Snabbt-långsamt system

Ett snabbt-långsamt system i matematik är ett dynamiskt system där det finns processer som sker på olika tidsskalor. Fasvariablerna i ett sådant system är indelade i två klasser: "snabba" och "långsamma" variabler. Förändringshastigheten för "snabba" variabler vid nästan alla punkter i fasutrymmet är mycket större än förändringshastigheten för "långsamma" variabler. Banorna för sådana system består av omväxlande sektioner av långsam "drift" och snabba "avbrott". Snabb-långsamma system beskriver olika fysiska och andra fenomen där den gradvisa evolutionära ackumuleringen av små förändringar över tid leder till en abrupt övergång av systemet till en ny dynamisk regim. [ett]

Relaterade termer: singulärt störda system , avslappningsoscillationer , dynamiska bifurkationer .

Formell definition och grundläggande begrepp

Betrakta familjen av system av vanliga differentialekvationer

${\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon )\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\end {fall}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)$

Om f och g smidigt beror på deras argument, och är en liten parameter , sägs familjen som skrivs på detta sätt definiera ett snabbt-långsamt system. Variabeln x kallas den snabba variabeln, y kallas den långsamma variabeln. Teorin om snabbt-långsamma system studerar det asymptotiska beteendet hos system av denna typ för . $\varepsilon$ $\varepsilon\till 0$

En långsam kurva är en uppsättning nollor för en funktion f: . När systemet kallas "snabb": variabeln y är en fast parameter. Den långsamma kurvan består av det snabba systemets fasta punkter och är därmed dess invarianta mångfald . För små är ett snabbt långsamt system en liten störning av ett snabbt: utanför varje fast område överstiger förändringshastigheten för variabeln godtyckligt förändringshastigheten för variabeln . Ur geometrisk synvinkel betyder detta att utanför den långsamma kurvans närhet är systemets banor praktiskt taget parallella med axeln för snabb rörelse . (I illustrationerna är det traditionellt avbildat vertikalt, se figuren.) ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $\varepsilon=0$ $\varepsilon \neq 0$ $M$ $x$ $y$ $x$

För en sektion av en långsam kurva som är liten i ett litet område och unikt projiceras längs riktningen för snabb rörelse (det vill säga att den inte har veck eller andra designegenskaper), bibehåller systemet ett invariant grenrör , som är nära den långsamma kurvan . Detta invarianta grenrör kallas den sanna långsamma kurvan . Dess existens kan härledas från Fenichels teorem eller från teorin om centrumfördelningar . Det specificeras på ett icke-unikt sätt, men alla sådana invarianta grenrör är exponentiellt nära (det vill säga avståndet mellan dem uppskattas till ). $\varepsilon$ $O(\varepsilon )$ $M$ $O(\exp -C/|\varepsilon |)$

Projektionen av vektorfältet för det snabba systemet längs den snabba rörelsens riktning på den långsamma kurvan kallas det långsamma fältet , och ekvationen som ges av detta fält och definieras på den långsamma kurvan kallas den långsamma ekvationen . Dynamiken i det störda systemet (at ) på den sanna långsamma kurvan approximeras av den långsamma ekvationen med en noggrannhet på . $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

Blandat system

För analys av snabbt-långsamma system är det ofta användbart att överväga det så kallade blandade systemet . Vi antar att på den långsamma kurvan ges dynamiken av den långsamma ekvationen och utanför den långsamma kurvan av det snabba systemet. "Bransen" för ett sådant system (den så kallade "singularbanan") är en bitvis jämn kurva som består av alternerande bågar av den stabila delen av den långsamma kurvan och snabba avbrott.

I snabbt-långsamma system på planet (det vill säga när de snabba och långsamma variablerna är endimensionella), under vissa icke-degenerationsförhållanden, tillåter de singulära banorna för det blandade systemet en att "simulera" beteendet hos den snabba- långsamt system för små : den "riktiga" banan passerar i -grannskapet av singularet . Dess dynamik består av alternerande faser av långsam "drift" nära de stabila delarna av den långsamma kurvan och snabba "avbrott" längs banorna för snabb rörelse. $\varepsilon \neq 0$ $O(\varepsilon )$

