell 3-form och en 4-form dual till varandra med hjälp av Hodge-stjärnan . På hans tid finns det dock inga exempel på mångfald vars holonomigrupp är lika med . Det första exemplet på ett sådant mått på domänen i konstruerades av Bryant 1987. 1989 konstruerade Bryant och Salamon -metriker på kompletta men icke-kompakta grenrör: ett spinorknippe över ett tredimensionellt grenrör med konstant tvärsnittskrökning och på ett knippe anti-självdubbla former över ett fyrdimensionellt Einstein-grenrör med en självdubbel Weyl-tensor (till exempel en fyrdimensionell sfär med en rund metrik eller ett komplext projektivt plan med Fubini-Study-metrik). De är delvis analoga med den symplektiska strukturen på det totala utrymmet av cotangensknippet (mer exakt, den kanoniska hyperkähler-metrisen för det holomorfa tangentknippet till Kähler-grenröret, som ännu inte var känt vid den tiden och kommer att upptäckas på 1990-talet av Faix och Kaledin ). Dessa delresultat togs som bevis på att sådana mätvärden är omöjliga på ett kompakt grenrör. $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $G_{2}$

1994 motbevisades dock denna uppfattning: Joyce konstruerade flera exempel på kompakta grenrör med en holonomigrupp , och hittade ett sätt att analytiskt lösa singulariteterna hos en faktor av en sjudimensionell torus över en finit grupp. År 1998 studerade MacLean deformationer av koassociativa och associativa undergrenrör i slutna grenrör, i synnerhet, fann att deformationer av koassociativa varianter beskrivs i termer av deras inneboende geometri, medan associativa varianter har en teori om deformationer som beskrivs av någon Dirac-operatör beroende på inbäddning i omslutande utrymme, och är vanligtvis stela. På 2000-talet uppfanns den vridna sammankopplade Kovalev -sumkonstruktionen , som gör att man kan konstruera -grenrör från ett par Fano 3 -veck med vissa kompatibilitetsvillkor. Bunt på -grenrör vars fibrer är koassociativa (i synnerhet har, som förutspått av MacLean, ganska många deformationer), konstruerades först med denna konstruktion och kallas ibland "Kovalev-Lefschetz-skivor" (till exempel av Donaldson ) i analogi med buntar till elliptiska kurvor på K3-ytor, historiskt kallade "Lefschetz-skivor". En generalisering av Kovalevs konstruktion gjorde det möjligt att erhålla -strukturer på tiotusentals parvisa icke-diffeomorfa kompakta grenrör. Dessutom erhölls varianter med associativa subvarieteter i dessa generaliseringar. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$

En intressant ny koppling mellan geometrin hos -grenrör och komplex geometri etablerades 2011 av Verbitsky : utrymmet för knutar i ett -grenrör är ett (oändligt dimensionellt) formellt Kähleriskt grenrör (med andra ord, även om det inte tillåter lokala kartor med värden i det komplexa Fréchet-utrymmet med komplexa analytiska regleringsfunktioner, men det linjär-algebraiska hindret för närvaron av sådana kartor, Nijenhuis-tensor, försvinner på dem; i det finita dimensionella fallet, noterar vi, är detta tillräckligt för att närvaron av en komplex analytisk atlas). $G_{2}$ $G_{2}$

Se även

Calabi-Yau Space