Konstruktiv matematik
Konstruktiv matematik är en abstrakt vetenskap om konstruktiva tankeprocesser, människans förmåga att utföra dem och deras resultat - konstruktiva matematiska objekt. Det är resultatet av utvecklingen av en konstruktiv riktning inom matematiken - en matematisk världsbild, som i motsats till den mängdteoretiska riktningen anser att studiet av konstruktiva processer och konstruktiva objekt är matematikens huvuduppgift. [ett]
David Hilbert kan betraktas som grundaren av den konstruktiva riktningen efter hans misslyckade försök att underbygga mängdteoretisk matematik utifrån konstruktiv matematik. En av grundarna av den egentliga konstruktiva matematiken är den sovjetiske vetenskapsmannen Andrey Markov .
Abstraktioner av konstruktiv matematik
Det abstrakta i konstruktiv matematik manifesteras i den systematiska tillämpningen av två stora distraktioner: abstraktionen av identifiering och abstraktionen av potentiell genomförbarhet eller potentiell oändlighet.
Abstraktionen av identifiering används när man talar om två identiska objekt i en eller annan mening som ett och samma objekt.
Abstraktionen av potentiell genomförbarhet (potentiell oändlighet) används när design abstraheras från praktiska begränsningar i rum, tid och material. Tillåtligheten av denna abstraktion skiljer konstruktivism från ultrafinitism .
Konstruktiv matematik förkastar den abstraktion av faktisk oändlighet som används i mängdteoretisk matematik , som är förknippad med betraktandet av oändliga processer som oändligt fortsatta och därmed, så att säga, fullbordade. [ett]
Huvudsakliga föremål för övervägande
Begreppen en konstruktiv process och ett konstruktivt objekt har ingen gemensam definition. Olika teorier om konstruktiv matematik kan behandla konstruktiva objekt av olika konkreta slag (heltalsmatriser, polynom med rationella koefficienter etc.). Emellertid kan flera typer av konstruktioner specificeras som är kapabla att modellera vilka andra kända konstruktioner som helst (och därmed kan betraktas som generiska konstruktioner i någon mening). Sådana är i synnerhet ord i olika alfabet.
Funktioner i logiken i konstruktiv matematik
Ett utmärkande drag för konstruktiva föremål är det faktum att de inte existerar för evigt. De föds som ett resultat av användningen av vissa konstruktiva processer och försvinner sedan (på grund av olika anledningar). Ett algebraiskt uttryck skrivet med krita på en svart tavla fanns inte alltid på den här tavlan – och kommer att finnas på den exakt tills den raderas. Tabellen lagrad på hårddisken på en persondator fanns uppenbarligen inte heller innan den här disken gjordes - och kommer också att förstöras förr eller senare (antingen som ett resultat av omformatering, eller som ett resultat av ett diskfel).
I samband med det som har sagts, i konstruktiv matematik, förstås "existensen" av ett konstruktivt objekt som dess potentiella genomförbarhet - det vill säga närvaron till vårt förfogande av en metod som gör att vi kan reproducera detta objekt vilket antal gånger som helst . En sådan förståelse avviker kraftigt från förståelsen av existensen av ett objekt, accepterad i mängdteoretisk matematik. I mängdteorin kommer det faktum att konstruktiva objekt ständigt föds och försvinner inte något uttryck: ur dess synvinkel är rörliga verkliga objekt bara "skuggor" av statiska "idealobjekt" som evigt existerar i någon fantasivärld (och endast dessa "ideala objekt" bör anses vara i matematik).
Att förstå existensen av ett objekt som en potentiell genomförbarhet leder till det faktum att de logiska lagarna som verkar i konstruktiv matematik visar sig vara annorlunda än de klassiska. I synnerhet förlorar lagen om den uteslutna mitten sin universella tillämplighet . Faktum är att formeln, när den förstås konstruktivt, uttrycker påståendet
"bland formlerna och potentiellt möjliga sant" ,
den klassiska härledningen av en disjunktion ger dock inget sätt att konstruera dess korrekta term. På liknande sätt kan den logiska vederläggningen av antagandet att något konstruktivt objekt av det slag som vi betraktar har någon egenskap - som i mängdteoretisk matematik anses vara ett tillräckligt skäl för att erkänna ett objekt med egenskapen som "existerande" - inte i sig själv fungera som en skäl för att erkänna ett objekt med fastigheten som potentiellt realiserbart. Det bör dock noteras att ett visst heuristiskt värde fortfarande erkänns bakom sådana logiska motbevisningar (eftersom de, även om de inte ger något sätt att konstruera det önskade objektet, ändå indikerar meningsfullheten i försök till en sådan konstruktion). Icke-konstruktiva objekt för vilka det var möjligt att bevisa sin "existens" inom ramen för klassisk logik kallas vanligen för kvasi-genomförbara .
Distinktionen mellan begreppen en potentiellt realiserbar och en kvasirealiserbar konstruktion blir särskilt viktig när man överväger allmänna existenspåståenden. Ja, dom
"för vilket konstruktivt objekt som helst av den typ som avses kan vi potentiellt implementera ett konstruktivt objekt som står i relation till objektet "
innebär att vi har till vårt förfogande en enda generell metod ( algoritm ) för att bearbeta ett objekt till ett objekt som motsvarar det . Därför kan en sådan bedömning vara medvetet felaktig även om domen är korrekt.
