De Rham kohomologi

De Rham kohomologi är en kohomologiteori baserad på differentiella former och tillämpad i teorierna om jämna och algebraiska varianter .

Uppkallad efter den schweiziske matematikern de Rham . Den dimensionella de Rham-kohomologigruppen av en mångfald betecknas vanligtvis . $k$ $M$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$

Släta grenrör

Definitioner

Genom cochain-komplexet

Ett de Rham -komplex är ett cochain-komplex av yttre differentialformer på ett jämnt grenrör med en yttre differential som differential. $M$ $d\,^{k}$

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{ \to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

Här är utrymmet för smidiga funktioner på , är utrymmet för 1-former , det vill säga är utrymmet för -former. Observera att . -dimensionell kohomologigrupp av detta cochain-komplex är dess exakthetsmått i den -e termen och definieras som $\Omega ^{0}(M)$ $M$ $\Omega ^{1}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ $k$ $d^{k+1}d^{k}=0$ $k$ $H^{k}$ $k$

H^{k}(\Omega ^{\bullet},\;d^{\bullet})=\operatörsnamn {Ker} d^{k}/\operatörsnamn {Im} d^{k-1} .

Formuläret kallas stängt om , i detta fall . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $d^{k}\alpha =0$ ${\displaystyle \alpha \in \operatörsnamn {Ker} d^{k))$
En form kallas exakt om , för vissa , det vill säga . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha =d^{k-1}\gamma$ ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{k-1))$ $\alpha \in \operatörsnamn {Im} d^{k-1}$

Observera att varje exakt formulär är stängt.

Som en ekvivalensklass av former

Mer geometriskt är idén med de Rham-kohomologin att klassificera slutna former på en mångfald: två slutna former och sägs vara kohomologiska om de skiljer sig åt med en exakt form, d.v.s. deras skillnad är en exakt form. Denna definition genererar en ekvivalensrelation på uppsättningen slutna former i . $\alfa$ $\beta$ $\Omega ^{k}(M)$ $\alpha -\beta =d\gamma$ $\Omega ^{k}(M)$

Den kohomologiska klassen av en form är mängden av alla slutna former som skiljer sig från genom en exakt form, det vill säga uppsättningen av former av formen . $[\alfa]$ $\alfa$ $\alfa$ $\alfa +d\gamma$

$k$ Den -dimensionella de Rham kohomologigruppen är kvotgruppen av alla slutna former i undergruppen av exakta former. $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$

Observera att för ett grenrör med anslutna komponenter , $M$ $N$

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

I själva verket är former av grad 0 skalära funktioner. Slutenhet innebär att funktionerna har en nollderivata, det vill säga de är konstanta på varje ansluten komponent i grenröret.

De Rhams teorem

Stokes teorem är ett uttryck för dualiteten mellan de Rham-kohomologi och kedjekomplexhomologi . Den viktigaste konsekvensen av satsen är nämligen att " integralerna av en sluten form över homologa kedjor är lika": om är en sluten -form, och och är homologa -kedjor (det vill säga är gränsen för en -dimensionell kedja ) , då $\omega$ $k$ $M$ $N$ $k$ $MN$ $(k+1)$ $W$

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

eftersom deras skillnad är en integral

\int \limits _{{\partial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Således definierar sammankopplingen av differentiella former och kedjor genom integration en homomorfism från de Rham-kohomologin till den singulära kohomologigruppen . De Rhams teorem , bevisad av Georges de Rham 1931, säger att på släta grenrör är denna kartläggning en isomorfism : $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

Den yttre produkten ger den direkta summan av grupper strukturen av en ring . En liknande struktur i singular kohomologi ges genom -multiplikation . De Rhams teorem säger också att dessa två kohomologiringar är isomorfa som graderade ringar . $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ $\leende$

Algebraiska varianter

Definition

Ganska analogt med det smidiga fallet är varje algebraisk variation över ett fält associerad med ett komplex av regelbundna differentialformer . $X$ $k$

De Rham-kohomologigrupperna av en mängd kallas kohomologigrupperna . $X$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/k)$

Särskilda fall av de Rham-kohomologi

Om är en jämn och komplett mångfald och egenskapen är ett fält , då är de Rham- kohomologin en Weil-kohomologi . $X$ ${\mathrm {char}}\,k=0$
Om grenröret är ett jämnt affint grenrör , och fältet är det, är följande analog till de Rhams teorem sann : $X$ $k=\mathbb {C}$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{an}},\;{\mathbb {C}}),$

var är den komplexa analytiska varieteten som motsvarar den algebraiska varianten .

X_{{an}}

X

Till exempel, om är komplementet till en algebraisk hyperyta vid , då kan kohomologin beräknas med hjälp av rationella differentialformer på med poler på denna hyperyta. $X$ $P^{n}(\mathbb {C} )$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ $P^{n}(\mathbb {C} )$

Relative de Rham cohomology

För varje morfism kan man definiera det så kallade relativa de Rham-komplexet $f\kolon X\till S$

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

leder till relativ de Rham-kohomologi . $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$

Om sorten är spektrumet av ringen och , då det relativa de Rham-komplexet sammanfaller med . $X$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ $S={\mathrm {Spec}}\,B$ $\Lambda \Omega _{{A/B}}^{1}$

Kohomologin av ett komplex av kärvar på kallas kärvar av relativ de Rham-kohomologi . Om det är en riktig morfism, är dessa skivor sammanhängande på . ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ $\sum _{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega _{{X/S}}^{p}$ $S$ $f$ $S$

Litteratur

Bott, R., Tu, L. V. Differentialformer i algebraisk topologi. — M .: Platon, 1997. — 336 sid. - ISBN 5-80100-280-4 . .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri: metoder för homologiteori. — M .: Nauka, 1984. — 343 sid.
de Ram, J. Differentierbara sorter = Varietes differentiables. — M.: KomKniga, 2006. — 250 sid. — ISBN 5-484-00341-5 . .