Playfairs axiom

Playfair-axiomet är ett axiom som kan användas i stället för Euklids femte postulat ( parallellismens axiom ):

Givet en linje i planet och en punkt utanför den linjen kan högst en linje parallell med den givna linjen dras genom punkten [1] .

Playfairs axiom är ekvivalent med Euklids axiom för parallellism i kontexten av euklidisk geometri [2] . Axiomet fick sitt namn efter den skotske matematikern John Playfair . Frasen "högst en" är allt som behövs, eftersom det från de återstående axiomen kan bevisas att det finns minst en rad. Uttalandet skrivs ofta som "det finns en och bara en parallell". I Euklids "Element" kallas två linjer parallella om de inte skär varandra och andra beskrivningar av parallella linjer används inte [3] [4] .

Axiomet används inte bara i euklidisk geometri, utan också i affin geometri , där begreppet parallellism är centralt. När det gäller affin geometri behövs en starkare form av Playfairs axiom (där "högst en" ersätts med "en och bara en"), eftersom den neutrala geometrins axiom inte ger ett existensbevis. Playfair-versionen av axiomet har blivit så populär att den hänvisas till som Euklids parallellismaxiom [5] , även om det inte är den euklidiska versionen av axiomet. Det följer av axiomet att den binära relationen av parallellitet mellan linjer är en seriell relation .

Historik

Proclus (410–485 e.Kr.) gör uttalandet av axiomet tydligt i sin kommentar till Euklid I.31 (bok I, påstående 31) [6] .

År 1785 uttalade William Ludlum axiomet för parallellism enligt följande [7] :

Två linjer som skär varandra i en punkt kan inte vara parallella med en tredje linje.

Detta korta uttryck för euklidisk parallellism lånades av Playfair i hans bok Elements of Geometry ( Elements of Geometry , 1795), som ofta återgavs. Han skrev [8] :

Två skärande linjer kan inte båda vara parallella med samma tredje linje.

Playfair tackade Ludlum och andra för att de förenklade Euclids uttalande. Därefter kom skärningspunkten för två linjer i förgrunden och negationen av två parallella linjer förvandlades till det unika med parallella linjer som passerar genom den givna punkten [9] .

År 1883 var Arthur Cayley ordförande för British Association och uttryckte denna åsikt i sitt tal till Association [10] :

Ur min synvinkel kräver inte Euklids tolfte axiom i Playfair-form bevis, utan är en del av vårt koncept av rymd, det fysiska rummet för vår erfarenhet, som är representationen som ligger till grund för vår livserfarenhet.

När David Hilbert skrev sin bok The Foundations of Geometry (1899) [11] och presenterade en ny uppsättning axiom för euklidisk geometri, använde han Playfairs axiom i sin diskussion om parallella linjer snarare än den ursprungliga versionen av Euclid [12] .

Samband med Euklids femte postulat

Euklids axiom för parallellism säger:

Om ett segment skär två räta linjer , bildar två inre vinklar på en sida, vilket ger totalt mindre än två räta vinklar , så skärs två räta linjer, utsträckta till oändligheten, på den sida på vilken summan av vinklarna är mindre än två räta vinklar [13] .

Komplexiteten i detta uttalande jämfört med Playfairs formulering visar tydligt orsaken till populariteten för Playfairs axiom när man diskuterar axiomet parallellism.

I samband med absolut geometri är de två påståendena ekvivalenta, vilket innebär att det ena påståendet kan bevisas från det andra givet geometrins andra axiom. Påståendena är inte logiskt ekvivalenta (vilket skulle innebära att det ena endast kan bevisas från det andra genom formell slutledning), eftersom till exempel i den sfäriska modellen för elliptisk geometri är det ena påståendet sant och det andra är falskt [14] . Ett logiskt likvärdigt påstående är sant i alla modeller där det tolkas.

Bevisen nedan antar att alla axiom för absolut (neutral) geometri håller.

