Problemet med rättvis fördelning av föremål

Rättvis fördelning av objekt  är en typ av rättvis fördelningsproblem , där de objekt som behöver fördelas mellan deltagarna är odelbara . Objekt bör fördelas mellan partners som utvärderar objekt på olika sätt, och varje objekt ska ges som en helhet till en deltagare. Denna situation uppstår i flera verkliga scenarier:

• flera arvingar vill dela på arvet , vilket inkluderar till exempel ett hus, en bil, ett piano och flera tavlor;
• flera föreläsare bestämmer sig för att dela på de kurser som ges på deras fakultet. Varje föreläsare kan undervisa i en eller flera kurser, men endast hela kursen; flera föreläsare kan inte läsa en kurs.

Av objektens odelbarhet följer att en rättvis uppdelning kanske inte är möjlig. Ett extremt exempel är fallet när det bara finns en sak (säg: ett hus), den måste ges till en deltagare, men de andra deltagarna kommer inte att anse ett sådant beslut rättvist. Detta står i motsats till problemet med att skära tårtan , där föremålet kan delas och det finns en rättvis lösning på problemet. I vissa fall kan problemet med odelbarhet mildras genom införandet av kontanta betalningar , rotationer eller avvisande av vissa objekt, [1] men sådana lösningar är inte alltid möjliga.

Uppgiften att distribuera objekt har flera komponenter:

1. Deltagarna måste uttrycka sina preferenser för olika uppsättningar av objekt.
2. Gruppen måste bestämma vad skälighetskriteriet ska vara .
3. Baserat på preferenser och kriteriet om rättvisa, bör en rättvis distributionsalgoritm implementeras för att fastställa den mest rättvisa lösningen på problemet.

Dessa komponenter förklaras i detalj nedan.

Inställningar

Kombinatoriska inställningar

Det naturliga sättet att bestämma preferenser är att be varje deltagare att tilldela ett nummer till varje möjlig uppsättning objekt, det vill säga att ange dess värde i numeriska termer. Till exempel, om föremålen som ska distribueras är en bil och en motorcykel, kan deltagarna värdera en bil till 800, en motorcykel till 200 och en uppsättning {bil, motorcykel} till 900 (se artikeln Verktygsfunktioner om odelbara varor för fler exempel). Det finns två problem med dessa metoder:

1. Det kan vara svårt för en deltagare att beräkna det exakta numeriska värdet av en uppsättning objekt.
2. Antalet möjliga uppsättningar kan vara enormt - om det finns föremål, så finns det möjliga uppsättningar. Till exempel, om det finns 16 objekt, måste varje deltagare ange sina preferenser genom att ange 65536 nummer.

Det första problemet uppmuntrar användningen av ordinal nytta snarare än kvantitativ nytta . I en ordningsmodell behöver varje deltagare bara visa en rangordning över olika uppsättningar, det vill säga säga vilken uppsättning objekt som är bäst, vilken som ligger på andra plats osv. Detta kan vara lättare att beräkna exakta siffror, men är fortfarande svårt om antalet föremål är stort.

Det andra problemet löses ofta genom att arbeta med enskilda objekt snarare än samlingar av objekt:

• Med en numerisk ansats måste varje deltagare rapportera en numerisk bedömning av varje objekt;
• Med ett ordinärt tillvägagångssätt ska varje deltagare redovisa rangordningen av objekt (ordning efter värde), det vill säga vilket objekt som är mest värdefullt, vilket som ligger på andra plats osv.

Under vissa antaganden är det möjligt att höja objektpreferenser till objektuppsättningspreferenser [2] . Sedan rapporterar agenterna sina poäng/rankningar på enskilda objekt, och algoritmen beräknar poäng/rankningar på uppsättningar av objekt för objekten.

Tilläggsinställningar

För att göra uppgiften att allokera objekt lättare antas ofta att alla objekt är oberoende (således är de varken utbytbara eller komplementära ) [3] . Sedan

• I ett numeriskt tillvägagångssätt har varje deltagare en additiv verktygsfunktion (även kallad en modulär verktygsfunktion ). När en agent rapporterar värdet på varje enskilt objekt är det lätt att beräkna värdet på en uppsättning genom att summera värdena för dess ingående objekt.
• Med ett ordinärt tillvägagångssätt tillåter additivitet oss att göra en viss rangordning av uppsättningar. Till exempel, om en deltagare föredrar objekt i ordningen w > x > y > z, så kommer han nödvändigtvis att föredra {w, x} framför mängden {w, y}, eller uppsättningarna {x, y} och {w, y} till uppsättningen {x}. Dessa slutsatser är endast partiella, till exempel kan vi inte veta om agenten skulle föredra mängden {w} framför mängden {x, y} eller till och med mängden {w, z} framför mängden {x, y} [4] [5] .

