De Bruijn-Newman konstant

De Bruijn-Newman- konstanten är en matematisk konstant , betecknad med Λ. Uppkallad efter Nicholas Govert de Bruyne och Charles M. Newman.

Beskrivning

Tänk på Riemann xi-funktionen:

\Xi (iz)={\frac {1}{2}}\left(z^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\pi ^{-{\frac { z}{2}}-{\frac {1}{4}}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{4}}\right)\zeta \ vänster(z+{\frac {1}{2}}\höger)

Uttrycket kan representeras som en Fouriertransform : ${\frac {\Xi (z/2)}{8}}$

\Phi (t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(2\pi ^{2}n^{4}e^{9t}-3\pi n^{2 }e^{5t}\right)e^{-\pi n^{2}e^{4t}}}

för . Sedan betecknar vi Fouriertransformen som : $t\in \mathbb {R} \geq 0$ $\Phi (t)e^{\lambda t^{2))$ $H(\lambda ,z)$

{\mathcal {F}}_{t}\left[\Phi (t)e^{\lambda t^{2}}\right]=H(\lambda ,z)

Konstanten definieras i termer av nollorna för funktionen H(λ, z). Den har verkliga nollor om och endast om λ ≥ Λ. Konstanten är nära relaterad till Riemanns hypotes angående nollorna i Riemanns zetafunktion .

Betydelse

De Bruijn visade [1] 1950 att H bara har reella nollor för λ > 1/2, och vidare att om H bara har reella nollor för vissa λ, så har H också bara reella nollor för större värden på λ . De Bruijns övre gräns Λ ≤ 1/2 bevisades inte förrän 2008, när Haseo Ki, Young-One Kim och Jungseob Lee bevisade [2] att Λ < 1/2, vilket gjorde beviset rigoröst [3] .

I december 2018 förbättrade Polymath- projektet den övre gränsen för konstanten Λ till 0,22 [4] [5] .

Från och med april 2020 är den bästa övre gränsen för konstanten Λ ≤ 0,2 [6] .

Seriösa beräkningar för att hitta den nedre gränsen har gjorts sedan 1988 och pågår fortfarande (från 2018):

År	Nedre gräns Λ
1988	−50
1991	−5
1990	-0,385
1994	−4,379×10 −6
1993	−5,895×10 −9 [7]
2000	−2,7×10 −9 [8]
2011	−1,1×10 −11 [9]
2018	≥ 0 [10] [11]

Eftersom är en Fourier-transform , så har H en Wiener-Hopf-representation: $H(\lambda ,x)$ $F(e^{\lambda x}\Phi )$

\xi (1/2+iz)=A{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{ \frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}H(\lambda,x)dx

som endast är giltigt för icke-negativa värden på λ. I gränsen tenderar λ till 0, om λ är negativ, definieras H enligt följande: $H(0,x)=\xi (1/2+ix)$

H(\lambda ,z)=B{\sqrt {\pi }}(\lambda )^{-1}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {-1}{4\lambda }}(xz)^{2}}\xi (1/2+ix)dx

Här är A och B verkliga konstanter.

I januari 2018 publicerade Brad Rogers och Terence Tao en artikel på arXiv.org , där de hävdar att de Bruijn-Newman-konstanten är icke-negativ [10] [11] [5] .

Anteckningar

↑ Nicolaas Govert de Bruijn. Rötterna till triginometriska integraler (engelska) // Duke Math. J.. - 1950. - Vol. 17 , nr. 3 . — S. 197–226 . Arkiverad från originalet den 10 september 2018.
↑ Haseo Ki, Young-One Kim, Jungseob Lee. På de Bruijn–Newman-konstanten // Advances in Mathematics. - 2009. - Vol. 222 , nr. 1 . - s. 281-306 . — ISSN 0001-8708 . Arkiverad från originalet den 9 augusti 2017.
↑ Nollfria regioner . Hämtad 9 augusti 2018. Arkiverad från originalet 12 juni 2018. (obestämd)
↑ Går du under Λ ≤ 0,22? . Hämtad 9 augusti 2018. Arkiverad från originalet 13 augusti 2018. (obestämd)
↑ 1 2 Charles M. Newman, Wei Wu. Konstanter av de Bruijn-Newman-typ i analytisk talteori och statistisk fysik . arXiv:1901.06596 [math-ph] (19 januari 2019). Hämtad 15 mars 2019. Arkiverad från originalet 22 januari 2020. (obestämd)
↑ Dave Platt, Tim Trudgian. Riemanns hypotes är sann upp till 3⋅10^12 . arXiv:2004.09765 [math.NT] (21 april 2020). Hämtad 2 maj 2021. Arkiverad från originalet 17 april 2021. (obestämd)
↑ G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. Ett nytt Lehmer-par med nollor och en ny nedre gräns för De Bruijn-Newman konstanten Lambda // Electronic Transactions on Numerical Analysis. - 1993. - Vol. 1 . — S. 104–111 . Arkiverad från originalet den 19 augusti 2021.
↑ Andrew Odlyzko. En förbättrad gräns för de Bruijn-Newman-konstanten // Numeriska algoritmer. - 2000. - Vol. 25 . - s. 293-303 .
↑ G. Csordas, A.M. Odlyzko, W. Smith, R.S. Varga. En förbättrad nedre gräns för de Bruijn-Newman-konstanten // Mathematics of Computation. - 2011. - Vol. 80 , nej. 276 . — S. 2281–2287 .
↑ 1 2 Brad Rodgers, Terence Tao. De Bruijn-Newman-konstanten är icke-negativ. — 2018.
↑ 1 2 De Bruijn-Newman-konstanten är icke-negativ (19 januari 2018). Hämtad 9 augusti 2018. Arkiverad från originalet 11 juli 2018. (obestämd)

Siffror med egennamn

Matematiska konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
förmodligen transcendental

Tusen grader

Gamla ryska siffror

Övriga tiopotenser

tolv makter

Annan helhet

Andra nummer

imaginär enhet