Generisk funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En generaliserad funktion , eller distribution , är ett matematiskt begrepp som generaliserar det klassiska begreppet funktion . Behovet av en sådan generalisering uppstår i många fysiska och matematiska problem.

Konceptet med en generaliserad funktion gör det möjligt att i en matematiskt korrekt form uttrycka sådana idealiserade begrepp som densiteten av en materialpunkt , punktladdning, punktdipol , (rumslig) densitet för ett enkelt eller dubbelt lager , intensiteten av en momentan källa, etc.

Å andra sidan återspeglar konceptet med en generaliserad funktion det faktum att det verkligen är omöjligt att mäta värdet av en fysisk kvantitet vid en punkt, men endast dess medelvärden kan mätas i små grannskap av en given punkt. Tekniken med generaliserade funktioner fungerar således som en bekväm och adekvat apparat för att beskriva fördelningarna av olika fysiska storheter. Matematik i början av 1900-talet hade inte de nödvändiga strikta formalismerna för att arbeta med en ny klass av beroenden av kvantiteter som upptäckts i fysiken.

Ett viktigt bidrag till bildandet av ett nytt matematiskt förhållningssätt till begreppet funktion i fysiken tillhör Η. M. Günther , som föreslog att man skulle överväga motsvarande uppsättningsfunktioner istället för punktegenskaper av densitetstypen redan 1916 [1] och försökte ompröva konceptet att lösa en ekvation av matematisk fysik på denna grund. N.M. Günther kopplade inte ihop dessa idéer med den framväxande funktionsanalysen och kvantmekaniken. Grundläggande idéer baserade på användningen av rymden med finita funktioner och ett fundamentalt nytt koncept för en generaliserad derivata formulerades 1935 av S. L. Sobolev [2] . Tio år senare kom den enastående franske matematikern L. Schwartz till liknande idéer på egen hand , med utgångspunkt i teorin om lokalt konvexa utrymmen som utvecklats vid den tiden och konstruerade Fouriertransformeringen av generaliserade funktioner [3] . Sobolev och Schwartz är skaparna av teorin om fördelningar - generaliserade funktioner. Generaliserade funktioner användes empiriskt av Dirac i hans forskning om kvantmekanik [4] [5] .

Därefter utvecklades teorin om generaliserade funktioner intensivt av många matematiker och teoretiska fysiker, främst i samband med behoven av teoretisk och matematisk fysik och teorin om differentialekvationer [6] .

Definition

Formellt definieras en generaliserad funktion som en linjär kontinuerlig funktionell över ett eller annat vektorrum av tillräckligt "bra funktioner" (de så kallade basfunktionerna ): [7] . $f$ $\left(f,\varphi \right)$ $\varphi$ $f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi)$

Linjäritetsvillkor: . $\left(f,\alpha _{{1}}\varphi _{{1}}+\alpha _{{2}}\varphi _{{2}}\right)=\alpha _{{1}} \left(f,\varphi _{{1}}\right)+\alpha _{{2}}\left(f,\varphi _{{2}}\right)$

Kontinuitetsvillkor: om , då . $\varphi _{{\nu }}\högerpil 0$ $\left(f,\varphi _{{\nu }}\right)\högerpil 0$

Ett viktigt exempel på ett grundläggande utrymme är ett utrymme — en samling ändliga -funktioner på , utrustad med en topologi som är naturlig för det: en sekvens av funktioner från konvergerar om deras stöd tillhör en fast boll och de -konvergerar i den. $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$

Det dubbla utrymmet k är utrymmet för generaliserade funktioner . $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$

Konvergensen av en sekvens av generaliserade funktioner från definieras som den svaga konvergensen av funktionaler från , det vill säga till betyder att , för alla . $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{n}\till f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi)$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$

För att en linjär funktionell på ska vara en generaliserad funktion, d.v.s. det är nödvändigt och tillräckligt att det för varje gränsad öppen mängd finns siffror och sådana som $f$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $K$ $m$

|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{{C^{m}}}

för alla med en bärare i . $\varphi$ $\Omega$

Om talet i olikheten kan väljas oberoende av , så har den generaliserade funktionen en ändlig ordning; det minsta sådant kallas ordningen . $m$ $\Omega$ $f$ $m$ $f$

De enklaste exemplen på generaliserade funktioner är de funktioner som genereras av lokalt summerbara funktioner

(f,\;\varphi )=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n))}f\varphi .

Generaliserade funktioner definierade av lokalt summerbara funktioner enligt denna formel kallas reguljära ; resten av de generaliserade funktionerna kallas singular . $f(x)$

Generaliserade funktioner har generellt sett inga värden på enskilda punkter. Icke desto mindre kan vi prata om sammanträffandet av en generaliserad funktion med en lokalt summerbar funktion på en öppen mängd : en generaliserad funktion från sammanfaller med en lokalt summerbar funktion i en funktion om $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $\Omega$ $f_{0}(x)$

(f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )

för alla med en bärare i . I synnerhet, vid , får vi definitionen att den generaliserade funktionen försvinner inuti . $\varphi$ $\Omega$ $f_{0}=0$ $f$ $\Omega$

Uppsättningen av punkter i ingen omgivning som den generaliserade funktionen försvinner kallas stöd för den generaliserade funktionen och betecknas med . Om är kompakt kallas den generaliserade funktionen finit . $f$ $\operatörsnamn {supp} f$ $\operatörsnamn {supp} f$ $f$

Exempel

Varje lokalt ändligt mått definierar en generaliserad funktion $\mu$ $f_{\mu }$

(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).

Särskilt,

Ett exempel på en singular generaliserad funktion i är Dirac -funktionen $\mathbb {R} ^{n}$ $\delta$

(\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).

Den beskriver densiteten för massa 1 koncentrerad vid punkten . -funktionen har order 1.

x=0

\delta

Ytfunktion . Låt vara en bitvis slät yta och vara en kontinuerlig funktion på . Den generaliserade funktionen definieras av jämlikheten $\delta$ $S$ $\lambda$ $S$ $f_{{S,\;\lambda }}$

(f_{{S,\;\lambda }},\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .

Dessutom är det en singular generaliserad funktion. Denna generaliserade funktion beskriver den rumsliga densiteten av massor eller laddningar koncentrerade på en yta med ytdensitet (densitet av ett enkelt lager).

f_{{S,\;\lambda }}

S

\lambda

Generaliserad funktion definierad av jämlikhet $\rho \in D'(\mathbb{R} )$

(\rho ,\;\varphi )=\operatörsnamn {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x))\ ,dx

(för jämna finita funktioner kan denna integral ges en betydelse) funktionen är singular och dess ordning är lika med 2, men på en öppen mängd är den regelbunden och sammanfaller med .

\rho

\mathbb{R} \backslash \{0\}

{\frac {1}{x}}

Operationer

Linjära operationer på generaliserade funktioner introduceras som en förlängning av motsvarande operationer på grundläggande funktioner.

Ändring av variabler

Låt och vara en smidig förändring av variabler. Den generaliserade funktionen definieras av jämlikheten $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $A:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}$ $f\cirkel A$

(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{{-1}}J(A)),

där betecknar Jacobian . Denna formel kan särskilt tillämpas på en linjär mappning , den låter dig definiera translationellt invarianta, sfäriskt symmetriska, centralt symmetriska, homogena, periodiska, Lorentz-invarianta, etc. generaliserade funktioner. $J(A)$ $A$ $A$

Konstverk

Oftast bestäms produkten av generaliserade funktioner och vanliga funktioner, medan produkten av generaliserade funktioner förblir odefinierad.

Låt och . Produkten definieras av jämlikheten $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$ $af$

(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).

Till exempel . För vanliga lokalt summerbara funktioner sammanfaller produkten med den vanliga multiplikationen av funktioner och . $a\delta =a(0)\delta$ $x\rho=1$ $af$ $f(x)$ $yxa)$

Emellertid tillåter denna produktoperation generellt sett inte utvidgning till några generaliserade funktioner så att den är associativ och kommutativ .

Ja, annars skulle vi få en motsägelse:

(x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,

(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .

Det är dock möjligt att definiera multiplikationen av alla generaliserade funktioner, om vi tar bort det ganska stränga kravet att begränsningen av denna operation till uppsättningen av kontinuerliga funktioner sammanfaller med den vanliga produkten. I synnerhet konstruerade Yu. M. Shirokov en icke-kommutativ algebra av generaliserade funktioner [8] [9] . Idag, i Västeuropa och Amerika, är teorin om generaliserade Colombo-funktioner väldigt populär (se t.ex. listan över citerade verk i [10] ) (en av de primära källorna är boken [11] , för initiala bekantskap med den i praktiken mycket oftare använda så kallade "speciella" Colombo-algebra, se avsnitt 8.5 i [12] ). Inom ramen för denna teori är generaliserade funktioner ekvivalensklasser av någon kvotalgebra. Fördelen med Colombo-algebra är att den är både associativ och kommutativ. Multiplikationen av generaliserade Colombo-funktioner sammanfaller med den vanliga multiplikationen när den är begränsad till mängden av alla jämna (det vill säga oändligt kontinuerligt differentierbara) funktioner, medan inkonsekvensen med multiplikationen av kontinuerliga (men inte jämna) funktioner löses genom att introducera begreppet association (mindre rigorös än begreppet likvärdighet). Dessutom överensstämmer den betraktade multiplikationen perfekt med standardoperationerna för klassisk analys (t.ex. differentiering).