Additivitet innebär att varje deltagare alltid kan välja ett "föredraget objekt" från uppsättningen objekt på bordet, och detta val är oberoende av andra objekt som deltagaren redan kan ha. Denna egenskap används i vissa algoritmer för rättvis division, som kommer att beskrivas nedan [6] .

Kompakta preferensrepresentationsspråk

Kompakta preferensrepresentationsspråk designades som en kompromiss mellan den fulla uttrycksförmågan hos kombinatoriska preferenser och enkelheten hos additiva preferenser. De ger en kortfattad representation av vissa naturliga klasser av nyttofunktioner som är mer generella än additiv nytta (men inte lika generella som kombinatorisk nytta). Några exempel är [7]

• 2-additiva preferenser  - Varje deltagare rapporterar ett värde för varje uppsättning av storlek 1 eller 2. Värdet på uppsättningen beräknas som summan av värdena för de individuella objekten i uppsättningen plus värdena för paren i uppsättningen. Vanligtvis, när det finns ersättningsobjekt, kommer parvärdena att vara negativa, och när det finns komplementära objekt kommer parvärdena att vara positiva. Denna idé kan generaliseras till k-additiva preferenser för vilket positivt heltal k som helst .
• Grafiska modeller  - för varje deltagare finns en graf som representerar beroenden mellan olika objekt. Med ett numeriskt tillvägagångssätt är det vanliga verktyget GAI net ( Generalized Additive Independence ) .  Med ett ordinalt tillvägagångssätt är det vanliga verktyget CP net (villkorliga inställningar, eng. Conditional Preferences ) och dess tillägg TCP net , UCP net , CP theory , CI net (villkorlig betydelse, eng. Conditional important ) och SCI net (förenkling av CI net eng. en förenkling av CI net ).   
• Logikbaserade språk  - varje deltagare beskriver några uppsättningar med hjälp av första ordningens logiska formler och kan tilldela ett värde till varje formel. Till exempel kan en deltagare säga: "För (x eller (y och z)) skulle mitt värde vara 5." Det betyder att agenten tilldelar värdet 5 till valfri uppsättning av: x, xy, xz, yz, xyz.
• Budgivningsspråk  - Många språk har studerats för att representera kombinatoriska preferenser i samband med kombinatoriska auktioner . Vissa av dessa språk kan anpassas till förutsättningarna för att distribuera objekt.

Kriterium för rättvisa

Individuella garantikriterier

Ett individuellt garantikriterium  är ett kriterium som måste uppfyllas för varje enskild deltagare om deltagaren ärligt anger sina preferenser. Fem sådana kriterier presenteras nedan. De är ordnade från de svagaste till de starkaste (förutsatt att uppskattningarna är additiva) [8] :

1. Max-min fair share ( engelska  Max-min fair-share , MFS ): Max-min fair share (även kallad max-min garanterad andel) av en agent är den mest föredragna uppsättningen som en agent kan garantera sig själv om han är en delande part i Delhi-och-välj- . En tilldelning sägs vara MFS-rättvis om någon agent får en uppsättning som är något att föredra framför dess MFS [9] . En agents MFS kan tolkas som den maximala nyttan en agent kan hoppas få av en distribution när alla andra agenter har samma preferenser, om agenten alltid får den sämsta andelen. Detta kan ses som den minsta mängd nytta som en agent kan förvänta sig baserat på följande resonemang: om alla andra agenter har samma preferenser som jag, finns det åtminstone en distribution som ger mig denna nytta och gör alla andra agenter ( något) rikare. Därför finns det ingen anledning att ge mig mindre. Detta är också den maximala nyttan som agenten kan vara säker på i distributionsspelet "Jag skär, jag plockar sist" - agenten erbjuder den bästa fördelningen och låter resten av deltagarna välja sina aktier, medan han själv får återstående andel [8] . MFS rättvisa kan också beskrivas som resultatet av följande förhandlingsprocess. Viss fördelning föreslås. Varje agent kan invända genom att föreslå en annan partition av objekten. Däremot måste han tillåta alla andra agenter att välja sina aktier innan han tar sina egna. Därför kommer en agent bara att invända mot en distribution om den kan erbjuda en partition i uppsättningar som alla är bättre än den nuvarande uppsättningen. Fördelningen är MFS-rättvis om och endast om ingen av agenterna protesterar, det vill säga för någon agent i någon partition, det finns en uppsättning som är något sämre än dess nuvarande andel.

