Hopp algebra

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 september 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Hopf-algebra är en associativ algebra över ett fält som har en enhet och är också en koassociativ koalgebra med en counit (det är alltså en bialgebra ) med en speciell form av antihomomorfism . Uppkallad efter Heinz Hopf .

Hopf-algebror förekommer i algebraisk topologi , där de först uppstod i samband med begreppet H-rum , i teorin om gruppscheman , i gruppteorin (tack vare begreppet en gruppring ) och vidare. Deras frekventa förekomst gör dem till ett av de mest kända exemplen på bialgebras . Hopf-algebror studeras också som ett självständigt objekt i samband med ett stort antal vissa klasser av Hopf-algebror och problem med deras klassificering.

Definition

Hopf-algebra är en associativ och koassociativ bialgebra H över ett fält tillsammans med en -linjär avbildning (kallad antipod ) så att följande diagram är kommutativt : $K$ $K$ $S\colon H\to H$

Här är Δ bialgebras comultiplication, ∇ är dess multiplikation, η är dess enhet och ε är dess enhet. I Svidlers notation kan denna egenskap också uttryckas som:

S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H

Ovanstående definition kan generaliseras till algebror över ringar (det räcker att ersätta fältet i definitionen med en kommutativ ring ). $K$ $R$

Definitionen av en Hopf-algebra är dubbel till sig själv (detta återspeglas i symmetrin i diagrammet ovan), i synnerhet är rymden dual till H (som alltid kan definieras om H är finit -dimensionell ) automatiskt en Hopf-algebra.

Egenskaper för antipoden

Antipoden av S krävs ibland för att ha en R -linjär inversion, som är automatisk i det finita dimensionella fallet, eller om H är kommutativ eller samkommutativ (eller mer allmänt kvasi -triangulär ).

Generellt sett är S en antihomomorfism [1] , så S 2 är en homomorfism , som därför är en automorfism om S var inverterbar (som kan krävas).

Om , då sägs Hopf-algebra vara intrasslad (och den grundläggande algebra med entanglement är *-algebra ). Om H är en ändlig-dimensionell halvenkel algebra med avseende på ett fält med karakteristisk noll, kommutativ eller samkommutativ, så är detta en intrikat algebra. $S^{2}=Id$

Om en bialgebra B medger en antipod S , så är S unik ("bialgebra medger högst 1 Hopf algebrastruktur"). [2]

Antipoden är analog med inversionskartläggningen på gruppen som skickar till . [3] $g$ $g^{{-1}}$

Hopf subalgebras

En subalgebra A av en Hopf-algebra H är en Hopf-subalgebra om den är en subkoalgebra av H och antipoden till S kartlägger A till A. Med andra ord är Hopf-subalgebra A ett underrum i Hopf-algebra som är stängt under multiplikation, comultiplication och antipod. Nichols-Zeller freeness theorem ( 1989 ) säger att varje naturlig R -modul har finit rang och är fri om H är finit-dimensionell, vilket ger en generalisering av Lagranges teorem för undergrupper . Som en konsekvens av denna teori är Hopf-subalgebra för en halvenkel änddimensionell Hopf-algebra automatiskt halvenkel.

En Hopf-subalgebra A kallas en högernormal subalgebra av Hopf-algebra H om den uppfyller stabilitetsvillkoret, för alla h från H , där den adjunkta åtgärden definieras som för alla a från A och h från H . På liknande sätt lämnas en Hopf-subalgebra K normal i H om den är invariant under vänsterkonjugering, definierad som för alla k i K . Båda normalitetsförhållandena är ekvivalenta om antipoden S är bijektiv. I det här fallet sägs A = K vara en normal Hopf-subalgebra. $ad_{r}(h)(A)\subseteq A$ ${\displaystyle ad_{r))$ ${\displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)))$ $ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})$

Den normala Hopf-subalgebra A i H uppfyller villkoret (likhet mellan delmängder av H ): , där betecknar kärnan i enheten K . Detta normalitetstillstånd antyder att det är Hopf-idealet för algebra H (det vill säga, det är idealet för algebra i regionens kärna, coalebras coalebra, och är stabilt under inverkan av antipoden). Som en konsekvens definieras en Hopf-faktoralgebra och en epimorfism , liknande de motsvarande konstruktionerna av normala undergrupper och faktorgrupper i gruppteorin . [fyra] $HA^{+}=A^{+}H$ ${\displaystyle A^{+))$ ${\displaystyle HA^{+))$ ${\displaystyle H/HA^{+))$ $H\rightarrow H/A^{+}H$

Exempel

Grupp Algebra . Låt G vara en grupp . Algebra RG är en associativ algebra över R , med identitet. Om vi definierar
Δ : RG → RG ⊗ RG , Δ( g ) = g ⊗ g för valfritt g från G ,
ε : RG → R , ε ( g ) = 1 för valfritt g från G ,
S : RG → RG , S ( g ) = g −1 för valfritt g från G ,

då blir R G en Hopf-algebra.

