Boolesk ring

En boolesk ring är en ring med idempotent multiplikation, det vill säga en ring där för alla [1] [2] [3] . $(R, +, \cdot)$ $x^{2}=x$ $x \i R$

Relation till boolesk algebra

Det mest kända exemplet på en boolesk ring erhålls från boolesk algebra genom att införa addition och multiplikation enligt följande: $(B,\land ,\lor ,\linte )$

$x+y=(x\land \linte y)\lor (\linte x\land y)$ ,
$x\cdot y=x\land y$ .

I synnerhet bildar Boolean för en del uppsättning en boolesk ring med avseende på den symmetriska skillnaden och skärningspunkten mellan delmängder . I samband med detta grundläggande exempel, genom att introducera addition i en boolesk ring som " exklusiv eller " för booleska algebror, och multiplikation som en konjunktion , används symbolen ibland för addition i booleska ringar , och för multiplikation, tecknen på gitterinfimum ( , , ). $X$ $\ plus$ $\landa$ $\keps$ $\sqcap$

Varje boolesk ring som erhålls på detta sätt från en boolesk algebra har en enhet , som sammanfaller med enheten för den ursprungliga booleska algebra. Dessutom definierar varje boolesk ring med identitet unikt en boolesk algebra genom följande definitioner av operationer: $(R,+,\cdot ,1)$

$x\land y=x\cdot y$ ,
$x\lor y=x+y+xy$ ,
$\linte x=1+x$ .

Egenskaper

I varje boolesk ring , som en konsekvens av idempotens med avseende på multiplikation: $(R, +, \cdot)$ $x+x=0$

x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x

och eftersom annulus är en abelisk grupp , är det möjligt att subtrahera en komponent från båda sidor av denna ekvation. $(R+)$ $x+x$

Varje boolesk ring är kommutativ , vilket också är en konsekvens av multiplikationens idempotens:

x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx

som ger , vilket i sin tur betyder . $xy+yx=0$ $xy=yx$

Varje icke-trivial finit boolesk ring är en direkt summa av restfält modulo 2 ( ) och har en enhet . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Kvoteringen av en boolesk ring av ett godtyckligt ideal är också en boolesk ring. På samma sätt är varje underring av någon boolesk ring en boolesk ring. Varje primideal i en boolesk ring är maximal : en kvotring är en integritetsdomän , såväl som en boolesk ring, så den är isomorf till ett fält , som visar maximalitet . Eftersom maximala ideal alltid är primtal, är begreppen primtal och maximal ideal desamma för booleska ringar. $R/I$ $jag$ $P$ $R$ $R/P$ $\mathbb {F} _{2}$ $P$

Booleska ringar är helt platta , det vill säga alla moduler över dem är platt .

Varje ändligt genererat ideal för en boolesk ring är principiellt .

Anteckningar

↑ Frehley, 1976 , sid. 200.
↑ Gerstein, 1964 , sid. 91.
↑ McCoy, 1968 , sid. 46.

Litteratur

M. Atiyah , I.G. Macdonald . Introduktion till kommutativ algebra. - Westview Press, 1969. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
John B. Fraleigh. En första kurs i abstrakt algebra. — 2:a. - Läsning: Addison-Wesley , 1976. - ISBN 0-201-01984-1 .
I Herstein. Ämnen i algebra. - Waltham: Blaisdell Publishing, 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Neal H. McCoy. Introduktion till modern algebra . — reviderad. — Boston: Allyn och Bacon, 1968.