2. Proportionell rättvis andel ( engelsk  proportional division fair-share , PFS) : Agentens proportionella skäliga andel är lika med 1/ n nytta från hela uppsättningen artiklar. En fördelning sägs vara proportionell om alla agenter får set som agenterna värderar minst en rimlig proportionell andel.

3. Fair Min-max-share ( eng.  min-max-fair-share , mFS): En agents rimliga Min-max-andel är lika med den lägsta nyttan som agenten hoppas få från distributionen om andra agenter har samma preferenser som denna agent, och om agenten alltid får den bästa andelen. Denna andel är också lika med den lägsta nyttan som agenten kan få i distributionsspelet "Någon annan skär, jag väljer först." En fördelning är mFS-rättvis om alla agenter får en uppsättning objekt som de något föredrar deras mFS [8] . mFS rättvisa kan beskrivas som resultatet av följande förhandlingsprocess. Viss fördelning föreslås. Varje agent kan kräva att en annan tilldelning görs av en annan agent vid upplösning så att den invändande agenten väljer först. Därför skulle agenten invända mot distributionen endast om det finns en uppsättning i alla partitioner som den starkt föredrar framför den aktuella uppsättningen. En allokering är mFS-rättvis om och endast om ingen av agenterna motsätter sig det, det vill säga för någon agent, det finns en partition där alla uppsättningar är något sämre än hans nuvarande andel.

För alla agenter med subadditiv nytta , kostar mFS minst . Därför är varje mFS-rättvis fördelning proportionell. För alla medel med superadditiv nytta står MFS i bästa fall . Därför är varje fördelning MFS-rättvis. Båda implikationerna är starka även när något medel har additiv användbarhet . Detta illustreras i följande exempel [8] :

• Alice utvärderar objekt som 2, 2, 2. För henne är MFS=PFS=mFS=2.
• Bob betygsätter objekt som 3, 2, 1. För honom är MFS=1, PFS=2 och mFS=3.
• Karl betygsätter objekt som 3, 2, 1. För honom är MFS=1, PFS=2 och mFS=3.

• Varje fördelning som ger ett ämne till varje deltagare är en MFS-rättvisa.
• Varje fördelning som ger det första och andra objektet till Bob och Carl, och det tredje objektet till Alice, är proportionellt.
• Ingen tilldelning kommer att vara mFS-rättvis.

Ovanstående slutsatser är inte sanna om agenternas uppskattningar inte är sub-/superadditiva [10] .

4. Envy -freeness ( EF) :  vilken agent som helst föredrar sitt eget set framför alla andra set. All avundsfri distribution av alla föremål är mFS-rättvis. Detta följer direkt av ordningsdefinitionerna och är inte beroende av additivitet. Om uppskattningarna är additiva är även EF-fördelningen proportionell och MFS-rättvis. Annars kanske EF-fördelningen inte är proportionell eller ens MFS [10] . Se Envious Item Distribution för en detaljerad diskussion.

5. Konkurrensjämvikt från Equal Incomes ( ) :  Kriteriet är baserat på följande argument: distributionsprocessen ska ses som ett sökande efter en balans mellan utbud (en uppsättning objekt, som vart och ett har en allmänt tillgänglig uppskattning) och efterfrågan (agenternas önskemål, varje agent har samma budget för inköp av objekt). Konkurrensjämvikt uppnås när utbudet matchar efterfrågan. Rättviseargumentet är enkelt: priser och budgetar är samma för alla. Från CEEI följer EF oavsett additivitet. Om agenternas preferenser är additiva och strikta (varje uppsättning har ett annat värde), innebär CEEI Pareto-effektivitet [8] .

Vissa kriterier för rättvisa har nyligen föreslagits [11] :

6. Avund -freeness-except-1 , EF1 :  För två valfria agenter A och B, om vi tar bort från set B den post som är viktigast för A, då avundas inte A B (med andra ord "avundsnivån" på agent A till deltagare B ligger i högst ett separat objekt). Under monotoni existerar alltid fördelningen EF1.