Differentiering

Låt . Den generaliserade (svaga) derivatan av en generaliserad funktion definieras av likheten $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ ${\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$ $f$

\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i))},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_ {i}}}\höger).

Eftersom operationen är linjär och kontinuerlig från till , är den funktionella som definieras av den högra sidan av jämlikheten en generaliserad funktion. $\varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i))}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$

Egenskaper

Utrymmet är komplett : om sekvensen av generaliserade funktioner från är sådan att den numeriska sekvensen konvergerar för vilken funktion som helst, då $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{i}$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{i},\;\varphi )$

(f,\;\varphi )=\lim _{{i\to \infty }}(f_{i},\;\varphi )

tillhör .

D'(\mathbb{R} ^{n})

Var och en av är en svag gräns för funktioner från . Denna egenskap tas ibland som utgångspunkt för definitionen av en generaliserad funktion, från fullständigheten av utrymmet av generaliserade funktioner leder detta till en likvärdig definition. $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$
Varje generaliserad funktion från är oändligt differentierbar (i generaliserad mening). $D'(\mathbb{R} ^{n})$
Differentiering ökar inte stödet för den generaliserade funktionen.
För generaliserade funktioner är Leibniz-formeln för att differentiera produkten giltig , där . $af$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$
Vilken generaliserad funktion som helst från eller är någon partiell derivata av en kontinuerlig funktion i . $f$ $S'(\mathbb{R} ^{n})$ $E'(\mathbb{R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$
För alla generaliserade ordningsfunktioner med stöd vid punkt 0, finns det en unik representation i form av en linjär kombination av partiella derivator vid noll, med en ordning mindre än eller lika med . $f$ $N$ $(f,\;\varphi )$ $\varphi$ $N$

Exempel

Deltafunktionen erhålls genom att beräkna Fourierintegralen av en konstant:

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{ipx}}\,dp=2\pi \delta (x).

Anteckningar

↑ Sobolev S.L., Smirnov V.I. Nikolai Maksimovich Gunther. Bibliografisk uppsats. - M .: GITTL , 1953. - S. 393-405 .
↑ Sobolev S.L. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Matematisk samling, nr 1 (43)b 1936b 39-72
↑ Schwartz L. Theorie des distributions // I, II, Paris, 1950-1951
↑ Lutzen J. The Prehistory of the Theory of Distribution. - New York etc: Springer Verlag , 1982. - 232 sid.
↑ Dirac, P. A. M. Kvantmekanikens principer. - M .: Nauka, 1979. - S. 480.
↑ I.M. Gelfand, G.E. Shilov. Generaliserade funktioner och åtgärder på dem (neopr.) .
↑ Shilov, G. E. Matematisk analys. Andra specialkursen. — M.: Nauka, 1965. — S. 16.
↑ Yu. M. Shirokov, Algebra av endimensionella generaliserade funktioner. — Teoretisk och matematisk fysik . - 1979. - Volym 39. - Nr 3. - s. 291-301.
↑ G. K. Tolokonnikov, Yu. M. Shirokov, Associativ algebra av generaliserade funktioner, stängd under differentiering och antiderivat. — Teoretisk och matematisk fysik . - 1981. - Volym 46. - Nr 3. - s. 305-309., G. K. Tolokonnikov. Om algebras Yu. M. Shirokov. I - Teoretisk och matematisk fysik . - 1982. - Volym 51. - Nr 3. - s. 366-375.
↑ Colombeau JF Icke-linjära generaliserade funktioner: deras ursprung, vissa utvecklingar och senaste framsteg. Sao Paulo Journal of Mathematical Sciences. −2013. - V. 7. - Nej. 2. - S. 201-239.
↑ Colombeau JF Elementär introduktion till nya generaliserade funktioner. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Colombeau JF Multiplikation av distributioner. Föreläsningsanteckningar i matematik. 1532. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. - 195 sid. — ISBN 3-540-56288-5 .

Se även

Strängkontrovers