Samprodukt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 3 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Samprodukten ( kategorisk summa ) av en familj av objekt är en generalisering i kategoriteori av begreppen en disjunktiv förening av mängder och topologiska rum och en direkt summa av moduler eller vektorrum . Samprodukten av en familj av objekt är det "mest generella" objekt i vilket det finns en morfism från varje objekt i familjen. Samprodukten av objekt är dubbel till deras produkt , det vill säga definitionen av en biprodukt kan erhållas från definitionen av en produkt genom att vända alla pilar. Men i många kategorier är produkten och biprodukten av föremål slående olika.

Definition

Låt vara en kategori och vara en indexerad familj av dess objekt. Samprodukten av denna familj är ett objekt , tillsammans med morfismer som kallas kanoniska inbäddningar , så att det för varje objekt av en kategori och familj av morfismer finns en unik morfism , så att , det vill säga, följande diagram är kommutativt för varje : ${\mathcal C}$ $\{X_{j}|j\in J\}$ $X$ $i_{j}\colon \,X_{j}\to X$ $Y$ ${\mathcal C}$ $f_{j}\colon \,X_{j}\till Y$ $f\kolon \,X\till Y$ $f_{j}=f\circ i_{j}$ $j$

En familjs biprodukt betecknas vanligtvis $\{X_{j}\}$

X=\coprod _{{j\in J}}X_{j}

eller

X=\bigoplus _{{j\in J}}X_{j}.

Ibland betecknas en morfism $f$

f=\coprod _{{j\in J}}f_{j}:\coprod _{{j\in J}}X_{j}\to Y

att betona dess beroende av . $f_{j}$

Samprodukten av två objekt betecknas vanligtvis med eller , då tar diagrammet formen $X_{1}\coprod X_{2}$ $X_{1}\oplus X_{2}$

Följaktligen, beteckna samtidigt , eller . $f$ $f_{1}\coprod f_{2}$ $f_{1}\oplus f_{2}$ $[f_{1},f_{2}]$

Det unika i resultatet av operationen kan alternativt uttryckas som en jämlikhet som gäller för alla . [ett] $[-,-]$ $[h\cirkel i_{1},h\cirkel i_{2}]=h$ $h$

Det finns en motsvarande definition av en biprodukt. Samprodukten av en familj är ett objekt så att för varje objekt är funktionen som ges som bijektiv. [2] $\{X_{j}|j\in J\}$ $X$ $Y\in C$ ${\text{Hom}}(X,Y)\rightarrow \prod _{{j\in J}}{\text{Hom}}(X_{j},Y)$ $u\mapsto \{u\circ i_{j}\}$

Exempel

I kategorin uppsättningar är biprodukten av en familj av uppsättningar deras osammanhängande förening , de kanoniska mappningarna är uppenbara inbäddningar . I detta fall kan den universella egenskapen uttryckas på följande sätt: för att definiera en funktion på en disjunkt union är det tillräckligt (och nödvändigt) att definiera en funktion på var och en av dess komponenter. $I j}$
I kategorierna vektorrum , moduler och abelska grupper kallas en samprodukt en direkt summa .
I kategorin alla grupper är en samprodukt en gratis produkt .
I kategorin topologiska utrymmen är samprodukten den disjunkta föreningen av bäraruppsättningarna av de ursprungliga utrymmena, och basen för topologin erhålls genom föreningen (mer exakt, bilderna under kanoniska inbäddningar) av de ursprungliga baserna.

Egenskaper

Om summan av objekt existerar, är den unik upp till isomorfism .
Kommutativitet : $a+b\simeq b+a.$
Associativitet : $(a+b)+c\simeq a+(b+c)$
Om det finns ett initialt objekt i kategorin , då $\0$ $a+0\simeq 0+a\simeq a.$
En kategori där det finns biprodukter av någon uppsättning objekt är ett exempel på en symmetrisk monoidal kategori .

Distributivitet

I allmänhet finns det en kanonisk morfism där plus betecknar en biprodukt av objekt. Detta följer av förekomsten av kanoniska projektioner och inbäddningar och från kommutativiteten i följande diagram: $X\ gånger Y+X\ gånger Z\ till X\ gånger (Y+Z)$

Den universella egenskapen garanterar existensen av den önskade morfismen. En kategori kallas distributiv om denna morfism i den är en isomorfism . $X\ gånger (Y+Z)$

Se även

Transformationsmatrisen är en kategorisk analog till den linjära transformationsmatrisen.
Gränser och samgränser

Anteckningar

↑ Lambek J., Scott PJ Introduktion till kategorisk logik av högre ordning. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.
↑ Bucur I., Deleanu A. Introduktion till teorin om kategorier och funktioner. - M . : "Mir", 1972.

Litteratur

McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern. - M .: Fizmatlit, 2004 [1998].