Andreevsky reflektion

Andreev-reflektion - processen för reflektion av en elektron som faller från en normal metall till gränssnittet med en supraledare , där elektronen förvandlas till ett hål , ändrar båda hastighetskomponenterna till motsatta (under retroreflektion), och två elektroner kommer in i supraledaren (Cooper-paret). Uppkallad efter Alexander Fedorovich Andreev , som teoretiskt förutspådde denna typ av reflektion 1964 [1] . Samtidigt finns det en spegel Andreev-reflektion , där hålet inte ändrar hastighetsprojektionen på gränsen. Denna effekt förutspåddes av Beenacker 2006.

Kärnan i fenomenet

Grundtillståndet för elektroner i en normal metall vid en temperatur som närmar sig absolut noll är fyllda tillstånd med energier lägre än Fermi-energin och tomma tillstånd med energier över Fermi-energin. Elementära excitationer – elektroner och hål – kan ha en godtyckligt liten energi. Å andra sidan har excitationsspektrumet i en supraledare ett band av förbjudna energier , vilket kallas det totala supraledande gapet . Därför är penetration in i en supraledare från en normal metall av en elektron eller ett hål vars energi, räknat från Fermi-nivån , ligger under gapet ( ), och också ligger i intervallet för gapet upp till , omöjligt [2] . Om en spänning appliceras på en normal metall-supraledarkontakt så att , kommer den elektriska strömmen genom kontakten på grund av direkt överföring av elektroner att bestämmas endast av bärare som är termiskt aktiverade ovanför gapet och kommer att vara exponentiellt liten. $2\Delta$ $E_F$ $\varepsilon <E_{F}-\Delta$ $\varepsilon =E_{F}+\Delta$ $V$ $eV<\Delta$

I denna situation skapas strömmen av Andreevs reflektionsprocessen. En elektron som faller in på gränsen kan reflekteras från supraledarens yta och bli ett hål med samma excitationsenergi. Eftersom laddningen av hålet är motsatt laddningen av elektronen, överförs under Andreevs reflektion, enligt lagen om bevarande av laddning, en laddning lika med två gånger laddningen av elektronen till supraledaren, vilket bildar ett Cooper-par där [2] . Således fördubblas strömmen genom NS-kontakten ungefär, vilket uttrycks på kontaktens ström-spänningskarakteristik som en linjär sektion med dubbel lutning vid låga spänningar . Vid går ström-spänningskarakteristiken linjärt längs den ohmska lagen. $|eV|<\Delta$ $|eV|>\Delta$

I det enklaste fallet med en isotrop metall utan magnetfält och magnetisk struktur, och en supraledare med s-parning, fortskrider processen enligt följande. Med Andreev-reflektion bevaras excitationsenergin, det vill säga kvasipartikeln passerar från elektrongrenen i excitationsspektrumet till hålgrenen med samma energi. I det här fallet skiljer sig elektronmomentet något från hålets momentum, men förändringen i momentum är försumbar jämfört med Fermi-momentet när det gäller metaller där Fermi-energin är hög. Däremot är grupphastigheten för ett hål (där och betecknar kvasipartiklars energi och rörelsemängd) motsatt till grupphastigheten för en elektron [3] . Därför, i koordinatutrymmet, rör sig hålet längs elektronens bana, men i motsatt riktning ( engelska retroreflektion ). Med andra ord, under Andreev-reflektion, vänder kvasipartikeln båda hastighetskomponenterna (vid vanlig reflektion byter endast den normala komponenten tecken). Eftersom spinnerna för de två elektronerna i ett Cooper-par är motsatta, är spinnerna för elektronen och hålet också motsatta. ${\vec {v}}=\partial \varepsilon /\partial {\vec {p}}$ $\varepsilon$ ${\vec {p}}$

Teoretisk beskrivning

De flesta av de teoretiska metoder som används för att beskriva Andreevs reflektion är baserade på Greens funktionsmetod . Eftersom beskrivningen baserad på Greenens funktioner är krånglig för supraledare används den semiklassiska approximationen - Eilenberger-ekvationerna för rena system och Usadel-ekvationerna i det fall föroreningskoncentrationen är tillräckligt hög [4] . Men för de flesta problem är det möjligt att ytterligare förenkla formalismen och använda de intuitiva Bogolyubov-de Gennes-ekvationerna , som helt enkelt är en generalisering av Schrödinger-ekvationen till fallet med ett system som innehåller både elektroner och hål.

