Tröghetsmoment | |
---|---|
Dimensionera | L 2 M |
Enheter | |
SI | kg m² _ _ |
GHS | g cm² _ _ |
Tröghetsmomentet är en skalär fysisk storhet , ett mått på tröghet i rotationsrörelse runt en axel, precis som en kropps massa är ett mått på dess tröghet i translationsrörelse. Det kännetecknas av fördelningen av massor i kroppen: tröghetsmomentet är lika med summan av produkterna av elementära massor och kvadraten på deras avstånd till basuppsättningen (punkt, linje eller axel).
Måttenhet i International System of Units (SI ) : kg m² .
Beteckning : I eller J.
Det finns flera tröghetsmoment - beroende på vilken typ av basuppsättning till vilken avstånden från elementära massor mäts.
Tröghetsmomentet för ett mekaniskt system i förhållande till en fast axel ("axiellt tröghetsmoment") är värdet av J a , lika med summan av produkterna av massorna av alla n materialpunkter i systemet och kvadraterna på deras avstånd till axeln [1] :
var:
Det axiella tröghetsmomentet för kroppen Ja är ett mått på kroppens tröghet i rotationsrörelse runt axeln, precis som en kropps massa är ett mått på dess tröghet i translationsrörelse .
var:
dm = ρ dV är massan av ett element med liten volym i kroppen dV , ρ är densiteten, r är avståndet från element dV till axel a .Om kroppen är homogen, det vill säga dess densitet är densamma överallt, då
Tröghetsmomentet för en stel kropp i förhållande till vilken axel som helst beror på kroppens massa , form och storlek, såväl som på kroppens position i förhållande till denna axel. Enligt Huygens-Steiners sats är tröghetsmomentet för en kropp J kring en godtycklig axel lika med summan av denna kropps tröghetsmoment J c kring en axel som går genom kroppens masscentrum parallellt med betraktad axel, och produkten av kroppsmassan m gånger kvadraten på avståndet d mellan axlarna [1] :
där m är kroppens totala massa.
Till exempel är tröghetsmomentet för en stav kring en axel som går genom dess ände:
Kropp | Beskrivning | en -axelposition | Tröghetsmoment J a |
---|---|---|---|
Materialpunkt med massa m | På ett avstånd r från punkten, fast | ||
Ihålig tunnväggig cylinder eller ring med radie r och massa m | Cylinderaxel | ||
Solid cylinder eller skiva med radie r och massa m | Cylinderaxel | ||
Ihålig tjockväggig cylinder med massan m med yttre radie r 2 och inre radie r 1 | Cylinderaxel | [Komm 1] | |
Massiv cylinder med längd l , radie r och massa m | Axeln är vinkelrät mot cylinderns generatris och passerar genom dess masscentrum | ||
Ihålig tunnväggig cylinder (ring) med längd l , radie r och massa m | Axeln är vinkelrät mot cylindern och passerar genom dess masscentrum | ||
Rak tunn stång med längden l och massan m | Axeln är vinkelrät mot stången och passerar genom dess masscentrum | ||
Rak tunn stång med längden l och massan m | Axeln är vinkelrät mot stången och passerar genom dess ände | ||
Tunnväggig sfär med radie r och massa m | Axeln går genom sfärens centrum | ||
Kula med radie r och massa m | Axeln passerar genom mitten av bollen | ||
Kon med radie r och massa m | kon axel | ||
Likbent triangel med höjd h , bas a och massa m | Axeln är vinkelrät mot triangelns plan och passerar genom spetsen (på höjden) | ||
Regelbunden triangel med sidan a och massan m | Axeln är vinkelrät mot triangelns plan och passerar genom masscentrum | ||
Fyrkant med sida a och massa m | Axeln är vinkelrät mot kvadratens plan och passerar genom masscentrum | ||
Rektangel med sidorna a och b och massa m | Axeln är vinkelrät mot rektangelns plan och passerar genom masscentrum | ||
Regelbunden n-gon med radie r och massa m | Axeln är vinkelrät mot planet och passerar genom masscentrum | ||
Torus (ihålig) med styrcirkelradie R , generatrisradie r och massa m | Axeln är vinkelrät mot planet för styrcirkeln för torus och passerar genom masscentrum |