Under "långsamma" rörelser färdas banan ett fast avstånd i en tid av storleksordningen , samtidigt som den attraheras exponentiellt till den motsvarande sanna långsamma kurvan (och andra banor). $O(1/\varepsilon )$

Avslappningscykler

Tänk på följande snabbt-långsamma system som är associerat med Van der Pol-oscillatorn :

${\begin{cases}{\dot {x}}&=-y+xx^{3};\\{\dot {y}}&=\varepsilon x.\end{cases}}$

Dess långsamma kurva är en kubisk parabel . (Se fig.) Med tanke på ett blandat system är det lätt att konstruera den så kallade "singularcykeln" som går genom punkterna , , , . Observera att cykeln beror på att det långsamma fältet är riktat till höger längst upp i grafen och till vänster längst ner; Dessutom, på den instabila delen av den långsamma kurvan, har det långsamma systemet en fast punkt. ${\displaystyle y=xx^{3))$ $G_{1}$ $F_{2}$ $G_{2}$ $F_{1}$

Vid nära denna singulära cykel har det snabb-långsamma systemet en "riktig" stabil gränscykel. Faktum är att den sanna långsamma kurvan nära segmentet fortsätter i direkt tid bortom stallpunkten , bryts ner, når närheten av den nedre delen av den långsamma kurvan, förflyttar sig sedan till vänster nära den sanna långsamma kurvan som motsvarar segmentet , genomgår en stall uppåt och faller igen i närheten av bågen . På grund av effekten av exponentiell konvergens av banor när man rör sig nära stabila sektioner av en långsam kurva (se slutet av föregående avsnitt), är Poincaré-kartan från transversal till sig själv (se fig.) en sammandragningskarta , och har därför en fast punkt . Detta innebär att systemet har en gränscykel. Ett sådant system sägs också uppleva avslappningssvängningar . $\varepsilon >0$ $F_{1}G_{1}$ $G_{1}$ $F_{2}G_{2}$ $F_{1}G_{1}$ $J$

Historisk översikt

Avslappningsvibrationer

Avslappningssvängningar upptäcktes först inom radioteknik . För att beskriva svängningar i en krets som inkluderar två resistanser , en kapacitans , en induktans och en tetrod , föreslog B. Van der Pol i slutet av 1900-talet [2] en andra ordningens vanlig differentialekvation ( Van der Pol ekvation ), beroende på parametern, som vi kommer att beteckna med . Den angivna parametern uttrycktes genom konturelementens parametrar. Vid små svängningar i kretsen var de nära harmoniska, men med en ökning förändrades deras karaktär, och vid stora värden på parametern började sektioner av två typer särskiljas i oscilleringsprocessens dynamik: "långsam" ” förändringar och snabba ”hopp” från ett tillstånd till ett annat. Van der Pol föreslog att sådana svängningar skulle kallas avslappningssvängningar och lade fram hypotesen att, för , motsvarande lösningar blir diskontinuerliga. (I detta avseende kallas avslappningssvängningar också ofta diskontinuerliga .) $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu \to +\infty$

Liknande effekter har också observerats i andra fysiska system. I synnerhet, under analysen av olika multivibratorkretsar, fann A. A. Andronov och A. A. Witt [1] att vissa "parasitära" parametrar (som resistans eller självinduktans hos en ledare), traditionellt förkastades på grund av deras relativa litenhet vid konstruktion av en modell , kan avsevärt påverka systemets beteende: till exempel delta i bildandet av positiv feedback och därmed spela en nyckelroll i förekomsten av självsvängningar . Sålunda ledde deras avslag till en otillräcklig modell. Inledningsvis beaktades påverkan av små parametrar genom att introducera "hopppostulatet" som föreslagits av L. I. Mandelstam , enligt vilket, från fysiska överväganden, deklarerades att, efter att ha nått ett visst tillstånd, övergår systemet "omedelbart" till ett annat stat. Den matematiska motiveringen av "hopppostulatet" erhölls av N. A. Zheleztsov och L. V. Rodygin [3] [4] , och krävde övervägande av ekvationer där den "parasitära" lilla parametern var en koefficient vid den högsta derivatan, och dess inkludering ökade ekvationens ordning — eller, med andra ord, dimensionen av fasrummet i motsvarande system. Sålunda, sedan 1940-talet, började olika forskare överväga system av formen

\left\{{\begin{matrix}\varepsilon x'&=&f(x,y,\varepsilon ),\\y'&=&g(x,y,\varepsilon ).\end{matrix} }\höger.