7. Avundsfrihet-utom-billigast ( EFx ) :  För två av agenterna A och B, om vi tar bort från agent B det föremål som är minst värdefullt för agent A, kommer A inte att avundas B. EFx är strikt starkare än EF1. Det är inte känt om EFx-fördelningen alltid existerar.

Globalt optimalitetskriterium

Det globala optimalitetskriteriet utför uppdelning baserat på en given social välfärdsfunktion :

• Den jämlika sociala välfärden är minimivälfärden för en individuell agent. En artikelfördelning sägs vara egalitärt optimal om den uppnår maximalt möjliga jämlika sociala välfärd, det vill säga den maximerar välfärden för den fattigaste agenten. Eftersom det kan finnas flera olika fördelningar som maximerar den minsta välfärden, kallas egalitär optimalitet ofta som leximinoptimal —  från den delmängd av fördelningar som maximerar den minsta välfärden, väljer denna fördelning de fördelningar som maximerar den näst minsta välfärden, sedan den tredje. minsta välfärd och så vidare.
• Nashs sociala välfärd  är produkten av agenternas välfärd. En fördelning sägs vara Nash optimal eller Nash Maximal Wealth om den maximerar produkten av välfärden. Nash optimala distributioner har några användbara rättvisa egenskaper [11] .

Fördelen med globala optimeringskriterier framför enskilda kriterier är att välfärdsmaximerande tilldelningar är Pareto-effektiva .

Distributionsalgoritmer

Eget kapital Max-min-andel

Problemet med att beräkna MFS för en agent är NP-komplett  - detta kan visas genom att reducera problemet från problemet med att partitionera en uppsättning nummer [8] .

MFS-tilldelningar finns i de flesta fall, men inte alltid. Det finns mycket sällsynta fall där en sådan fördelning inte existerar [12] .

Problemet med att avgöra om en MFS-fördelning existerar är , det vill säga att den kan lösas i icke-deterministisk polynomtid med hjälp av en prediktor för ett NP-hårt problem (en prediktor behövs för att beräkna agentens max-min-andel). Den exakta beräkningskomplexiteten för detta problem är dock fortfarande okänd [8] .

Tilldelningar som garanterar varje deltagare 2/3 av ovanstående värde finns alltid [12] . Distributionsproceduren implementerades i webbtjänsten spliddit [13] .

Proportionalitet

1. Antag att agenter har en numerisk hjälpfunktion på objekt. Då är problemet med om det finns en proportionell fördelning ett NP-komplett problem  - det kan erhållas genom reduktion från problemet med att partitionera en uppsättning tal [8] .

2. Antag att agenter har en ordinal rangordning av objekt med närvaro eller frånvaro av identiska (genom preferens) objekt. Sedan kan problemet, om det nödvändigtvis finns en proportionell fördelning, lösas i polynomtid - det kan erhållas genom att reducera från problemet med att kontrollera om en tvådelad graf medger en acceptabel b-matchning ( en matchning där kanterna har kapacitet) [14] .

För två agenter finns en enklare algoritm [15] .

3. Antag att agenter har en ordinal rangordning av objekt utan identiska (genom preferens) objekt. Då kan problemet med om det finns en nödvändigtvis proportionell fördelning lösas i polynomtid. Det är inte känt om detta är sant om agenter tillåts uttrycka neutralitet (det vill säga att visa att två föremål är lika värdefulla för honom) [14] .

Rättvisa Min-max-andel

Uppgiften att beräkna mFS-agenten är coNP-komplett .

Problemet med om det finns en mFS-distribution är , men dess exakta beräkningskomplexitet är fortfarande okänd [8] .

Ingen avund (inga pengar)

Brist på avund (med pengar)

Avundsfrihet blir lättare att uppnå om man antar att agenternas värderingar är kvasilinjära i monetära termer och därför tillåter överföring av ersättning mellan agenter.

Demange, Gale och Sotomayor visade en naturlig nedifrån-och-upp-auktion som ger en avundsfri tilldelning med kontanta betalningar till en budgivare för ett objekt (där varje budgivare är intresserad av högst ett objekt) [16] .

Fair by Design är en  allmän design för avundsfria optimeringsproblem som naturligtvis utökar den rättvisa fördelningen av objekt med monetära utdelningar [17] .

