Kvaternioner och rymdrotation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; kontroller kräver 10 redigeringar .

Kvaternioner ger en bekväm matematisk notation för orienteringen av rymden och rotationen av objekt i det rummet. Jämfört med Euler-vinklar gör quaternions det lättare att kombinera rotationer, samt slipper problemet med att inte kunna rotera runt en axel oavsett rotationen i andra axlar (visas). Jämfört med rotationsmatriser är de mer beräkningsstabila och kan vara mer effektiva. Quaternions har hittat sin tillämpning inom datorgrafik , robotik , navigering , molekylär dynamik .

Rotationsoperationer [1]

Representation av revolutionens rum

Unit norm quaternions , även kallade versors enligt Hamilton , ger ett algebraiskt sätt att representera rotation i tre dimensioner. Överensstämmelsen mellan rotationer och kvaternioner kan först och främst realiseras genom själva rotationsutrymmet, gruppen SO(3) .

Varje rotation i det tredimensionella rummet är en rotation genom en viss vinkel runt en viss axel. Om vinkeln är noll, är valet av axel irrelevant; således är rotationer genom en vinkel på 0° en punkt i rotationsutrymmet ( identisk rotation). För en liten (men icke-noll) vinkel är varje möjlig rotation genom den vinkeln en liten sfär som omger den identiska rotationen, där varje punkt på den sfären representerar en axel som pekar i en viss riktning (jämförbar med den himmelska sfären ). Ju större rotationsvinkeln är, desto längre är rotationen från den identiska rotationen; sådana rotationer kan ses som koncentriska sfärer med ökande radie. Så nära identitetsrotationen ser det abstrakta utrymmet av rotationer ut som ett vanligt tredimensionellt utrymme (som också kan representeras som en central punkt omgiven av koncentriska sfärer). När vinkeln ökar till 360° upphör rotationerna runt de olika axlarna att divergera och börjar bli lika varandra, och blir lika med den identiska rotationen när vinkeln når 360°.

Vi kan se liknande beteende på ytan av en sfär. Om vi placerar oss vid nordpolen och börjar rita raka linjer som strålar ut från den i olika riktningar (det vill säga longitudlinjer ), kommer de först att divergera, men sedan konvergera igen vid sydpolen. De koncentriska cirklarna som bildas runt nordpolen ( latitud ) kommer att krympa till en punkt vid sydpolen - när sfärens radie är lika med avståndet mellan polerna. Om vi tänker på olika riktningar från polen (d.v.s. olika longituder) som olika rotationsaxlar, och olika avstånd från polen (d.v.s. breddgrader) som olika rotationsvinklar, så har vi utrymme för rotationer. Den resulterande sfären representerar en rotation i tredimensionellt utrymme, även om det är en tvådimensionell yta, vilket inte tillåter modellering av en hypersfär . Den tvådimensionella ytan av en sfär kan dock representeras som en del av en hypersfär (som en cirkel är en del av en sfär). Vi kan ta del av till exempel att representera rotation runt axlar i x- och y -planen . Det är viktigt att notera att rotationsvinkeln till ekvatorn är 180° (inte 90°); till sydpolen (från norr) 360° (inte 180°).

Nord- och sydpolen representerar samma rotationer. Detta gäller för alla två diametralt motsatta punkter: om en punkt är en rotation genom en vinkel runt axeln v , då är en punkt med en rotation genom en vinkel runt axeln − v diametralt motsatt . Således är rotationsutrymmet inte en 3-sfär i sig , utan en 3 - halvsfär ( en boll på den med radie ) med identifierade diametralt motsatta punkter, vilket är diffeomorft till projektivt utrymme . Men för de flesta ändamål kan man tänka på rotationer som punkter på en sfär, även om de har dubbel redundans. $\alfa$ $\scriptstyle 360^{\circ }-\alpha$ $\pi$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

Definition av revolutionens utrymme

Koordinaterna för en punkt på en sfärs yta kan ges av två tal, till exempel latitud och longitud. En sådan koordinat som longitud vid nord- och sydpolen börjar emellertid bete sig på obestämd tid (visar degeneration ), även om nord- och sydpolerna inte skiljer sig fundamentalt från någon annan punkt på sfärens yta. Detta visar att inget koordinatsystem kan karakterisera en position i rymden med två koordinater. Detta kan undvikas genom att placera sfären i tredimensionellt rum, karakterisera den med kartesiska koordinater ( w , x , y ), placera nordpolen på ( w , x , y ) = (1, 0, 0), syd pol på ( w , x , y ) = (−1, 0, 0), och ekvatorn vid w = 0, x ² + y ² = 1. Punkter på sfären uppfyller förhållandet w ² + x ² + y ² = 1. Som ett resultat erhålls två frihetsgrader , även om det finns tre koordinater. Punkten ( w , x , y ) representerar en rotation runt ( x , y , 0) -axeln med en vinkel . $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2))}$

