Icke-linjär dynamik

Icke-linjär dynamik är en tvärvetenskaplig vetenskap som studerar egenskaperna hos icke- linjära dynamiska system . Icke-linjär dynamik använder olinjära modeller för att beskriva system, vanligtvis beskrivna med differentialekvationer och diskreta mappningar. Icke-linjär dynamik inkluderar stabilitetsteori , dynamisk kaosteori , ergodisk teori , integrabla systemteori .

Ett dynamiskt system förstås som ett system av vilken karaktär som helst (fysikaliskt, kemiskt, biologiskt, socialt, ekonomiskt, etc.), vars tillstånd förändras (diskret eller kontinuerligt) i tiden. Icke-linjär dynamik använder icke-linjära modeller i studien av system, oftast differentialekvationer och diskreta mappningar.

Det är vanligt att kalla en teori för icke-linjär, där icke-linjära matematiska modeller används.

Ett exempel på ett icke-linjärt system är ett system som har periodiskt växlande parametrar. I sådana system, under vissa förhållanden, kan förekomsten av parametriska oscillationer inträffa. En person på en gunga, hukande i de övre ytterlägena och reser sig i de nedre, exciterar parametriska svängningar. I det här fallet är parametern tröghetsmomentet för svingen tillsammans med personen (som en pendel med en förändring av massans position). Tvärgående parametriska svängningar hos en stav kan orsakas av periodiska kompressionskrafter som appliceras på dess ändar. Parametriska resonanser är farliga i maskiner och strukturer, eftersom växande parametrisk vibration är möjlig även med dämpning, och parametrisk resonans förekommer inte vid diskreta frekvenser (till exempel resonansfrekvenser under forcerade vibrationer), utan i vissa frekvensområden.

Definition

I matematik är en linjär mappning (eller linjär funktion) en mappning som uppfyller följande två egenskaper: $f(x)$

Additivitets- eller superpositionsprincip : $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
Homogenitet eller likhet: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

Additivitet innebär homogenitet för vilket rationellt tal α som helst och för kontinuerliga funktioner för vilket reellt α som helst. För ett komplext α följer inte homogenitetsegenskapen av additivitet. Till exempel är en antilinjär kartläggning additiv men inte homogen. Villkoren för additivitet och homogenitet kombineras ofta till principen om superposition

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

formens ekvationer

f(x)=C

kallas linjär om det är en linjär mappning (vilket motsvarar definitionen ovan) och icke-linjär i övrigt. En ekvation kallas homogen om . $f(x)$ $C=0$

Definitionen är mycket generell i den meningen att den kan vara vilket meningsfullt matematiskt objekt som helst (tal, vektor, funktion och så vidare), och en funktion kan vara vilken mappning som helst, inklusive integrations- eller differentieringsoperationer med tillhörande begränsningar (till exempel randvillkor ). Om innehåller härledningar med avseende på variabeln x , så är resultatet en differentialekvation. $f(x)=C$ $x$ $f(x)$ $f(x)$

Typer av icke-linjärt dynamiskt beteende

Kaos - systemets värde kan inte förutsägas och det förflutna är känt, och fluktuationer är aperiodiska.
Multistabilitet är förekomsten av två eller flera stabila tillstånd.
Amplitudsönderfall - alla svängningar som finns i systemet avtar genom interaktion med ett annat system eller återkoppling av samma system.
Solitoner är en enda våg, självförstärkande.

Icke-linjära algebraiska ekvationer

Icke-linjära algebraiska ekvationer, även kallade polynomekvationer, definieras som en ekvation med polynom (polynom) satta till noll. Till exempel

x^{2}+x-1=0\,.

För en enkel algebraisk ekvation finns det algoritmer för att hitta rötterna till en ekvation som låter dig hitta en lösning på dessa ekvationer (det vill säga en uppsättning värden som kan ersättas i ekvationen istället för variabler som kommer att uppfylla denna ekvation). Emellertid är ekvationssystem mer komplexa; de studeras inom området algebraisk geometri, som är en ganska komplex gren av modern matematik. Ibland är det till och med svårt nog att avgöra om ett algebraiskt system har komplexa rötter (se Hilberts nollsats ). Men fallet när systemen har ett ändligt antal komplexa lösningar är sådana system av algebraiska ekvationer väl studerade och det finns effektiva metoder för deras lösning [1] .

Icke-linjära differentialekvationer

Ett system av differentialekvationer sägs vara icke-linjärt om det inte är ett linjärt system. Problem som kräver utveckling av icke-linjära differentialekvationer är mycket olika, och metoderna för lösning eller analys beror på detta. Exempel på icke-linjära differentialekvationer är Navier-Stokes ekvation inom hydrodynamik och Lotka-Volterra ekvationer inom biologi.

En av svårigheterna med icke-linjära problem är att det i det allmänna fallet är omöjligt att kombinera kända lösningar för att konstruera nya lösningar. I linjära problem, till exempel, kan en familj av linjärt oberoende lösningar användas för att konstruera allmänna lösningar med hjälp av superpositionsprincipen. Ett bra exempel på detta är det endimensionella temperaturfördelningsproblemet med Dirichlets randvillkor, vilket kan lösas som en tidsberoende linjär kombination av sinusoider med olika frekvenser; detta gör lösningen mycket flexibel. Det är också möjligt att hitta några mycket specifika lösningar för icke-linjära ekvationer, men frånvaron av superpositionsprincipen tillåter inte att man konstruerar nya lösningar.

Vanliga differentialekvationer

Vanliga differentialekvationer av första ordningen löses vanligtvis med hjälp av separationsmetoden för variabler, särskilt i fallet med autonoma ekvationer. Till exempel den olinjära ekvationen

{\frac {du}{dx}}=-u^{2}

har en generell lösning (och även u = 0 som en partiell lösning, motsvarar gränsen för den allmänna lösningen där C tenderar mot oändligheten). Ekvationen är icke-linjär eftersom den skrivs som $u={\frac {1}{x+C))$

{\frac {du}{dx}}+u^{2}=0

den vänstra sidan av ekvationen är inte en linjär funktion av u och dess derivator. Om termen u 2 skulle ersättas med u , då skulle problemet vara linjärt (exponentiellt sönderfallsproblem).

Vanliga differentialekvationer av andra och högre ordningen (i ett mer allmänt fall, system av icke-linjära ekvationer) har sällan slutna lösningar, även om det finns möjliga exakta lösningar och lösningar som använder icke-elementära integraler.

Vanliga analysmetoder för att lösa vanliga icke-linjära differentialekvationer inkluderar:

Studie av eventuella konservativa kvantiteter, särskilt i Hamiltonska system
Studiet av dissipativa kvantiteter (se Lyapunov funktion ) liknar konservativa kvantiteter
Linearisering med Taylor-expansion
Ändring av variabler för att få en form som är lättare att lära sig
bifurkationsteori
Metoder för störningsteori (kan även appliceras på algebraiska ekvationer)

Pendel

Ett klassiskt, allmänt studerat olinjärt problem är dynamiken i en pendel under inverkan av gravitationen. Med hjälp av Lagrange-mekaniken kan man visa [2] att pendelns rörelse kan beskrivas med hjälp av den dimensionslösa olinjära ekvationen

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0

där gravitationskraften är "nedåt" och är den vinkel som pendeln gör med sitt initiala viloläge, som visas i figuren till höger. Ett sätt att "lösa" denna ekvation är att använda som en integrerande faktor , vilket ger följande resultat: $\theta$ $d\theta /dt$

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}

vilket är den ovillkorliga lösningen som använder den elliptiska integralen. Denna "lösning" har vanligtvis få applikationer, eftersom delen av denna lösning i större utsträckning är gömd i en inte särskilt elementär integral (förutom i fallet med ). $C_{0}=2$

Ett annat tillvägagångssätt för att lösa detta problem är att göra icke-linjäriteten linjär (i detta fall en sinusfunktion) med hjälp av en Taylor-serie vid olika punkter av intresse. Till exempel är lineariseringen vid punkten , som kallas liten vinkelapproximation,: $\theta=0$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0

eftersom för . Detta är en enkel harmonisk svängning, som motsvarar pendelns svängningar i närheten av den lägsta punkten på dess väg. En annan linjäriseringspunkt kommer att vara , vilket motsvarar en pendel i vertikal position: $\sin(\theta )\approx \theta$ $\theta \ca 0$ $\theta =\pi$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2))}+\pi -\theta =0

eftersom för . Lösningen på problemet involverar användningen av hyperboliska sinusoider, och till skillnad från småvinkelapproximationen är denna approximation stabil, vilket innebär att den i allmänhet kommer att växa i det oändliga, även om begränsade lösningar kan finnas. Detta motsvarar svårigheten att balansera pendeln i vertikalt läge, vilket i själva verket är ett instabilt tillstånd. $\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ $\theta \approx \pi$ $|\theta |$

En annan intressant linearisering är möjlig runt den punkt runt vilken : $\theta =\pi /2$ $\sin(\theta )\approx 1$

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.

Detta motsvarar problemet med fritt fall. En mycket visuell representation av dynamiken i en pendel kan ges genom att sätta ihop dessa exempel på linjärisering, som visas i figuren till höger. Det finns andra tekniker som gör att man kan hitta (exakta) fasporträtt och ungefärliga svängningsperioder.

Litteratur

Malinetsky GG, Potapov AB Moderna problem med olinjär dynamik. — M.: Redaktionell URSS, 2000. — 326 sid.
Danilov Yu. A. Föreläsningar om icke-linjär dynamik. — M.: Postmarket, 2001. — 184 sid.
Tabor M. Kaos och integrerbarhet i olinjär dynamik. — M.: Redaktionell URSS, 2001. — 318 sid.

Se även

Anteckningar

↑ Lazard, D. Trettio år av polynomsystemlösning, och nu? (engelska) // Journal of Symbolic Computation : journal. - 2009. - Vol. 44 , nr. 3 . - S. 222-231 . - doi : 10.1016/j.jsc.2008.03.004 .
↑ David Tong: Föreläsningar om klassisk dynamik . Hämtad 3 oktober 2019. Arkiverad från originalet 14 april 2021. (obestämd)

Länkar

Elektroniskt bibliotek om icke-linjär dynamik
Journal icke-linjär dynamik
Journal of Applied Nolinear Dynamics (Journal on Applied Nolinear Dynamics)
Tidskrift ”Nyheter om högre läroanstalter. Tillämpad olinjär dynamik»