Cavallo [18] generaliserade de traditionella binära kriterierna avsaknad av avund, proportionalitet och effektivitet (välbefinnande) till gradmått som ligger i intervallet från 0 till 1. Under villkoren för en kanonisk rättvis uppdelning, för alla effektiva distributionsmekanismer , graden av välbefinnande är 0 i värsta fall, och graden av oproportionalitet är 1. Med andra ord är de sämsta resultaten så dåliga som möjligt. Detta motiverar starkt analysen av det genomsnittliga fallet. Han letade efter en mekanism som uppnår högt välbefinnande, låg svartsjuka och låg oproportionalitet i förväntan över ett spektrum av rättvisa delningsinställningar. Han visade att Vickrey-Clark-Groves-mekanismen inte är en tillfredsställande kandidat, men omfördelningsmekanismen Bailey [19] och Cavallo [20] är det.

Egalitär-optimal fördelning

Med numeriska uppskattningar av en allmän form är det ett NP-hårt problem att hitta egalitära optimala fördelningar, eller till och med ungefär optimala fördelningar. Detta kan bevisas genom reduktion från problemet med att partitionera en uppsättning nummer . Ju mer begränsade uppskattningarna är, desto bättre uppskattningar kan erhållas [21] :

• Med additiva verktyg, för vilket heltal som helst , får andelen agenter en nytta på minst . Detta resultat erhålls genom att på lämpligt sätt avslappna det linjära programmeringsproblemet och avrunda det bästa möjliga resultatet för det linjära programmeringsproblemet.
• Med två varuklasser finns det en ungefärlig .
• Det finns en approximation med submodulära hjälpfunktioner

I artikeln av Nguyen, Ruus och Rote [22] och artikeln av N.-T. Nguyen, TT Nguyen, Ruus och Rote [23] presenterar några starkare resultat.

Ett specialfall av jämlik social välfärdsoptimering med additiv nytta kallas "Jultomteproblemet" [24] . Problemet förblir NP-hårt och kan inte approximeras med en faktor > 1/2, men det finns en approximation [25] och en mer komplicerad approximation [26] . Se även uppsatsen av Dal'Aglio och Mosca [27] för en gren- och bunden algoritm för två partners.

Proceduren för minskande behov returnerar den egalitära optimala divisionen i vanlig mening – den maximerar rangen när agentens paket med den lägsta rangen är linjärt rangordnade. Detta fungerar med valfritt antal agenter och valfri beställning av paket.

Distributioner som är Nash-optimala

I artikeln av Nguyen, Ruus och Rote [22] och i artikeln av N.-T. Nguyen, TT Nguyen, Ruus och Rote [23] bevisade svårigheten att beräkna utilitaristiska och Nash-optimala distributioner.

Nguyen och Rote [28] presenterade en approximationsprocedur för Nash optimala distributioner.

Exempelsekvens

Plocksekvens är ett enkelt protokoll där agenter turas om att plocka föremål baserat på någon förutbestämd ordning. Målet är att utforma en samplingssekvens för att maximera det förväntade värdet av den sociala välfärdsfunktionen (t.ex. egalitär eller utilitaristisk) under vissa probabilistiska antaganden om agenternas uppskattningar.

Olika delar

Mest forskning om objekttilldelning utgår från att alla agenter har lika delar. Det finns dock i många fall ombud med olika andelar. Ett sådant fall är uppdelningen av ministerkabinettet efter partier. Ofta antas att varje parti ska få ett antal departement i proportion till antalet mandat i riksdagen. Se artikeln av Brahms och Kaplan [29] , Aziz [30] och uppsatsen av Segala-Helevy [31] för en diskussion om detta problem och några av dess lösningar.

