Hilberts tolfte problem eller Jugendtraum (från tyska - "barndomsdröm") Kronecker - ett av de 23 matematiska problemen , angivna av David Hilbert 1900 [ 1] [2] , formulerat som en förlängning av Kronecker-Webers sats om den abelianska förlängningen av fältet för rationella tal på ett godtyckligt algebraiskt talfält . Det vill säga, analoger av enhetens rötter efterfrågas i form av komplexa tal , som är specifika värden för exponentialfunktionen ; kravet är att sådana siffror genererar en hel familj av ytterligare numeriska fält som är analoger till cyklotomiska fält och deras underfält.
Den klassiska teorin om komplex multiplikation, nu ofta kallad Kroneckers Jugendtraum , gör detta för fallet med vilket imaginärt kvadratiskt fält som helst med hjälp av modulära funktioner och elliptiska funktioner valda med ett specifikt periodgitter associerat med fältet i fråga. Goro Shimura utökade detta till CM-fält. Det allmänna fallet är fortfarande öppet från och med 2022. Leopold Kronecker beskrev problemet med komplex multiplikation som hans "liebster Jugendtraum" eller "sin ungdoms käraste dröm".
I avsnitt 12 i sin rapport Problems in Mathematics (1900) ger Hilbert Kroneckers Jugendtraum "av särskild betydelse" [1] [2] , och påpekar att Kronecker bevisade (1853) en sats (uppdaterad av Weber och Hilbert 1886) att :
(...) varje abeliskt talfält i de rationella talens rike är inbäddat i ett fält av enhetsrötter. (...) Eftersom det enklaste efter arean av rationella tal är det komplexa kvadratiska talområdet, uppstår problemet att bevisa Kronecker-satsen även för detta fall. (...) Beviset för Kroneckers gissning har ännu inte hittats. Ändå tror jag att det kan utföras utan större svårighet på grundval av teorin om komplex multiplikation som utvecklats av Weber, och med hänsyn till de rent aritmetiska satserna om klasserna av fält som jag har bevisat. Och slutligen fäster jag exceptionell vikt vid utvidgningen av Kronecker-satsen till fallet då, istället för domänen av rationella tal eller den komplexa kvadratiska domänen, ett godtyckligt algebraiskt talfält tas som domän för rationalitet. Jag betraktar detta problem som ett av de mest djupgående och långtgående problemen inom funktionsteorin. (...) När det gäller den funktionsteoretiska delen av problemet bör forskaren ta den mycket attraktiva vägen för den slående analogin som uppmärksammas mellan teorin om algebraiska funktioner för en oberoende variabel och teorin om algebraiska tal. (...) Som vi kan se, i ovanstående problem, är de tre huvudgrenarna av matematik - nämligen talteori , algebra och funktionsteori - i intern sammankoppling.
| Hilbert problem | |
|---|---|