På samma sätt kan utrymmet för tredimensionella rotationer karakteriseras av tre vinklar ( Euler-vinklar ), men varje sådan representation börjar degenerera vid vissa punkter i hypersfären. Detta problem kan undvikas genom att använda de euklidiska koordinaterna w , x , y , z , där w ² + x ² + y ² + z ² = 1. Punkten ( w , x , y , z ) representerar rotation runt axlarna ( x , y , z ) av vinkeln $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Kort om quaternions

Ett komplext tal kan definieras genom att introducera den abstrakta symbolen i , som uppfyller de vanliga reglerna för algebra, såväl som regeln . Detta är tillräckligt för att reproducera alla regler för aritmetik med komplexa tal. Till exempel: $i^{2}=-1$

(a+b{\mathbf {i}})(c+d{\mathbf {i}})=ac+ad{\mathbf {i}}+b{\mathbf {i}}c+b{\mathbf {i}}d{\mathbf {i}}=ac+ad{\mathbf {i}}+bc{\mathbf {i}}+bd{\mathbf {i}}^{2}=(ac-bd )+(bc+ad){\mathbf {i}}

På samma sätt kan kvaternioner definieras genom att introducera abstrakta symboler i , j , k , vars multiplikation ges av regeln

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} =- ett

{\mathbf {i}}{\mathbf {j}}=-{\mathbf {j}}{\mathbf {i}}={\mathbf {k}}

{\mathbf {j}}{\mathbf {k}}=-{\mathbf {k}}{\mathbf {j}}={\mathbf {i}}

{\mathbf {k}}{\mathbf {i}}=-{\mathbf {i}}{\mathbf {k}}={\mathbf {j}}

och multiplikation med reella tal definieras på vanligt sätt, och multiplikation antas vara associativ , men inte kommutativ (ett exempel på icke-kommutativ multiplikation är också matrismultiplikation ). Alla regler för quaternion aritmetik följer av detta, till exempel

(a+b{\mathbf {i}})(e+h{\mathbf {k}})=ae+be{\mathbf {i}}-bh{\mathbf {j}}+ah{\mathbf { k))

Den imaginära delen av quaternion beter sig på samma sätt som vektorn och den reella delen a beter sig på samma sätt som skalären i . När man använder kvaternioner, efter Hamilton, kan man beskriva dem som summan av en skalär och en vektor och använda vektorn och skalärprodukterna och (vilket idén föreslogs av kvaternioner). Dessutom är de relaterade till den vanliga kvartjonsmultiplikationen med följande formel: $b{\mathbf {i}}+c{\mathbf {j}}+d{\mathbf {k}}$ $(b,c,d)\in \mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb {R}$ $\ gånger$ $\cdot$

{\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}}={\mathbf {vw}}+{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}}

Korsprodukten är icke-kommutativ, medan skalär-skalär- och skalär-vektorprodukterna är kommutativa. Dessa regler följer:

(s+{\mathbf {v}})(t+{\mathbf {w}})=(st-{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}})+(s{\mathbf {w} }+t{\mathbf {v}}+{\mathbf {v}}\ gånger {\mathbf {w}})

Inversen (vänster och höger) för en kvaternion som inte är noll är $s+{\mathbf {v}}$

(s+{\mathbf {v}})^{{-1}}={\frac {s-{\mathbf {v}}}{s^{2}+|{\mathbf {v}}|^{ 2}}}

som kan verifieras genom direkt beräkning.

Definition av revolutionens utrymme i termer av quaternioner

Låt oss säga ( w , x , y , z ) är rotationskoordinaterna, enligt den tidigare beskrivningen. Då kan quaternion q definieras som

q=w+x{\mathbf {i}}+y{\mathbf {j}}+z{\mathbf {k}}=w+(x,y,z)=\cos(\alpha /2)+{ \mathbf {u}}\sin(\alpha /2)

var är enhetsvektorn. Alltså arbetet $\mathbf {u}$

q{\mathbf {v}}q^{{-1}}

roterar vektorn med en vinkel kring axeln som ges av vektorn . Rotationen är medurs om vi betraktar rotationen i vektorns riktning ; det vill säga vektorns riktning är densamma som translationsriktningen för den högra propellern när den roteras genom en positiv vinkel . $\mathbf{v}$ $\alfa$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\alfa$

