Dixons hypotes

Dixons gissning är ett talteoretiskt antagande gjort av Linord Dixon 1904, som säger att för varje ändlig uppsättning linjära former med , finns det oändligt många naturliga tal n för vilka alla värden på formerna kommer att vara primtal samtidigt, om det inte finns en jämförelse med avseende på någon prime-modul som omedelbart utesluter denna möjlighet. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ $a_{j}\geqslant 1$

Formulering

Låt k vara ett naturligt tal, överväg k aritmetiska progressioner med heltal , och . Dixons gissning antyder att det finns oändligt många naturliga tal n så att för varje sådant n är alla k tal primtal. Endast det triviala fallet är uteslutet från övervägande, när det finns ett primtal p så att, för varje n , minst ett tal är en multipel av p . Denna begränsning kan omformuleras enligt följande: det är inte sant att jämförelsen utförs för något n . I det senare fallet kan både flera progressioner för olika n och en progression för alla n delas med p . Till exempel, för 2 progressioner alltid , och för 2 andra progressioner för jämnt n , och för udda - , så att i par av progressioner och antalet enkla par inte är oändligt. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\displaystyle a_{j},b_{j))$ $a_{j}\geqslant 1$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $n,2n$ $2\mid 2n$ $n,n+3$ $2\mid n$ $2\mid n+3$ $n,2n$ $n,n+3$

Vi noterar också att formuleringen av hypotesen blir mer naturlig om dess omfattning utvidgas från naturliga tal till alla heltal, i synnerhet inte bara positiva tal anses vara primtal utan även negativa tal (som verkligen är primelement i ringen i vanlig mening). I det här fallet finns det inget behov av att kräva positiviteten hos alla värden för alla progressioner , och därför kan tillståndet försvagas till , och det senare kan tas bort helt, eftersom det annars inte är en aritmetisk progression. $2,3,5,...$ $-2,-3,-5,...$ $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ $a_{j}\geqslant 1$ $a_{j}\neq 0$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$

Specialfall

Fallet har redan bevisats - detta är Dirichlets sats . $k=1$
De två specialfallen är välkända gissningar: det finns oändligt många tvillingprimtal ( n och n + 2 primtal), och det finns oändligt många Sophie Germain-tal ( n och 2 n + 1 primtal).
Polignacs gissning - det finns oändligt många enkla par av formen , t är ett fast naturligt tal (det vill säga ett oändligt antal enkla par , etc. ). $n,n+2t$ $(n,n+2)$ $(n,n+4)$ $(n,n+6)$
Konsekutiv primtalsförmodan: Om det inte finns något primtal p så att för alla n är antalet på varandra följande primtal oändligt (dessa är återigen par , trippel , fyrdubblar , etc.) $p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})$ $(n,n+2)$ $(n,n+2,n+6)$ $(n,n+2,n+6,n+8)$
Som andra konsekvenser kan man nämna det faktum att oändligheten av antalet sammansatta Mersenne-tal och oändligheten av Carmichael-tal som innehåller exakt 3 primtalsfaktorer följer av Dixons gissningar, etc.

Heuristiska överväganden till förmån för hypotesen

Låt vara antalet jämförelselösningar . Enligt antagandet av hypotesen, och sedan enligt heuristiska resonemang till förmån för Bateman-Horn-hypotesen, får vi att densiteten av tal n som inte överstiger x , för vilka alla tal är primtal, uppskattas av värdet $w(p)$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $w(p)<p$ $a_{j}n+b+j$

\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^ {x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t)),

här tas produkten över alla primtal p , och är talets naturliga logaritm . Värdet är asymptotiskt ekvivalent men det första uttrycket bör vara mer exakt. När , Det är lätt att kontrollera att koefficienten blir lika med , vilket motsvarar Dirichlet-satsen (här är Euler-funktionen ). $\ln$ $\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k))}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},$ $k=1$ ${\frac {1}{\varphi (a_{1)))))$ $\varphi$

Generaliseringar

Dixons gissningar generaliserades senare av Schinzel till Schinzels gissningar .

Se även

Länkar

Dickson, L.E. (1904), A new extension of Dirichlets theorem on prime numbers , Messenger of mathematics vol . 33: 155–161 , < https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155 > Arkiverad från maj 16, 2016 på Wayback Machine
Ribenboim, Paulo (1996), The new book of prime number records , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://books.google.com/books?id= 72eg8bFw40kC > Arkiverad 23 juni 2016 på Wayback Machine
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html Arkiverad 23 oktober 2012 på Wayback Machine

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Sedan - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotes Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotes Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problem Goldbach Legendre Tvillingnummer Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond – Sunya Hypotes H Waringa