Tunnväggig cylinder (ring, ring)
Formel härledningEn kropps tröghetsmoment är lika med summan av tröghetsmomenten för dess beståndsdelar. Låt oss dela upp en tunnväggig cylinder i element med massa dm och tröghetsmoment dJ i . Sedan
Eftersom alla element i en tunnväggig cylinder är på samma avstånd från rotationsaxeln, omvandlas formel (1) till formen
Tjockväggig cylinder (ring, ring)
Formel härledningLåt det bli en homogen ring med yttre radie R , inre radie R 1 , tjocklek h och densitet ρ . Låt oss dela den i tunna ringar av tjocklek dr . Massan och tröghetsmomentet för en tunn ring med radien r kommer att vara
Vi finner tröghetsmomentet för en tjock ring som en integral
Eftersom ringens volym och massa är lika
vi får den slutliga formeln för ringens tröghetsmoment
Homogen skiva (solid cylinder)
Formel härledningMed tanke på cylindern (skivan) som en ring med noll inre radie ( R 1 = 0 ), får vi formeln för cylinderns (skivan) tröghetsmoment:
solid kon
Formel härledningLåt oss dela upp konen i tunna skivor med tjockleken dh vinkelrät mot konens axel. Radien för en sådan skiva är
där R är radien för konens bas, H är höjden på konen, h är avståndet från toppen av konen till skivan. Massan och tröghetsmomentet för en sådan skiva kommer att vara
Integrering får vi
Rejäl uniform boll
Formel härledningLåt oss dela upp bollen i tunna skivor med tjockleken dh vinkelrät mot rotationsaxeln. Radien för en sådan skiva, belägen på en höjd h från sfärens centrum, kan hittas av formeln
Massan och tröghetsmomentet för en sådan skiva kommer att vara
Bollens tröghetsmoment hittas genom integration:
tunnväggig sfär
Formel härledningFör att härleda använder vi formeln för tröghetsmomentet för en homogen kula med radien R :
Låt oss beräkna hur mycket kulans tröghetsmoment kommer att förändras om dess radie ökar med ett oändligt litet värde dR vid en konstant densitet ρ .
Tunn stång (axeln går genom mitten)
Formel härledningLåt oss dela spöet i små fragment av längden dr . Massan och tröghetsmomentet för ett sådant fragment är
Integrering får vi
Tunn stång (axeln går genom änden)
Formel härledningNär man flyttar rotationsaxeln från mitten av stången till dess ände, rör sig stångens tyngdpunkt i förhållande till axeln med ett avstånd l ⁄ 2 . Enligt Steinersatsen kommer det nya tröghetsmomentet att vara lika med
Dimensionslösa tröghetsmoment hos planeter och deras satelliter [2] [3] [4]Av stor betydelse för studier av planeternas och deras satelliters inre struktur är deras dimensionslösa tröghetsmoment. Det dimensionslösa tröghetsmomentet för en kropp med radien r och massan m är lika med förhållandet mellan dess tröghetsmoment kring rotationsaxeln och tröghetsmomentet för en materialpunkt med samma massa kring en fast rotationsaxel belägen vid ett avstånd r (lika med mr 2 ). Detta värde återspeglar fördelningen av massa i djupet. En av metoderna för att mäta den för planeter och satelliter är att bestämma Doppler-förskjutningen av radiosignalen som sänds av AMS som flyger runt en given planet eller satellit. För en tunnväggig sfär är det dimensionslösa tröghetsmomentet lika med 2/3 (~0,67), för en homogen boll är det 0,4, och i allmänhet är ju mindre, desto större massa av kroppen är koncentrerad i dess centrum. Till exempel har månen ett dimensionslöst tröghetsmoment nära 0,4 (lika med 0,391), så det antas att den är relativt homogen, dess densitet ändras lite med djupet. Jordens dimensionslösa tröghetsmoment är mindre än det för en homogen boll (lika med 0,335), vilket är ett argument för att det finns en tät kärna [5] [6] .
Centrifugala tröghetsmoment för en kropp med avseende på axlarna i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem är följande storheter [1] [7] :
där x , y och z är koordinaterna för ett litet element i kroppen med volym dV , densitet ρ och massa dm .