Du kan ta en sammansättning av rotationer med kvaternioner genom att multiplicera dem (rotationsordningen beror på multiplikationsordningen). Alltså rotationer på quaternioner och lika $sid$ $q$

pq{\mathbf {v}}(pq)^{{-1}}=pq{\mathbf {v}}q^{{-1}}p^{{-1}}

vilket är samma sak som att rotera på och sedan på . $q$ $sid$

Att vända en quaternion är detsamma som att rotera i motsatt riktning, alltså . Kvadraten på en quaternion är en rotation genom en dubbel vinkel runt samma axel. I allmän mening är detta en rotation runt en axel med en vinkel som är gånger större än den ursprungliga. Kan vara valfritt reellt tal istället $q^{{-1))(q{\mathbf {v}}q^{{-1}})q={\mathbf {v}}$ $q^{n}$ $q$ $n$ $n$ , vilket tillåter användningen av kvartjoner för att smidigt interpolera mellan två positioner i rymden.

Enhet quaternion rotation

Låt u vara enhetsvektorn (rotationsaxeln) och kvaternionen. Vårt mål är att visa det $q=\cos {\frac {\alpha }{2))+{\mathbf {u))\sin {\frac {\alpha }{2))$

{\mathbf {v}}'=q{\mathbf {v}}q^{{-1}}=\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\mathbf {u}} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\mathbf {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\mathbf {u} }\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)

roterar vektorn v med en vinkel α runt u - axeln . När vi öppnar fästena får vi:

{\begin{array}{lll}{\mathbf {v}}'&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+({\mathbf { uv))-{\mathbf {vu)))\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2))-{\mathbf {uvu))\sin ^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2({\mathbf {u }}\ gånger {\mathbf {v}})\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-({\mathbf {v}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {u}})-2{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}))\sin ^{2}{ \frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))+({\mathbf {u))\ gånger {\mathbf {v)))(2\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\ alpha }{2)))+{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2 }})\\&=&{\mathbf {v}}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\times {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u}} ({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(1-\cos \alpha )\\&=&({\mathbf {v}}-{\mathbf {u}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v))))\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ gånger {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u} }( {\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})\\&=&{\mathbf {v}}_({\bot }}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ gånger {\mathbf {v}}_({\bot }})\sin \alpha +{\mathbf {v}}_({\|}}\end{array}}

där och är komponenterna i vektorn v som är vinkelräta respektive parallella med u -axeln . ${\mathbf {v}}_{{\bot }}$ ${\mathbf {v}}_{{\|}}$

Det resulterande resultatet är formeln för rotation genom vinkeln α runt u - axeln .

Att multiplicera en vektor med −1 , d.v.s. att ta den motsatta kvaternionen, ändrar inte rotationen. Speciellt definierar båda kvaternionerna 1 och −1 den identiska rotationen. Mer abstrakt, vektorerna tillhör gruppen SU(2) Lie , som är diffeomorf till 3-sfären. Denna grupp täcker rotationsutrymmet SO(3) två gånger.

Rotation av fyrdimensionell euklidisk rymd

En fyrdimensionell rotation beskrivs av två enhetsnormkvaternioner, upp till att multiplicera båda samtidigt med −1.

Variationer och generaliseringar

Liknande formler gör det möjligt att tillämpa biquaternions för att beskriva Lorentz-transformationerna - "rotationer" av det 4-dimensionella Minkowski-utrymmet .

Se även

kardanupphängning

Anteckningar

↑ Rotationer, kvaternioner och dubbla grupper / Altmann, Simon L. - Mineola: Dover Publications, 1986. - 317 sid.

Litteratur

V. I. Arnold. Geometrin för komplexa tal, kvartjoner och snurr . — M .: MTSNMO , 2002. — 40 sid. — ISBN 5-94057-025-9 .
I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov Hyperkomplexa tal (otillgänglig länk) . — M.: Nauka , 1973. — 144 sid.

Länkar

Skomakare, Ken. Handledning för Quaternion
Hart, Francis, Kauffman. Quaternion demo Arkiverad 25 februari 2009 på Wayback Machine
Byung-Uk Lee, Unit Quaternion Representation of Rotation Arkiverad 27 september 2007 på Wayback Machine
Ibanez, Luis, Quaternion Handledning I
Ibanez, Luis, Quaternion Tutorial II
Rotation i rymden och quaternions Arkiverad 30 december 2013 på Wayback Machine
Rotation i 3D med hyperkomplexa nummer arkiverade 19 april 2014 på Wayback Machine
Verzor // Stora sovjetiska encyklopedin : i 66 volymer (65 volymer och 1 ytterligare) / kap. ed. O. Yu. Schmidt . - M . : Sovjetiskt uppslagsverk , 1926-1947.