((*))

eller, efter att ha bytt till en annan tidsskala : $t=\tau /\varepsilon$

{\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon ),\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon ),\ slut{cases}}

((**))

där och kan vara, generellt sett, flerdimensionella koordinater, och är en liten parameter. Den klassiska van der Pol-ekvationen reduceras till ett system av liknande form med hjälp av Liénard-transformationen (i detta fall ). Sådana system kallas i modern terminologi "snabbt-långsamt": koordinera - snabbt, - långsamt. Av intresse är det asymptotiska beteendet hos lösningar för . $x$ $y$ $\varepsilon$ $\varepsilon \sim 1/\mu$ $x$ $y$ $\varepsilon\till 0$

Snabba och långsamma system

Fasporträtten av system (*) och (**) vid fasta sammanfaller, men det begränsande beteendet vid är annorlunda: gränsen (*) kallas ett långsamt system (det anger rörelse i "långsam tid" ) och gränsen ( **) kallas snabb . Det snabba systemets traktorier ligger i plan , och uppsättningen av nollor för funktionen , som kallas den långsamma ytan , består helt och hållet av singulära (fasta) punkter i det snabba systemet (som därför inte är isolerade). Omvänt ligger banorna för ett långsamt system helt på den långsamma ytan. $\varepsilon \neq 0$ $\varepsilon \to 0$ $\tau$ $y={\mathrm {c} onst}$ ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $f$

Övervägande av dessa begränsningssystem gjorde det möjligt att förklara utseendet av "momentana hopp". Det långsamma systemet motsvarar modellen, i vars konstruktion "parasitära" små parametrar förkastades. Den beskriver på ett adekvat sätt beteendet hos ett verkligt system för små , men bara så länge som rörelsen sker nära de långsamma ytsegmenten, som består av stabila singulära punkter i det snabba systemet. Emellertid kan banan för ett långsamt system någon gång nå gränsen för den attraherande regionen. I detta ögonblick kan det verkliga systemets bana uppleva ett stall : lämna närheten av den långsamma ytan och växla från långsam rörelse till snabb rörelse, som ställs in av det snabba systemet. Detta är det observerade "hoppet" (på en långsam tidsskala sker det "omedelbart", dvs. banan har en diskontinuitet; på en snabb tidsskala, i en tid av storleksordningen ), vilket inte kan förklaras genom att försumma små parametrar. I det här fallet kan banan, efter den snabba dynamiken, åter falla på en stabil del av den långsamma ytan, varefter den snabba rörelsen återigen kommer att ersättas av långsam rörelse osv. $\varepsilon$ $\varepsilon \neq 0$ $\tau$ $O(1)$

Sålunda blev det möjligt att beskriva beteendet hos lösningar av snabbt-långsamma system, med tanke på alternerande faser av långsam rörelse längs stabila delar av den långsamma ytan, bestämda av det långsamma systemet, och stall längs det snabba systemets banor. Om de snabba och långsamma koordinaterna är endimensionella (det vill säga snabb-långsamma system på planet beaktas), tillfredsställs denna beskrivning av den typiska banan för ett typiskt system. Den slutna banan som passerar genom sektionerna av snabba och långsamma rörelser är en avslappningscykel som ansvarar för uppkomsten av avslappningssvängningar.

Ytterligare forskning inom detta område var huvudsakligen inriktad på att hitta asymptotik med avseende på olika parametrar för systemets verkliga banor vid (till exempel perioden av avslappningssvängningar). Betydande svårigheter orsakades av analysen av dynamiken i närheten av nedbrytningspunkterna, där växlingen från snabb till långsam rörelse sker. Detta problem löstes av L. S. Pontryagin och E. F. Mishchenko i slutet av 1950 -talet [5] [6] . Viktiga resultat erhölls av A. N. Tikhonov, A. B. Vasil'eva, L. Flatto, N. Levinson och andra [7] [8] . De första termerna i den asymptotiska serien för perioden av relaxationssvängningar i Van der Pols ekvation beräknades först av A. A. Dorodnitsyn [9] . Ett antal asymptotika för det allmänna fallet med ett snabbt långsamt system på ett plan erhölls av J. Haag på 40-talet [10] [11] . De metoder som utvecklats av Pontryagin och Mishchenko gjorde det möjligt att erhålla fullständig asymptotik för lösningar av typiska snabbt-långsamma system på planet, vilka beskrevs i monografin av E. F. Mishchenko och N. Kh Rozov [12] , som har blivit en klassiker . $\varepsilon$ $\varepsilon\till 0$

