Hurwitz zeta funktion

Inom matematiken är Hurwitz zetafunktion , uppkallad efter Adolf Hurwitz , en av många zetafunktioner som är generaliseringar av Riemanns zetafunktion . Formellt kan det definieras som en potensserie för komplexa argument s , för Re( s ) > 1 och q , Re( q ) > 0:

\zeta (s,q)=\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.

Denna serie är absolut konvergent för givna värden på s och q . Riemann zeta-funktionen är ett specialfall av Hurwitz zeta-funktionen för q = 1.

Analytisk fortsättning

Hurwitz zeta-funktionen tillåter en analytisk fortsättning till en meromorf funktion , definierad för alla komplexa s , för s ≠ 1. Vid punkten s = 1 har den en enkel pol med en rest på 1. Den konstanta termen för Laurent-seriens expansion i närheten av punkten s = 1 är:

\lim _{{s\to 1}}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)} {\Gamma (q)}}=-\psi (q)

där Γ( x ) är gammafunktionen och ψ( x ) är digammafunktionen .

Radrepresentationer

En konvergent potensserierepresentation för q > −1 och ett godtyckligt komplex s ≠ 1 erhölls 1930 av Helmut Hasse [1]

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\summa _ {{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \välj k}(q+k)^{{1-s}}.

Denna serie konvergerar enhetligt på alla kompakta delmängder av det komplexa s -planet till en hel funktion . Den inre summan kan representeras som den n : te ändliga skillnaden för , dvs. $q^{{1-s}}$

\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\summa _{{k=0}}^{n}(-1)^{{nk}}{n \choose k}(q+k )^{{1-s}}

där Δ är den finita differensoperatorn . På det här sättet

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n +1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}

={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.

Integral representationer

Hurwitz zeta-funktionen har en integrerad representation i form av Mellin-transformen :

\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{ -qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt

för Re( s )>1 och Re( q ) >0.

Hurwitz formel

\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\ pi s/2}}\beta (1-x;s)\right]

var

\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\summa _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n )^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2 \pi ix}})

Denna representation av Hurwitz zeta-funktionen är giltig för 0 ≤ x ≤ 1 och s >1. Här är polylogaritmen . ${\text{Li}}_{s}(z)$

Funktionell ekvation

Denna funktionella ekvation relaterar värdena för Hurwitz zeta-funktionen till vänster och till höger om den räta linjen Re( s )=1/2 i det komplexa s -planet. För naturliga m och n så att m ≤ n:

\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\summa _ {{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\ zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]

sant för alla värden av s .

Taylor-serien

Derivatan av Hurwitz zeta-funktionen med avseende på det andra argumentet uttrycks också i termer av Hurwitz zeta-funktionen:

{\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).

Så Taylor-serien är:

\zeta (s,x+y)=\summa _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!)}}{\frac {\partial ^{k } }{\partial x^{k))}\zeta (s,x)=\summa _{{k=0))^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y ) ^{k}\zeta (s+k,x).

Laurent-serien

Laurent- expansionen Hurwitz zeta-funktionen kan användas för att bestämma -konstanterna som visas i expansionen:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{ n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.

Fouriertransform

Den diskreta Fouriertransformen med avseende på variabeln s för Hurwitz zeta-funktionen är Legendre chi-funktionen [2]

Koppling med Bernoullis polynom

Funktionen definierad ovan generaliserar Bernoulli-polynomen : $\beta (x;n)$

B_{n}(x)=-Åter\vänster[(-i)^{n}\beta (x;n)\höger]

Å andra sidan,

\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \över n+1}.

I synnerhet när : $n=0$

\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.

Relation med Jacobi theta-funktionen

Om är Jacobi theta-funktionen , då $\vartheta (z,\tau )$

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{ {-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s) ,1-z)\höger]

Denna formel är sann för Re( s ) > 0 och alla komplexa z som inte är ett heltal. För ett heltal z = n är formeln förenklad:

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{- s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)

där ζ( s ) är Riemanns zeta-funktion. Det sista uttrycket är den funktionella ekvationen för Riemann zeta-funktionen.

Anslutning till Dirichlet L -funktionen

För rationella värden av argumentet kan Hurwitz zeta-funktionen representeras som en linjär kombination av Dirichlet L-funktioner och vice versa. Om q = n / k för k > 2, ( n , k ) > 1 och 0 < n < k , då

\zeta (s,n/k)=\summa _{\chi}\överlinje {\chi}(n)L(s,\chi),

summeringen utförs över alla Dirichlet-tecken modulo k . Och tillbaka

L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\summa _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s, {\frac {n}{k}}\höger).

i synnerhet är följande representation sann:

k^{s}\zeta (s)=\summa _{{n=1}}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),

generalisera

\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).

(Sant för naturligt q och icke-naturligt 1 − qa .)

Rationella värden av argument

Hurwitz zeta-funktionen förekommer i olika intressanta relationer för argumentens rationella värden. [2] I synnerhet för Euler-polynom : $E_{n}(x)$

E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n))))\summa _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

och

E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{ {2n+1}}}}\summa _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

Förutom

\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\summa _{{k=1}}^{q}\ vänster[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{ s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]

rätta till . Här och uttrycks i termer av Legendre chi-funktion som $1\leq p\leq q$ $C_{\nu }(x)$ $S_{\nu }(x)$ $\chi _{\nu }$

C_{\nu}(x)=\operatörsnamn {Re}\,\chi _{\nu}(e^{{ix)))

och

S_{\nu}(x)=\operatörsnamn {Im}\,\chi _{\nu}(e^{{ix}}).

Applikationer

Hurwitz zeta-funktionen förekommer i olika grenar av matematiken. Det finns oftast i talteorin , där dess teori är mest utvecklad. Hurwitz zeta-funktionen finns också i teorin om fraktaler och dynamiska system . Hurwitz zeta-funktionen används i matematisk statistik , uppstår i Zipfs lag . I elementarpartikelfysik förekommer det i Schwingerformeln [3] , som ger ett exakt resultat för parproduktionsindexet i Dirac-ekvationen för ett stationärt elektromagnetiskt fält .

Specialfall och generaliseringar

Hurwitz zeta-funktionen är relaterad till polygammafunktionen :

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).

Lerch zeta-funktionen generaliserar Hurwitz zeta-funktionen:

\Phi (z,s,q)=\summa _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}

det är

\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).

Anteckningar

↑ Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (tyska) // Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Bd. 32 , nr. 1 . - doi : 10.1007/BF01194645 .
↑ 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Värden för Legendre chi och Hurwitz zeta fungerar vid rationella argument // Math . Komp.. - 1999. - Nej . 68 . — S. 1623-1630 .
↑ J. Schwinger. Om mätinvarians och vakuumpolarisering // Fysisk granskning. - 1951. - T. 82 , nr 5 . — S. 664–679 . - doi : 10.1103/PhysRev.82.664 .

Litteratur

Milton Abramowitz och Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 .
Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments , Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), s 201-206.
Linas Vepstas, Bernoulli-operatören, Gauss-Kuzmin-Wirsing-operatören och Riemann Zeta
Istvan Mezo och Ayhan Dil, Hyperharmonisk serie som involverar Hurwitz zeta-funktion (länk ej tillgänglig) , Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.

Länkar

Jonathan Sondow och Eric W. Weisstein. Hurwitz Zeta Function (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .