Square-Cube lag

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 januari 2018; kontroller kräver 23 redigeringar .

Kvadratisk - kublagen är följande princip:

om objektet proportionellt (det vill säga med hjälp av en likhetstransformation ) ökar (minskar) i storlek, kommer dess nya volym att vara proportionell mot skalfaktorns kub, och dess nya yta kommer att vara proportionell mot kvadraten:

v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}= A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2},

där: är volymen av det ursprungliga objektet, är den nya volymen, är ytan på det ursprungliga objektet, är den nya ytan, är den linjära storleken på det ursprungliga objektet och är den nya linjära storleken. $v_{1}$ $v_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\ell _{1}$ $\ell _{2}$

Till exempel har en kub med en sidolängd på 1 meter en yta på 6 m² och en volym på 1 m³. Om sidolängden fördubblas kommer dess yta att fyrdubblas till 24 m² och dess volym ökar 8 gånger till 8 m³. Denna princip gäller för alla organ.

Denna lag finner sin tillämpning inom teknik och biomekanik och bygger på matematisk omräkning av dimensioner. Det demonstrerades första gången av Galileo Galilei 1638 i Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (" Konversationer och matematiska bevis för två nya vetenskaper ").

Teknik

Om ett fysiskt föremål ökas i storlek samtidigt som det bibehåller samma densitet av materialet som det är tillverkat av, kommer dess massa att öka i proportion till ökningsfaktorn till tredje potensen, medan dess yta kommer att öka i proportion till kvadraten av skalfaktorn. Detta innebär i synnerhet att om ett segment av ytan på ett förstorat föremål ges samma acceleration som originalet, kommer mer tryck att verka på ytan av det förstorade föremålet .

Tänk på ett enkelt exempel - en kropp med massa har en acceleration och en yta , som påverkas av en kraft med denna acceleration. Kraften som orsakas av accelerationen är , och trycket på ytan är Nu betrakta ett föremål vars dimensioner multipliceras med en faktor så att dess nya massa är , och ytan som kraften verkar på har ett nytt område, . Då är den nya kraften som orsakas av accelerationen lika med och det resulterande trycket på ytan: $m$ $a$ $S$ $F=ma$ $T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.$ $x$ $m'=x^{3}\cdot m$ $S'=x^{2}\cdot S$ $F'=x^{3}\cdot ma,$

{\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}} =\\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{aligned}}

Således, med en ökning av storleken på ett objekt samtidigt som samma material som objektet består av (och därmed densiteten ) och acceleration bibehålls, kommer trycket som produceras av det på ytan att öka med samma faktor. Detta visar att när ett föremål förstoras kommer dess förmåga att motstå stress att minska och det blir lättare att förstöra det under accelerationsprocessen.

Detta förklarar varför stora fordon inte presterar bra i krocktester och varför det finns höjdgränser för höghus. På samma sätt, ju större ett föremål är, desto mindre kommer andra föremål att motstå rörelse, vilket gör att det saktar ner.

Biomekanik

Om storleken på ett djur ökas avsevärt, kommer dess muskelstyrka att minska allvarligt, eftersom tvärsnittet av dess muskler kommer att öka i proportion till kvadraten på skalningsfaktorn , medan dess massa kommer att öka i proportion till kuben av denna faktor. Som ett resultat är kardiovaskulära funktioner kraftigt begränsade. Av denna anledning kan till exempel insekter lyfta mycket mer än sin egen vikt. Om flygande levande varelser ökar i storlek, måste deras vingbelastning öka, och därför, för att behålla samma lyftkraft , måste de flaxa med högre frekvens . Detta kommer inte att bli lätt på grund av att styrkan i musklerna blir mindre. Detta förklarar också varför en humla kan ha en kroppsstorlek som är stor jämfört med dess vingspann, medan det för ett flygande djur som är mycket större än en humla skulle vara omöjligt. För levande varelser av små storlekar är luftmotståndet per massenhet högt, och därför dör de inte när de faller från någon höjd.

Dessutom beror arbetet i insekternas andningsorgan på storleken på kroppsytan. Med en ökning av kroppsvolymen kommer dess yta inte att kunna ge andning.

Av dessa skäl är de jättelika insekterna, spindlarna och andra djur som visas i skräckfilmer orealistiska, eftersom sådana stora storlekar skulle få dem att kvävas och kollapsa. Jättevattenlevande djur ( djuphavsgigantism ) är ett undantag, eftersom vatten är kapabelt att stödja ganska stora varelser [1] .

J. B. S. Haldane uttryckte följande åsikt om jättar [1] :

Låt oss anta att det finns en människojätte 60 fot lång, som påven och de hedniska jättarna från sagorna från min barndom. Sådana jättar är inte bara 10 gånger högre än den genomsnittliga personen, utan 10 gånger bredare och 10 gånger tätare, det vill säga deras totala vikt är 1000 gånger vikten av den genomsnittliga personen, och är därför från 80 till 90 ton. Tvärsnittet av benen hos sådana jättar är 100 gånger större än sektionen av benen hos en genomsnittlig person; därför måste varje kvadrattum av en jättes ben bära en belastning som är 10 gånger större än kvadrattummen av en genomsnittlig mans ben. Med tanke på att det mänskliga skenbenet går sönder under en belastning på 10 gånger sin vikt, skulle jättarnas skenben behöva bryta för varje steg de tar. Är det inte därför de på bilderna som jag fortfarande minns visas sittande?

Termiska processer

Kvadratkublagen gäller även för termiska processer: värmeväxlingsytan ökar i proportion till kvadraten på storleken, och volymen som innehåller eller genererar värme ökar i proportion till kuben. Följaktligen minskar värmeförlusten per volymenhet av ett föremål med en ökning av dess storlek och, omvänt, ökar med en minskning i storlek. Därför minskar till exempel energin som krävs för att värma eller kyla en enhetsvolym i ett lager när storleken på lagret ökar.

Inom teknik

Lagen har en bred tillämpning inom teknik. Det tjänar till exempel som skälet till att för att skapa flygplan med dubbelt så stor nyttolast skulle det vara meningslöst att helt enkelt proportionellt dubbla alla storlekar på dess delar - förbudet mot direkt skalning införs av kvadratkublagen.

Elbilar

Om vi antar att vid skalning av en elektrisk maskin bevaras strömtätheten , magnetisk induktion och rotationshastighet , då med en ökning av alla dimensioner med en gånger , kommer strömstyrkan att bli 2 gånger större (proportionell mot tvärsnittsarean) av konduktörerna). Det magnetiska flödet kommer också att öka med 2 gånger (i proportion till den magnetiska kretsens tvärsnittsarea ), på grund av vilket EMF som induceras i lindningarna också kommer att öka med 2 gånger .

Det vill säga, både strömstyrkan och spänningen (EMF) kommer att öka med en 2 gånger, på grund av vilken den elektriska effekten (lika med produkten av strömstyrkan och spänningen) kommer att öka med en 4 gånger. I detta fall kommer värmeförlusterna att öka endast 3 gånger (i proportion till ledarnas volym vid konstant strömtäthet).

Med en ökning av storleken på en elektrisk maskin ökar alltså dess specifika effekt (per massenhet) proportionellt och den specifika värmeförlusten (per massenhet) förändras inte, vilket innebär att effektiviteten ökar . Samtidigt blir värmeavlägsnandet mer komplicerat, eftersom det specifika värmeflödet genom alla ytor ökar proportionellt.

Allt detta är sant för transformatorer (vid en konstant strömfrekvens ).

Förbränningsmotorer

Om vi helt enkelt ökar alla dimensioner av förbränningsmotorn med en faktor vid konstant rotationshastighet, kommer massan av de rörliga delarna att öka med en faktor 3 och accelerationen med vilken de rör sig kommer att öka med en faktor. Därför alla tröghetskrafter[ förtydliga ] kommer att öka med 4 gånger , och eftersom arean på friktionsytorna endast kommer att öka med 2 gånger , kommer den specifika belastningen på dem att öka med 2 gånger , vilket kommer att leda till deras snabba slitage. Dessutom kommer hastigheten för gasernas rörelse genom ventilerna att öka flera gånger, vilket avsevärt kommer att öka det gasdynamiska motståndet och försämra fyllningen av cylindrarna.

Därför, med en proportionell ökning av förbränningsmotorn, är det nödvändigt att proportionellt minska hastigheten (hålla den genomsnittliga kolvhastigheten oförändrad). Då förblir den specifika belastningen på gnidningsytorna och gasernas hastighet genom ventilerna oförändrade. Den specifika effekten (per massenhet) och litereffekten reduceras dock proportionellt. Denna "viktning" av motorn kan lösas genom att öka antalet cylindrar, men detta komplicerar dess design.

Skeppsbyggnad

Ungefärligt kan vi anta att motståndet mot fartygets rörelse (vid konstant hastighet) är proportionell mot skrovets tvärsnittsarea midskepps . Således, med en ökning av alla dimensioner av fartyget med en gånger, kommer dess massa att öka med en 3 gånger, och motståndet mot rörelse kommer bara att öka med en 2 gånger. Följaktligen, i termer av bränsleförbrukning per massaenhet, är större fartyg mer ekonomiska. Dessutom, om andelen bränslereserver i fartygets totala massa är oförändrad, kommer kryssningsräckvidden utan tankning också att öka med en gång.

Av samma anledning växer luftskepps bränsleeffektivitet och flygräckvidd i proportion till deras storlek (till skillnad från flygplan , där dessa parametrar huvudsakligen bestäms av deras aerodynamiska kvalitet ).

För ett segelfartyg är motståndet mot kapsejsningsmomentet som skapas av seglen viktigt . Med en ökning av alla dimensioner av fartyget med en gång, kommer seglens yta att öka med 2 gånger , och det vältande kraftmomentet som skapas av dem kommer att öka med 3 gånger (eftersom kraftens arm kommer att öka också öka med en gång). Samtidigt kommer det ögonblick som utjämnar rullningen och uppstår på grund av skrovet under rullningen att öka med en 4 gånger (massan på skrovet och det undanträngda vattnet kommer att öka med en 3 gånger, medan kraftens arm kommer att öka öka med en gång). Därför, vid enkel geometrisk skalning, är stora segelfartyg mer motståndskraftiga mot den krängning som skapas av segelmomentet. Av denna anledning behöver inte stora segelbåtar de utvecklade ballastkölarna som är typiska för små segelbåtar . Å andra sidan, på ett större fartyg, om designen hålls oförändrad, är det möjligt att sätta segel med en oproportionerligt större yta och följaktligen få en ökad hastighet.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 J. B. S. Haldane On the Expediency of Size Arkiverad 22 maj 2021 på Wayback Machine

Länkar

Wayne Throop. Sauropoder, elefanter, tyngdlyftare: Diverse frågor .
"World Builders: The Limits to Animal Size - Size to Volume Ratio" . (Engelsk)
Michael C. LaBarbera. "The Biology of B-Movie Monsters "