BTK-teorin [5] använder den sista approximationen för att hitta ström-spänningsegenskaperna genom en metall-supraledarkontakt. Teorin betraktar ett endimensionellt problem för rena material, där partikelvågsvektorn är ett bra kvanttal och har en fri parameter: barriärhöjden vid gränsen . Bogolyubov-de Gennes ekvation för en supraledare skrivs som

{\begin{pmatrix}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+G\delta (x)-\mu &\Delta \\\Delta ^{*} &\mu -{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-G\delta (x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{ pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

där är den reducerade Planck-konstanten , m är elektronmassan, k är partikelns vågvektor, μ är den kemiska potentialen , Δ =Δ 0 e iφ är det supraledande gapet, φ är supraledarens fas, u och v är elektron- och hålvågsfunktionerna , G δ( x) är en deltafunktion med amplitud G . Energiegenvärdena ε hittas från den karakteristiska ekvationen $\hbar$

\varepsilon ^{2}=\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+\Delta ^{2}

Figuren visar spridningsförhållandena för fallet med en metall och en supraledare [6] .

Av de två lösningarna på denna ekvation betraktas endast positiv energi. Sedan för en metall, där Δ = 0, finns det fyra vågvektorer (för ε < μ) som motsvarar planlösningar för plana vågor . Tabellen visar alla lösningar av ekvationen. För elektroner används indexet "e", och för hål med positiv energi, det vill säga från ledningsbandet , indexet "h". I fallet med en supraledare, när |Δ| > 0, två fall bör särskiljas. När energin ε > |Δ|, så finns det lösningar i form av plana vågor. Det andra fallet motsvarar tillståndet ε < |Δ|, när det finns lösningar i form av dämpade vågor som motsvarar den välkända effekten av subbarriärtunnling inom kvantmekaniken.

Lösning av Bogolyubov-de Gennes ekvation

Parameter	Metall	Supraledare ε > Δ 0	Supraledare ε < Δ 0
Vågvektorer för elektroner	$\hbar k_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +\varepsilon }}$	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu +i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , e< AO
Vågvektorer för hål	$\hbar k_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -\varepsilon ))$	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu -{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , e< AO
Elektroniska vågfunktioner	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}\\0\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$
Hålvågsfunktioner	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}0\\v_{0}\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$
Elektroniska amplituder	$u_{0}=1$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$
Hålamplituder	$v_{0}=1$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$

Om vi nu använder standardteorin för spridningsmatrisen i det endimensionella fallet, där de infallande, reflekterade och transmitterade vågorna skrivs i ovanstående form, så kan vi erhålla ekvationer för reflektion och transmissionskoefficienter med hjälp av villkoren för kontinuitet för vågfunktionen vid gränsen och hoppvillkoret för derivatan vid gränsen i fallet att addera en deltapotential med godtycklig höjd. För härledningen finns också ett villkor för grupphastigheten , så att sannolikhetsströmmen överförs enligt definitionen för infallande, reflekterade och sända vågor, och endast en infallande våg för en elektron beaktas, och resten sprids. . Grupphastigheter skiljer sig för metall v e/h och supraledare w e/h

v_{e/h}={\frac {\hbar k_{e/h}}{m}}

w_{e/h}={\frac {\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{2}}}{\varepsilon }}v_{e/h}

Dessutom kan man se att i en supraledare närmar sig grupphastigheten noll när energin närmar sig gapets bredd. När det gäller Andreev-reflektion, när Fermi-nivån är mycket större än energin hos partiklarna och gapet, skrivs spridningsamplituderna (reflektion och transmission) i formen

r_{he}={\frac {u_{0}v_{0}}{u_{0}^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0} ^{2})}}e^{-i\phi }

r_{ee}={\frac {(Z^{2}-iZ)(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}{u_{0}^{2} +Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}

t_{ee}={\frac {(1-iZ)u_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0} ^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

t_{he}={\frac {iZv_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0}^{2}+ Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

var är en parameter som bestämmer barriärens transparens. Motsvarande sannolikheter kommer att vara i form av kvadrater av amplitudmoduler. En helt genomskinlig barriär kommer att leda till nollställning av processen e → e , d.v.s. det blir ingen reflektion av elektronen, medan för processen e → h kommer följande uttryck att erhållas ε < Δ 0 ${\displaystyle Z=Gm/\hbar ^{2}k_{F))$

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -i{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}

och motsvarande sannolikhet kommer att vara lika med 1. Vid höga energier ε > Δ 0 kommer amplituden att avta med ökande energi

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -{\textrm {arccosh}}{\ frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))

Andreevs konduktivitet

Ovanlig Andreevs reflektion

Gräns normal metall - ferromagnet

Supraledare med d-parning

Grafen

Bogolyubov-de Gennes ekvation för en supraledare har formen [7]