Anteckningar

1. ↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , sid. 285.
2. ↑ Barbera, Bossert, Pattanaik, 2004 , sid. 44–48.
3. ↑ Bouveret, Endriss, Lang, 2010 .
4. ↑ Brams, Edelman, Fishburn, 2003 , sid. 147.
5. ↑ Brams, 2005 , sid. 387–421.
6. ↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , sid. 287-288.
7. ↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , sid. 289-294.
8. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bouveret, Lemaître, 2015 , sid. 259.
9. ↑ Budish, 2011 , sid. 1061–1103.
10. ↑ 1 2 Heinen, Nguyen, Rothe, 2015 , sid. 521.
11. ↑ 1 2 Caragiannis, Kurokawa och Moulin, 2016 , sid. 305.
12. ↑ 1 2 Procaccia, Wang, 2014 , sid. 675–692.
13. ↑ Dela gods - Spliddit . Hämtad 15 oktober 2019. Arkiverad från originalet 19 oktober 2019. (obestämd)
14. ↑ 1 2 Aziz, Gaspers, MacKenzie, Walsh, 2015 , sid. 71–92.
15. ↑ Pruhs, Woeginger, 2012 , sid. 305.
16. ↑ Demange, Gale, Sotomayor, 1986 , sid. 863–872.
17. ↑ Mu'alem, 2014 , sid. 29–46.
18. ↑ Cavallo, 2012 .
19. ↑ Bailey, 1997 , sid. 107–126.
20. ↑ Cavallo, 2006 , sid. 882.
21. ↑ Daniel Golovin. Max-min rättvis tilldelning av odelbara varor . CMU (2005). Hämtad 27 augusti 2016. Arkiverad från originalet 2 februari 2017. (obestämd)
22. ↑ 1 2 Nguyen, Roos, Rothe, 2013 , sid. 65–90.
23. ↑ 1 2 Nguyen, Nguyen, Roos, Rothe, 2013 .
24. ↑ Bansal, Sviridenko, 2006 , sid. 31.
25. ↑ Bezaková, Dani, 2005 , sid. elva.
26. ↑ Asadpour, Saberi, 2010 , sid. 2970.
27. ↑ Dall'Aglio, Mosca, 2007 , sid. 218.
28. ↑ Nguyen, Rothe, 2013 .
29. ↑ Brams, Kaplan, 2004 , sid. 143.
30. ↑ Aziz, Haris; Gaspers, Serge; Mackenzie, Simon & Walsh, Toby (2017), Competitive Equilibrium with Indivisible Goods and Generic Budgets, arΧiv : 1703.08150 [cs.GT]. 
31. ↑ Segal-Halevi, 2018 , sid. 1267–1275.