"för varje konstruktivt objekt av den typ som avses är ett konstruktivt objekt som står i relation till objektet nästan realiserbart " .Några specifika teorier om konstruktiv matematik
Konkreta matematiska teorier utvecklade inom ramen för begreppen konstruktiv matematik har ett antal signifikanta skillnader från motsvarande mängdteoretiska teorier.
Till exempel introduceras huvudkonceptet för matematisk analys - begreppet ett reellt tal - i den traditionella versionen av teorin på grundval av en allmän idé om en uppsättning . För konstruktiv matematik, som kräver att hänsyn begränsas till konstruktiva objekt, är detta sätt att definiera begreppet ett reellt tal oacceptabelt. I den förstås reella tal vanligtvis som register över algoritmer som bearbetar alla naturliga tal till något rationellt tal och uppfyller villkoret
Sådana poster är konstruktiva objekt och tillåts att beaktas i konstruktiv matematik. Som vanligt, två reella tal och anses lika om villkoret
Det bör noteras att problemet med att känna igen likheten mellan två godtyckliga reella tal är algoritmiskt olösligt , och därför, med en konstruktiv förståelse av matematiska bedömningar, uttalandet
"alla två reella tal är antingen lika eller inte lika"visar sig vara falskt. Följaktligen överförs inte den mängdteoretiska idén om kontinuumets atomicitet (dess egenskap från punkter som är tydligt separerade från varandra - en faktiskt oändlig uppsättning faktiskt oändliga objekt) till konstruktiv matematik.
Många påståenden om mängdteoretisk analys i konstruktiv analys vederläggs av exempel. Sådana är i synnerhet satsen om konvergensen av en monoton bunden sekvens och Heine-Borel-lemmat om valet av täckning. Ett antal andra påståenden om mängdteoretisk analys kan överföras till konstruktiv matematik endast om "existensen" av det önskade objektet förstås som kvasi-genomförbarhet (snarare än potentiell genomförbarhet). Sådana är satsen om representation av reella tal med systematiska bråk och satsen om nollpunkten för en kontinuerlig funktion med teckenvariabel.
Å andra sidan bevisar konstruktiv analys ett antal påståenden som inte har några mängdteoretiska analoger. Ett av de mest slående exemplen här är G.S. Tseitins teorem om kontinuiteten i varje mappning från ett separerbart metriskt utrymme till ett metriskt utrymme. Det följer av denna sats, i synnerhet, att all kartläggning av metriska utrymmen är Heine-kontinuerlig. Det bör noteras att det finns exempel på mappningar från icke-separerbara utrymmen som inte är Cauchy -kontinuerliga . Sålunda, i konstruktiv matematik, uttalandet om likvärdigheten av kontinuiteten i kartläggningen enligt Cauchy och enligt Heine, vilket bevisas i klassisk analys baserad på användningen av starka mängdteoretiska medel (särskilt valets axiom ) , kan vederläggas med exempel.
Se även
Anteckningar
- ↑ 1 2 Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : "Ugglor. encyclopedia" , 1988. - S. 847 .
Litteratur
- Markov A. A. Utvalda verk. —M.: MTSNMO Publishing House, 2003. — T. II. Teori om algoritmer och konstruktiv matematik, matematisk logik, datavetenskap och relaterade frågor. — 626 sid. —ISBN 5-94057-113-1.
- Markov A. A. , Nagorny N. M. Theory of Algoritms. - 2:a upplagan - M . : FAZIS, 1996.
- Nagorny N. M. Abstraktion av faktisk oändlighet, Abstraktion av identifiering, Abstraktion av potentiell genomförbarhet // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 1: A - G. - S. 43, 44. - 1152 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
- Kushner B. A. Föreläsningar om konstruktiv matematisk analys. —M.: Nauka, 1973. — 447 sid.
- Kushner B. A. Konstruktiv matematik, Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2. - 1042 sid.
- Kondakov N. I. Logisk ordbok-uppslagsbok. — M .: Nauka, 1975. — 259 sid.
- Ruzavin G. I. Om matematisk kunskaps natur. - M . : Tanke, 1968. - 302 sid.
- Akimov O. E. Diskret matematik: logik, grupper, grafer. - 2:a uppl. - M . : "Laboratory of Basic Knowledge", 2003. - 376 sid.
- HH Nepeyvoda . Konstruktiv riktning // Ny filosofisk encyklopedi : i 4 volymer / föregående. vetenskaplig-ed. råd av V. S. Stepin . — 2:a uppl., rättad. och ytterligare - M . : Tanke , 2010. - 2816 sid.
 Ordböcker och uppslagsverk | |
|---|---|
| I bibliografiska kataloger |
| Logik | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Filosofi • Semantik • Syntax • Historia | |||||||||
| Logiska grupper |
| ||||||||
| Komponenter |
| ||||||||
| Lista över booleska symboler | |||||||||