{\begin{pmatrix}H-E_{F}&\Delta \\\Delta ^{*}&E_{F}-\Theta H\Theta ^{-1}\end{pmatrix)){\begin {pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

där H är Hamiltonian för en partikel, EF är Fermi-nivån , Δ är energigapet eller ordningsparametern , u och v är elektron- och hålvågsfunktionerna , Θ är tidsinversionsoperatorn, som introduceras av denna relation

\Theta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}C=\Theta ^{-1}

där C är komplex konjugation . Så ε > 0 är den positiva energin för kvasipartiklar räknat från Fermi-nivån. Vid normaltillstånd separeras ekvationerna för elektroner och hål och lösningarna är oberoende och symmetriska i energi. När interaktionen mellan elektron- och hålkomponenterna slås på med hjälp av parpotentialen Δ, bildas bundna tillstånd av elektroner och hål. Utan en specifik form av en-partikel Hamiltonian kan Bogolyubov-de Gennes ekvation tillämpas på vilken spridningslag som helst. När det gäller grafen, med dess linjära förhållande mellan energi och vågvektor, tar Hamiltonian formen

H={\begin{pmatrix}H_{+}&0\\0&H_{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i\hbar v_{F}(\sigma _{x} \partial _{x}+\sigma _{y}\partial _{y})+U&0\\0&-i\hbar v_{F}(\sigma _{x}\partial _{x}-\sigma _ {y}\partial _{y})+U\end{pmatrix}}

σ x , σ y , σ z är Pauli-matriserna , som inte verkar i spin-utrymmet, utan i utrymmet av subgitter, även kallat pseudospin, v F är Fermi-hastigheten, U är den potentiella energin, som är negativ i regionen under supraledaren, | k | 2 = k x 2 + k y 2 är kvadraten på vågvektorn. Genom att ersätta denna Hamiltonian i Bogolyubov-de Gennes-ekvationen får vi ett system med åtta differentialekvationer med vågfunktioner , . Detta system delas upp i två system med fyra ekvationer vardera, vilket leder till Dirac–Bogolyubov–de Gennes ekvationer med dispersionsrelationen ${\displaystyle u=(\Psi _{A+},\Psi _{B+},\Psi _{A-},\Psi _{B-})^{T))$ $v=(\Psi _{A-}^{*},-\Psi _{B-}^{*},\Psi _{A+}^{*},-\Psi _{B+}^ {*})^{T}$

\varepsilon ={\sqrt {|\Delta |^{2}+(E_{F}-U\pm \hbar v_{F}|{\textbf {k}}|)^{2}}}

När man härledde Bogolyubov-de Gennes-ekvationen tog man hänsyn till medelfältsapproximationen, där koherenslängden för supraledaren är mycket större än Fermi-längden i supraledaren , men förhållandet mellan dessa storheter för en supraledare och en normal metall har inga begränsningar, och två begränsningsfall är möjliga, när och . Dessa två fall är fundamentalt olika: om elektronenergin är , då vid , observeras den vanliga Andreev-reflektionen, och vid , uppstår en spegel Andreev-reflektion, när det reflekterade hålet behåller hastighetsprojektionen på gränsen. För grafen finns det heller ingen reflektion när elektroner normalt faller in på supraledare-metallgränssnittet för någon skillnad i Fermi-nivåer på grund av bevarandet av kiralitet , i motsats till normal metall, där reflektion finns. ${\displaystyle \xi =\hbar v_{F}/|\Delta |\gg \lambda _{F}^{s))$ ${\displaystyle \xi \gg \lambda _{F}^{n))$ ${\displaystyle \xi \ll \lambda _{F}^{n))$ $\varepsilon <|\Delta |$ $E_{F}\gg |\Delta |$ $E_{F}\ll |\Delta |$