Litteratur

• Sylvain Bouveret, Yann Chevaleyre, Nicolas Maudet. Kapitel 12: Rättvis fördelning av odelbara varor // Handbook of Computational Social Choice / Felix Brandt, Vincent Conitzer, Ulle Endriss, Jérôme Lang, Ariel D. Procaccia. - Cambridge University Press, 2016. - ISBN 9781107060432 .
• Barberà S., Bossert W., Pattanaik PK Rangordna uppsättningar av objekt. // Handbok i bruksteori. — Springer USA, 2004.
• Sylvain Bouveret, Ulle Endriss, Jérôme Lang. Fair Division Under Ordinal Preferences: Computing Envy-Free Allocations of Indivisible Goods // Proceedings of the 2010 conference on ECAI 2010: 19th European Conference on Artificial Intelligence . — 2010.
• Steven J. Brams, Paul H. Edelman, Peter C. Fishburn. Rättvis uppdelning av odelbara föremål // Teori och beslut. - 2003. - T. 55 , nr. 2 . - doi : 10.1023/B:THEO.0000024421.85722.0a .
• Brams SJ Efficient Fair Division: Hjälp de sämst ställda eller undvik avund? // Rationalitet och samhälle. - 2005. - T. 17 , nr. 4 . - doi : 10.1177/1043463105058317 .
• Sylvain Bouveret, Michel Lemaître. Karakterisering av konflikter i rättvis uppdelning av odelbara varor med hjälp av en skala av kriterier // Autonoma agenter och multiagentsystem. - 2015. - T. 30 , nr. 2 . - doi : 10.1007/s10458-015-9287-3 .
• Tobias Heinen, Nhan-Tam Nguyen, Jörg Rothe. Rättvisa och rangvägd utilitarism i resursallokering // Algoritmisk beslutsteori. - 2015. - T. 9346. - (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 978-3-319-23113-6 . - doi : 10.1007/978-3-319-23114-3_31 .
• Trung Thanh Nguyen, Jörg Rothe. Avundskvot och genomsnittlig optimering av vår sociala välfärd i resursallokering med flera agenter. — AAMAS 13, 2013.
• Ioannis Caragiannis, David Kurokawa, Herve Moulin, Ariel D. Procaccia, Nisarg Shah, Junxing Wang. The Unreasonable Fairness of Maximum Nash Welfare // Proceedings of the 2016 ACM Conference on Economics and Computation - EC '16 . - 2016. - ISBN 9781450339360 . - doi : 10.1145/2940716.2940726 .
• Haris Aziz, Serge Gaspers, Simon MacKenzie, Toby Walsh. Rättvis tilldelning av odelbara objekt under ordinarie preferenser // Artificiell intelligens. - 2015. - T. 227 . - doi : 10.1016/j.artint.2015.06.002 . - arXiv : 1312.6546 .
• Kirk Pruhs, Gerhard J. Woeginger. Skilsmässa på ett enkelt sätt // Kul med algoritmer. - 2012. - T. 7288. - (Lecture Notes in Computer Science). - ISBN 978-3-642-30346-3 . - doi : 10.1007/978-3-642-30347-0_30 .
• Ruggiero Cavallo. Rättvisa och välfärd genom omfördelning när nyttan är överförbar . — AAAI-12, 2012.
• Martin J. Bailey. Den kravavslöjande processen: Att fördela överskottet // Public Choice. - 1997. - T. 91 , nr. 2 . - doi : 10.1023/A:1017949922773 .
• Ruggiero Cavallo. Optimalt beslutsfattande med minimalt avfall // Proceedings of the femte internationella gemensamma konferensen om autonoma agenter och multiagent system - AAMAS '06. - 2006. - ISBN 1595933034 . - doi : 10.1145/1160633.1160790 .
• Trung Thanh Nguyen, Magnus Roos, Jörg Rothe. En undersökning av approximerbarhet och inapproximability resultat för social välfärd optimering i multiagent resursallokering // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. - 2013. - T. 68 , nr. 1–3 . - doi : 10.1007/s10472-012-9328-4 .
• Nhan-Tam Nguyen, Trung Thanh Nguyen, Magnus Roos, Jörg Rothe. Beräkningskomplexitet och approximation av social välfärdsoptimering i multiagent resursallokering // Autonomous Agents and Multi-Agent Systems. - 2013. - T. 28 , nr. 2 . - doi : 10.1007/s10458-013-9224-2 .
• Nikhil Bansal, Maxim Sviridenko. Santa Claus-problemet // Proceedings of the trettio-åttonde årliga ACM symposiet on Theory of computing - STOC '06. - 2006. - ISBN 1595931341 . - doi : 10.1145/1132516.1132522 .
• Ivona Bezakova, Varsha Dani. Allokera odelbara varor // ACM SIGecom Exchanges. - 2005. - V. 5 , nr. 3 . - doi : 10.1145/1120680.1120683 .
• Arash Asadpour, Amin Saberi. An Approximation Algorithm for Max-Min Fair Allocation of Odelible Goods // SIAM Journal on Computing. - 2010. - T. 39 , nr. 7 . - doi : 10.1137/080723491 .
• Marco Dall'Aglio, Raffaele Mosca. Hur man fördelar hårda godis rättvist // Matematisk samhällsvetenskap. - 2007. - T. 54 , nr. 3 . - doi : 10.1016/j.mathsocsci.2007.04.008 .
• Steven J. Brams, Todd R. Kaplan. Dividing the Indivisible // Journal of Theoretical Politics. - 2004. - T. 16 , nr. 2 . - doi : 10.1177/0951629804041118 .
• Erel Segal-Halevi. Konkurrensjämvikt för nästan alla inkomster // Proceedings of AAMAS 2018. - International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, 2018.
• Gabrielle Demange, David Gale, Marilda Sotomayor. Auktioner med flera föremål // Journal of Political Economy. - 1986. - T. 94 , nr. 4 . - doi : 10.1086/261411 . — .
• Ahuva Mu'alem. Fair by design: Multidimensionella avundsfria mekanismer // Spel och ekonomiskt beteende. - 2014. - T. 88 . - doi : 10.1016/j.geb.2014.08.001 .
• Budish E. The Combinatorial Assignment Problem: Approximate Competitive Equilibrium from Equal Incomes // Journal of Political Economy. - 2011. - T. 119 , nr. 6 . - doi : 10.1086/664613 .
• Ariel D. Procaccia, Junxing Wang. Fair enough: garanterar ungefärliga maximala andelar. — EC '14 Proceedings från den femtonde ACM-konferensen om ekonomi och beräkning. - 2014. - ISBN 9781450325653 . - doi : 10.1145/2600057.2602835 .