Ett kinesiskt teckendiagram är en sammankopplad graf med endast trevärda hörn, med en distingerad orienterad cykel (Wilson loop), och en fast cyklisk ordning av trippeln av kanter som kommer ut från varje vertex som inte ligger på en Wilson loop. Gruppen av kinesiska ordningsdiagram är en fri -modul genererad av -vertexdiagram (som anses upp till naturlig ekvivalens), faktoriserad av en undermodul genererad av alla möjliga -relationer [5] . $i$ $G$ $2i$ $STU$

Cohomology of Lie grupper

Lie-gruppens kohomologialgebra är Hopf-algebra: multiplikation är standardprodukten i kohomologiringen och komultiplicering har formen

H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)

i kraft av gruppmultiplikation . Denna observation var faktiskt ursprunget till föreställningen om en Hopf-algebra. Med hjälp av denna struktur bevisade Hopf en struktursats för kohomologialgebra för Lie-grupper. $G\times G\rightarrow G$

Hopfs sats [6] Låt A vara en finitdimensionell graderad kommutativ samkommutativ Hopf-algebra över ett fält med karakteristiken 0. Då är A (som en algebra) en fri yttre algebra med generatorer av udda grad.

Kvantgrupper

Alla exempel ovan är antingen kommutativa (det vill säga multiplikation är kommutativa ) eller samkommutativa (det vill säga Δ = T ∘ Δ , där T : H ⊗ H → H ⊗ H är en permutation av tensorfaktorer, definierade som T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ) . Andra intressanta exempel på Hopf-algebror är några deformationer, eller " kvantiseringar ", av exempel 3 som varken är kommutativa eller samkommutativa. Dessa Hopf-algebror kallas ofta för " kvantgrupper ". Tanken är denna: en vanlig algebraisk grupp kan beskrivas i termer av Hopf-algebra av reguljära funktioner. Vi kan då tänka oss en deformation av denna Hopf-algebra som en beskrivning av någon "kvantiserad" algebraisk grupp (även om det inte är en algebraisk grupp i någon mening). Många egenskaper hos algebraiska grupper, såväl som konstruktioner med dem, har sina analoger i världen av deformerade Hopf-algebras. Därav namnet "kvantgrupp".

Gruppanalogi

Grupper kan axiomatiseras med samma diagram (ekvivalenser, operationer) som Hopf-algebras, där H är en mängd, inte en modul. I detta fall:

fältet R ersätts av en uppsättning av 1 element
det finns en naturlig enhet (mappning till ett enda element)
är en naturlig comultiplication (diagonal kartläggning)
enhet - neutralt element i gruppen
multiplikation - multiplikation i en grupp
antipod - tar det omvända elementet i gruppen

I denna mening kan grupper ses som Hopf-algebror över ett enelementsfält . [7]

Anteckningar

↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, sid. 153 Arkiverad 6 oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Anmärkningar 4.2.3, sid. 151 Arkiverad 16 april 2014 på Wayback Machine
↑ Kvantgrupper föreläsningsanteckningar . Hämtad 4 juli 2011. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ S. Montgomery, Hopf algebror och deras handlingar på ringar, Conf. Styrelse i matte. sci. vol. 82, AMS, 1993. ISBN 0-8218-0738-2
↑ V.A. Vasiliev - Topologi för komplement till diskriminanter. M.: FAZIS, 1997.
↑ Hopf, 1941.
↑ Group = Hopf algebra "Secret Blogging Seminar Archived 9 July 2011 at the Wayback Machine , Group objects and Hopf algebras Archived 18 April 2016 at the Wayback Machine , video av Simon Willerton.

Länkar

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , vol. 235 (1:a upplagan), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras (länk ej tillgänglig) , IHES preprint, september 2006, 81 sidor
Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups , (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. av matte. 42 (1941), 22-52. Återtryckt i Selecta Heinz Hopf, s. 119-151, Springer, Berlin (1964). MR : 4784
Street, Ross (2007), Quantum groups , vol. 19, Australian Mathematical Society Lecture Series, Cambridge University Press , MR : 2294803 , ISBN 978-0-521-69524-4 ; 978-0-521-69524-4 .

Litteratur

Manin Yu. I. Introduktion till teorin om scheman och kvantgrupper. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 sid. - ISBN 978-5-94057-635-8 .