Axeln OX kallas kroppens huvudtröghetsaxel , om de centrifugala tröghetsmomenten J xy och J xz samtidigt är lika med noll. Tre huvudtröghetsaxlar kan dras genom varje punkt på kroppen. Dessa axlar är ömsesidigt vinkelräta mot varandra. Kroppens tröghetsmoment i förhållande till de tre huvudtröghetsaxlarna ritade vid en godtycklig punkt O i kroppen kallas denna kropps huvudsakliga tröghetsmoment [7] .
De huvudsakliga tröghetsaxlarna som passerar genom kroppens masscentrum kallas för kroppens huvudtröghetsaxlar , och tröghetsmomenten kring dessa axlar kallas dess huvudsakliga centrala tröghetsmoment . Symmetriaxeln för en homogen kropp är alltid en av dess huvudsakliga centrala tröghetsaxlar [7] .
Det geometriska tröghetsmomentet för volymen i förhållande till axeln är den geometriska egenskapen hos kroppen, uttryckt med formeln [8] :
där r som tidigare är avståndet från elementet dV till axeln a .
Dimensionen för J Va är längden till femte potensen ( ), respektive SI-enheten är m 5 .
Det geometriska tröghetsmomentet för området i förhållande till axeln är kroppens geometriska karaktäristika, uttryckt med formeln [8] :
där integration utförs över ytan S och dS är en del av denna yta.
Dimensionen för J Sa är längden till fjärde potensen ( ), respektive SI-enheten är m 4 . I konstruktionsberäkningar, litteratur och sortiment av valsad metall anges det ofta i cm 4 .
Genom områdets geometriska tröghetsmoment uttrycks snittmotståndet :
Här är r max det maximala avståndet från ytan till axeln.
Geometriska tröghetsmoment för området för vissa figurer | |
---|---|
Rektangel höjd och bredd : |
|
Rektangulär lådsektion med höjd och bredd längs de yttre konturerna och , och längs den inre resp . |
|
Cirkeldiameter |
Tröghetsmomentet för en stel kropp i förhållande till ett visst plan kallas ett skalärt värde lika med summan av produkterna av massan av varje punkt i kroppen och kvadraten på avståndet från denna punkt till planet i fråga [9 ] .
Om vi ritar koordinataxlar genom en godtycklig punkt , så kommer tröghetsmomenten i förhållande till koordinatplanen att uttryckas med formlerna :
I fallet med en solid kropp ersätts summering av integration.
Det centrala tröghetsmomentet ( tröghetsmomentet kring punkten O, tröghetsmomentet kring polen, polärt tröghetsmoment ) är en storhet som definieras av uttrycket [9] :
var:
Det centrala tröghetsmomentet kan uttryckas genom de huvudsakliga axiella tröghetsmomenten, såväl som genom tröghetsmomenten i förhållande till planen [9] :
Tröghetsmomentet för en kropp kring en godtycklig axel som passerar genom masscentrum och har en riktning som ges av en enhetsvektor kan representeras som en kvadratisk (bilinjär) form :
(ett)var är tröghetstensorn . Tröghetstensormatrisen är symmetrisk, har dimensioner och består av centrifugalmomentkomponenter:
Genom att välja ett lämpligt koordinatsystem kan matrisen för tröghetstensorn reduceras till en diagonal form. För att göra detta måste du lösa egenvärdesproblemet för tensormatrisen :
var är den ortogonala övergångsmatrisen till egenbasen för tröghetstensorn. I sin egen grund är koordinataxlarna riktade längs tröghetstensorns huvudaxlar och sammanfaller även med tröghetstensorellipsoidens huvudsakliga halvaxlar. Storheterna är de huvudsakliga tröghetsmomenten. Uttryck (1) i sitt eget koordinatsystem har formen:
varifrån ellipsoidens ekvation i egenkoordinater erhålls. Dela båda sidor av ekvationen med
och gör ersättningarna:
vi får den kanoniska formen av ellipsoidekvationen i koordinater :
Avståndet från ellipsoidens centrum till några av dess punkter är relaterat till värdet på kroppens tröghetsmoment längs en rät linje som går genom ellipsoidens centrum och denna punkt:
![]() | |
---|---|
Ordböcker och uppslagsverk |
|
I bibliografiska kataloger |
|