Spännande buckling och ankor

Det visade sig dock att denna enkla kvalitativa beskrivning inte uttömmer alla möjliga typer av banor för snabbt-långsamma system. Så på 70-talet upptäckte Pontryagin fenomenet att fördröja förlusten av stabilitet : det visade sig att i analytiska snabbt-långsamma system med en tvådimensionell snabb koordinat, efter att ha passerat stabilitetsgränsen, kan banan stanna under lång tid nära den redan instabila delen av den långsamma ytan (passerar längs den separerad från nollavstånd), och först då genomgår ett sammanbrott och byter till snabb rörelse. På ett specifikt exempel studerades denna effekt i arbetet av M. A. Shishkova [13] 1973, utfört under ledning av Pontryagin; det allmänna fallet analyserades av A. I. Neishtadt [14] 1985.

En liknande effekt upptäcktes av eleverna till J. Riba (E. Benois, J. Callot, F. Diene, M. Diene) [15] [16] i början av 80-talet i snabbt-långsamma system med ett snabbt och ett långsamt variabel. De studerade födelsen av en avslappningsgränscykel i Van der Pol-systemet med en extra parameter. Det visade sig att när denna parameter vid en fastställd passerar ett exponentiellt smalt (i ) intervall (det vill säga ett intervall av orderlängd ), passerar gränscykeln från en singulär punkt som ett resultat av Andronov-Hopf-bifurkationen genom flera stadier av evolution innan de tar formen av en klassisk avslappningscykel. I det här fallet, som det visade sig, för parameterns mellanvärden passerar motsvarande gränscykler nära några bågar av den instabila delen av den långsamma kurvan. Sådana banor kallades "ankor" ( franska canard , nu används även engelska engelska anka ) - dels på grund av den kontraintuitiva effekten, som till en början uppfattades som en "tidningsanka", dels på grund av sin form, som vagt liknar en flygande anka [7] [17] . Inslagslösningar har hittats i olika kemiska, biologiska och andra modeller. [arton] $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\exp(-C/\varepsilon )$

Inledningsvis studerades anklösningar med metoder för icke-standardanalys , men snart kunde de tillämpa de redan klassiska metoderna för asymptotiska serier på dem (W. Ekkauz [19] , E. F. Mishchenko, A. Yu. Kolesov, Yu. S Kolesov, N. Kh Rozov [20] [21] ), och senare - den geometriska teorin om enskilt störda system (utvecklad av N. Fenichel [22] ) med användning av uppblåsningsmetoden (F. Dumortier och R. Roussari [ 23] , M. Krupa och P. Smolyan [24] ). Det visade sig att anklösningar är ett "sällsynt" fenomen i plansystem. Speciellt, attraherande inslagscykler, som kan detekteras under ett numeriskt experiment , visas endast i närvaro av en ytterligare parameter, och uppsättningen av "inslag"-värden för denna parameter för ett fast värde är exponentiellt smal i . $\varepsilon$ $\varepsilon$

År 2001 upptäckte Yu. S. Ilyashenko och J. Guckenheimer [ 25] ett fundamentalt nytt beteende för snabbt-långsamma system på en tvådimensionell torus. Det visades att för en viss familj av system, i avsaknad av ytterligare parametrar , för ett godtyckligt litet värde av , kan systemet ha en stabil ankcykel. Därefter visade I. V. Shchurov [26] att ett liknande fenomen också observeras på ett typiskt sätt - i någon öppen uppsättning snabbt-långsamma system. $\varepsilon$

Litteratur

V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Teori om bifurkationer // Dynamiska system-5. Resultat av vetenskap och teknik. Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. - M .: VINITI , 1986. - T. 5 . - S. 5-218 . — ISSN 0233-6723 .
DV Anosov Om utvecklingen av teorin om dynamiska system under de senaste kvarts sekel , kapitel Teori om singular störningar .