Playfairs axiom följer av Euklids femte postulat

Det enklaste sättet att visa detta är att använda Euklids sats (motsvarande femte postulatet), som säger att summan av vinklarna i en triangel är lika med två räta vinklar. Om en linje är given och en punkt P är utanför den, konstruerar vi en linje t vinkelrät mot den givna linjen och som går genom punkten P , och sedan en vinkelrät till denna vinkelrät genom punkten P . Denna linje är parallell med en linje eftersom den inte kan skära en linje och bilda en triangel, som det står i påstående 27 i bok 1 i Euclid's Elements [15] . Nu står det klart att det inte finns någon annan parallell. Om n var den andra parallella linjen genom punkten P , så skulle n ha en spetsig vinkel med linjen t (eftersom den inte är vinkelrät), och under antagandet att hypotesen för det femte postulatet är sann , skulle n skära med [16 ] .

Playfairs axiom antyder Euklids femte postulat

Om det följer av Playfairs postulat att vinkelrät mot vinkelrät är parallell med den ursprungliga linjen, måste linjerna från Euklids konstruktion skära varandra. Det måste bevisas att de kommer att skära varandra på den sida på vilken summan av vinklarna är mindre än två räta vinklar, men detta bevis är mycket mer komplicerat [17] .

Transitivitet av parallellism

Euklids uttalande 30 säger: "Två linjer som var och en är parallell med en tredje linje är parallella." De Morgan noterade [18] att detta uttalande är logiskt likvärdigt med Playfairs axiom. Denna anmärkning upprepades av T. L. Heath 1908 [19] . De Morgans argument är detta: Låt X vara uppsättningen av distinkta par av skärande linjer, och Y uppsättningen av distinkta par av linjer parallella med samma gemensamma linje. Om z representerar ett par distinkta linjer, då påståendet

För alla z , om z är i X , är z inte i Y ,

är Playfairs axiom (i de Morgans termer, No X är Y ) och dess logiskt ekvivalenta motsats är ,

För alla z , om z ligger i Y så ligger z inte i X ,

är Euklids I.30 påstående om parallellismens transitivitet (Nej Y är X ).

Nyligen har implikationen omformulerats i termer av den binära parallellismrelationen av linjer : I affin geometri anses relationen vara en ekvivalensrelation , vilket betyder att linjen anses vara parallell med sig själv . Andy Liu [20] skrev: "Låt P vara en punkt som inte ligger på linje 2. Antag att både linje 1 och linje 3 går genom P och är parallella med linje 2. Genom transitivitet är de parallella med varandra och kan därför inte ha gemensamma punkt P. _ Det följer att de är samma raka linje, vilket är Playfairs axiom."

Anteckningar

  1. ↑ Playfair, 1846 , sid. 29.
  2. ↑ närmare bestämt, i samband med absolut geometri .
  3. ↑ Euklids element, bok I, definition 23 . Hämtad 19 augusti 2018. Arkiverad från originalet 1 november 2010.
  4. ↑ Heath, 1956 , sid. Vol. 1, sid. 190.
  5. ↑ till exempel, Rafael Artzy (1965) Linear Geometry , sidan 202, Addison-Wesley )
  6. ↑ Heath, 1956 , sid. Vol. 1, sid. 220.
  7. ↑ Ludlam, 1785 , sid. 145.
  8. ↑ Playfair, 1846 , sid. elva.
  9. ↑ Playfair, 1846 , sid. 291.
  10. ↑ Frankland, 1910 , sid. 31.
  11. ↑ Hilbert, 1923 .
  12. ↑ Eves, 1963 , sid. 385-7.
  13. ↑ Phillips, 1826 , sid. 3.
  14. ↑ Henderson, Taimiņa, 2005 , sid. 139.
  15. ↑ Detta argument går utöver vad som behövs för att bevisa resultatet. Det finns bevis på parallellism som inte använder den femte postulatekvivalensen.
  16. ↑ Greenberg, 1974 , sid. 107.
  17. ↑ Bevis finns i Heath ( Heath 1956 , Vol. 1, s. 313)
  18. ↑ De Morgan, 1849 .
  19. ↑ Heath, 1956 , sid. Vol. 1, sid. 314.
  20. ↑ The College Mathematics Journal, 42(5):372

Litteratur