Kontakt supraledare - hög transparens isolator - supraledare

När två supraledare är svagt kopplade, såsom i en supraledare-isolator-supraledare (SIS) struktur, kan superström flyta på grund av Josephson-effekten , som uppstår på grund av den fasta fasskillnaden för vågfunktionerna för strömbärarna i de två supraledarna över det normala metallmellanskiktet [8] [9 ] . En sådan anordningsstruktur är känd som en Josephson-övergång, och den maximala mängden överström som flyter genom övergången definieras som den kritiska Josephson-strömmen , Ic . I de renaste konventionella metallövergångarna är produkten av överström och resistans i normalt tillstånd ett konstant värde som är proportionellt mot storleken på BCS supraledande gap - 2Δ , det vill säga där I c är Josephsons kritiska ström och R n är metallens motstånd i normalt tillstånd ( formel Ambegaokara - Baratova ). Produkten I c R n beror inte på geometrin hos provet, eftersom samma geometriberoende parametrar självförstörer i uttrycken för I c och R n . Intressant nog uppstår en ny mesoskopisk regim när bredden, w , av en normal ledare krymper för att bli jämförbar med Fermi-våglängden λ F , för laddningsbärare, och dess konduktans i det normala tillståndet kvantiseras i enheter av e²/h, där e är elektronladdningen , och h är Plancks konstant , svagt beroende på de restriktioner som läggs på värdet av kanallängden, vilka beror på bildandet av endimensionella delband [10] [11] . Det förutspåddes [12] att den universella produkten I c R n =πΔ/2e också spelar en viktig roll i korta Josephson-korsningar med diskreta transversella moder, där var och en av de N moderna bildar en oberoende nivå associerad med Andreevs reflektion och bidrar lika mycket. till total överström [13] . Således, I c =2πNeΔ/h, även om en sådan regim inte har uppnåtts experimentellt [14] [15] . I de flesta tidigare studier av SIS sandwichstrukturer har konventionella metaller använts för att bilda korsningarna. I dessa övergångar är det svårt att uppnå en regim där w ~λ F , eftersom det är önskvärt att realisera en stabil och kontrollerad övergång flera atomlager breda [16] . Denna begränsning kan övervinnas när man använder halvledare på grund av närvaron i dem av en låg densitet av laddningsbärare och följaktligen en stor Fermi-våglängd, eftersom λ F =2π/k F =(2π/p 2D ) 1/2 , där kF är Fermi-vågsvektorn och p 2D är den tvådimensionella koncentrationen av hål i brunnen. $I_{c}R_{n}=\pi \Delta /2e$

Bundna tillstånd och Josephson-effekten

Flera St. Andrew's Reflection

Andreevskaya interferometri

Anteckningar

↑ Andreev A. F. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - M. , 1964. - T. 46 . - S. 1823 .
↑ 1 2 Nazarov & Blanter, 2009 , sid. 98.
↑ Nazarov & Blanter, 2009 , sid. 98-99.
↑ A. V. Svidzinsky. Rumsligt inhomogena problem i teorin om supraledning . - Nauka (Moskva), 1982. - S. 141 -157. — ISBN 9780521832465 .. (ryska)
↑ G.E. Blonder, M. Tinkham och T.M. Klapwijk. Övergång från metalliska till tunnelsystem i supraledande mikrokonstriktioner: Överström, laddningsobalans och superströmomvandling // Phys . Varv. B. - 1982. - Vol. 25 . — S. 4515 . - doi : 10.1103/PhysRevB.25.4515 .
↑ Dolcini F. Andreev Reflektion // Lecture Notes for XXIII Physics GradDays. — 2009. (otillgänglig länk)
↑ Beenakker CWJ Speglande Andreev reflektion i grafen // Phys . Varv. Lett.. - 2006. - Vol. 97 . — S. 067007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.97.067007 .
↑ Tinkham M. Introduktion till supraledning. — Dover New York, 1996.
↑ Likharev KK Supraledande svaga länkar // Rev. Mod. Phys.. - 1979. - T. 51 . - S. 101 .
↑ Thornton TJ, Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis GJ Endimensionell ledning i 2D-elektrongasen i en GaAs-AlGaAs-heteroövergång // Phys. Varv. brev. - 1986. - T. 56 . - S. 1198 .
↑ van Wees BJ, van Houten H., Beenakker CWJ, Williamoson JG, Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon CWJ Kvantiserad konduktans av punktkontakt i tvådimensionell elektrongas // Phys. Varv. brev. - 1988. - T. 60 . - S. 848 .
↑ Beenakker CWJ, van Houten H. Josephson ström genom en supraledande kvantpunktskontakt kortare än koherenslängden // Phys. Varv. brev. - 1991. - T. 66 . - S. 3056 .
↑ Klapwijk TM Närhetseffekt ur ett Andreevs perspektiv //Journal of Superconductivity Incorporating Novel Magnetism. - 2004. - T. 17 . - S. 593 .
↑ Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Observation av maximal superströmkvantisering i en supraledande kvantpunktkontakt. — Fysisk. Varv. Brev, 1995. - T. 75 . - S. 3533 .
↑ Bauch T., Hurfeld E., Krasnov VM, Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Korrelerad kvantisering av superström och konduktans i en supraledande kvantpunktkontakt // Phys. Varv. B. - 2005. - T. 71 . - S. 174502 .
↑ Muller CJ, Vanruitenbeek JM, De Jongh LJ Conductance and supercurrent discountinuities in atomic-scale metallic constrictions of variable width // Phys. Varv. brev. - 1992. - T. 69 . - S. 140 .

Litteratur

Yuli V. Nazarov och Yaroslav M. Blanter. Quantum Transport: Introduktion till nanovetenskap . - Cambridge University Press (Cambridge), 2009. - S. 98-114 . — ISBN 9780521832465 .