Klee-polyedern är en konstruktion som gör att du kan få en ny polyeder från en given. Uppkallad efter den amerikanske matematikern Victor Klee [1]
Låt P vara en konvex polyeder i ett utrymme av vilken dimension som helst. Därefter bildas Klee-polytopen P K av polytopen P genom att lägga till en låg pyramid på varje yta av P med en bas i denna yta [2] [3] .
Triakistetraedern är polyedern i Klee - tetraedern , triakisoctahedronen är polyedern i Klee - oktaedern och triakisicosahedronen är polyedern i Klee -ikosaedern . I alla dessa fall bildas Klee-polyedern genom att lägga till en triangulär pyramid på varje sida av den ursprungliga polyedern. Conway använde för denna operation prefixet kis som introducerades av Kepler ( Conways kis-operator ), vilket kan ses i namnen på Klee polyhedra.
Triakistetraedern är polyedern i Klee- tetraedern . |
Tetrakishexaedern är Klee- kubpolyedern . |
Triakisicosahedron är polyedern i Klee -oktaedern . |
Pentakis dodecahedron är polytopen av Klee dodecahedron . |
Triakisicosahedron är Klee polytopen av icosahedron . |
Tetrakishexahedronen är Klee-polyedern av kuben , bildad genom att lägga till fyrkantiga pyramider till varje yta, medan pentakis-dodekaedern är Klee-polyedern av dodekaedern , bildad genom att lägga till femkantiga pyramider.
Hexakisoktaedern är Klee-polyedern i den rombiska dodekaedern . |
Hexakisicosahedron är |
Tripentakisicosidodecahedron är Klee polyhedron av icosidodecahedron . |
Baspolytopen för Klee-polytopen behöver inte vara vanlig . Till exempel är hexakisoctahedron en Klee-polytop av den rombiska dodekaedern , bildad genom att ersätta varje rombisk yta av dodekaedern med en rombisk pyramid, och hexakisicosahedronen är Klee-polytopen av den rombiska triacontahedronen . Faktum är att baspolyedern inte behöver vara ett facetttransitivt fast ämne , som ses i tripentakisicosidodecahedron-exemplet ovan.
Goldner-Harari-grafen kan representeras som vertex- och kantgrafen för Klee-polyedern i en triangulär bipyramid .
Den lilla stjärnformade pentakis-dodekaedern är Klee-polyedern av den lilla stjärnformade dodekaedern . |
Den stora stjärnformade pentakis dodekaedern är Klee-polyedern av den stora stjärnformade dodekaedern . |
Den stora pentakis-dodekaedern är Klee-polyedern för den stora dodekaedern . |
Den stora triakisicosahedronen är Klee-polyedern av den stora icosahedronen . |
Om P har tillräckligt med hörn med avseende på dess dimension, så är Klee-polytopen av P entydig med avseende på dimension - grafen som bildas av dess kanter och hörn är inte grafen för en annan polytop i en annan dimension. Mer specifikt, om antalet hörn av en d -dimensionell polytop P är minst d 2 /2 , så är P K entydigt med avseende på dimension [2] [5] .
Om någon i -dimensionell fasett av en d -dimensionell polytop P är en simplex , och om i ≤ d − 2 , så är vilken som helst ( i + 1) -dimensionell fasett P K också en simplex. I synnerhet är Klee-polytopen av alla 3D-polytoper en enkel polytop , en polytop vars ytor alla är trianglar.
Klee-polytopen kan användas för att generera polytoper som inte innehåller några Hamiltonska cykler - vilken väg som helst genom en av de hörn som läggs till när Klee-polytopen konstrueras måste gå in i vertexet och lämna den genom dess grannar som tillhör den ursprungliga polytopen, och om det finns nya hörn mer än hörn på den ursprungliga polyedern, då kommer det inte att finnas tillräckligt med hörn för att vägen ska existera. Speciellt har Goldner–Harari-grafen , Klee-polytopen i den triangulära bipyramiden, sex hörn lagts till när Klee-polytopen konstrueras och endast fem hörn i bipyramiden från vilken Klee-polytopen skapades, så grafen är inte Hamiltonsk. Detta är den enklaste icke-Hamiltonska enkla polytopen [6] [7] . Om en polyeder med n hörn bildas genom att upprepade gånger konstruera en Klee-polyeder med utgångspunkt från en tetraeder, så är dess längsta väg O( n log 3 2 ) lång . Det vill säga korthetsindexet för dessa grafer är lika med log 3 2 , ungefär 0,630930. Samma teknik visar att det i varje högre dimension d finns enkla polyedrar med närhetsindex log d 2 [8] . Plummer [9] använde konstruktionen av Klee-polytopen för att skapa en oändlig familj av exempel på enkla polytoper med ett jämnt antal hörn som inte har perfekt matchning .
Klee-polyedrar har några extrema egenskaper relaterade till deras vertexgrader - om någon kant i en plan graf faller in mot minst sju andra kanter, måste det finnas en vertex på högst fem grader, men en av dess grannar kommer att ha grad 20 eller Mer. Klee-polytopen av den icosaedriska Klee-polytopen ger ett exempel där graden av höggradiga hörn är exakt 20 [10] .