Anteckningar

↑ 1 2 Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. Teori om vibrationer. — 2:a upplagan. - 1959. - S. 727-855. — 914 sid.
↑ van der Pol, B. , On relaxation-oscillations, The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. och J. of Sci., 2 :7 (1927), 978-992
↑ Zheleztsov N. A., Rodygin L. V. Om teorin om en symmetrisk multivibrator. — Dokl. AN SSSR, 81 :3 (1951), 391-392.
↑ N. A. Zheleztsov , Om teorin om diskontinuerliga vibrationer i andra ordningens system. Izv. institutioner för högre utbildning. Radiophysics 1 :1 (1958), 67-78.
↑ L. S. Pontryagin , Asymptotiskt beteende hos lösningar av system av differentialekvationer med en liten parameter vid högre derivator, Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat 21 :5 (1957), 605-626
↑ E. F. Mishchenko, L. S. Pontryagin , Härledning av några asymptotiska uppskattningar för lösningar av differentialekvationer med en liten parameter vid derivatorna, Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Mat 23 :5 (1959), 643-660
↑ 1 2 V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Dynamiska system - 5. VINITI, Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. 5 , 1986.
↑ se verk som citeras i V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Dynamiska system - 5. VINITI, Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. 5 , 1986 och E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differentialekvationer med en liten parameter och relaxationsoscillationer, Moskva, Nauka, 1975.
↑ A. A. Dorodnitsyn , Asymptotisk lösning av Van der Pols ekvation, Prikl. matematik. i Mekhan., 11 :3 (1947), 313-328
↑ Haag J. Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Supera. 60 (1943).
↑ Haag J. Exempel concrets d'etude asymptotique d'oscillations de relaxation. Ann. sci. Ecole Standard. Supera. 61 (1944).
↑ E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Differentialekvationer med en liten parameter och avslappningsoscillationer, Moskva, Nauka, 1975.
↑ M. A. Shishkova, Betraktelse av ett system av differentialekvationer med en liten parameter vid högre derivator, Dokl. AN SSSR, 1973, 209 :3, 576-579.
↑ Neishtadt A. I. Asymptotisk studie av förlusten av stabilitet i jämvikt med ett par egenvärden som långsamt passerar genom den imaginära axeln. Lycka till matte. Nauk, 1985, 40 :5, 190-191
↑ E. Benoit, J.F. Callot, F. Diener, M. Diener . Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 31-32 (1981), 37-119.
↑ M. Diener , The canard unchained or how fast/slow dynamiska systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38-48.
↑ Martin Wechselberger , Canards Arkiverad 9 februari 2019 på Wayback Machine , Scholarpedia, 2(4):1356 (2007),
↑ (Se t.ex. J. Moehlis , Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nlinear Sci. 12 :4, 319-345 och de verk som citeras där.
↑ W. Eckhaus , Avslappningssvängningar inklusive en standardjakt på franska ankor, i Asymptotic Analysis II, Springer Lecture Notes Math. 985 (1983), 449-494.
↑ A. Yu. Kolesov, E. F. Mishchenko. Pontryagins dragfenomen och stabila duckcykler av multidimensionella avslappningssystem med en långsam variabel. Mathematical Collection, 181 :5 (1990), 579-588.
↑ Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodiska rörelser och bifurkationsprocesser i singulart störda system. Moskva, "Fysisk-matematisk litteratur", 1995
↑ N. Fenichel , Geometrisk singular störningsteori för vanliga differentialekvationer, J. of Diff. Eq., 31 (1979), sid. 53-98.
↑ F. Dumortier och R. Roussarie , Canard cykler och mittgrenrör, Mem. amer. Matematik. Soc 121 :577 (1996).
↑ M. Krupa, P. Szmolyan , Utvidgning av geometrisk singular störningsteori till icke-hyperboliska punkter — veck- och kanardpunkter i två dimensioner, SIAM J. Math. Anal., 33 :2, 286-314.
↑ J. Guckenheimer, Yu. S. Ilyashenko , The Duck and the Devil: Canards on the Staircase, Moscow Math. J. , 1 :1, (2001), 27-47.
↑ IV Schurov, Ankor på torus: existens och unikhet (inte tillgänglig länk) , Journal of dynamical and control systems , 16 :2 (2010), 267-300.