Punktordning i förhållande till kurvan

I matematik är indexet för en punkt , eller ordningen för en punkt i förhållande till en stängd kurva i ett plan , ett heltal som representerar antalet fullständiga varv som kurvan gör runt en given punkt moturs [1] . Ibland talar man om ordningen på en kurva med avseende på en punkt. Indexet beror på kurvans orientering och får ett negativt värde om kurvan korsas medurs.

Punktindex med avseende på kurvor är grundläggande studieobjekt i algebraisk topologi och spelar också en viktig roll i vektoranalys , komplex analys , geometrisk topologi differentialgeometri och fysik , inklusive strängteori .

Intuitiv beskrivning

Låt en sluten orienterad kurva ges i xy- planet . Vi kan tänka på en kurva som ett objekts väg, och kurvans orientering indikerar i vilken riktning objektet rör sig. Då är punktens index i förhållande till kurvan lika med antalet fullständiga varv moturs som objektet gör i förhållande till observationspunkten.

Vid beräkning av antalet varv räknas rörelse moturs som positiv, medan rörelse medurs räknas som negativ. Till exempel, om ett objekt cirklar runt synpunkten fyra gånger moturs och sedan en gång medurs, blir det totala indexet tre.

I detta schema har en kurva som inte går runt observationspunkten alls ett index på 0, medan en kurva som korsas medurs ger ett negativt värde. Således kan punktindex vara vilket heltal som helst . Följande figur visar kurvor med index mellan −2 och 3:

$\cdots$
	−2	−1	0
				$\cdots$
	ett	2	3

Formell definition

En kurva på xy- planet kan ges av parametriska ekvationer :

x = x(t)\quad\text{och}\quad y=y(t)\qquad\text{för }0 \leq t \leq 1.

Om vi förstår parametern t som tid, bestämmer dessa ekvationer ett objekts rörelse på ett plan mellan t = 0 och t = 1. Banan för denna rörelse är en kurva om funktionerna x ( t ) och y ( t ) är kontinuerligt . Denna kurva är stängd om objektets position är densamma vid tidpunkterna t = 0 och t = 1.

Vi kan bestämma indexet för en punkt med avseende på en sådan kurva med hjälp av det polära koordinatsystemet . Om vi antar att kurvan inte passerar genom observationspunkten kan vi skriva om de parametriska ekvationerna:

r = r(t)

och för

\theta = \theta(t)

0 \leq t \leq 1.

Funktionerna r ( t ) och θ ( t ) måste vara kontinuerliga med r > 0. Eftersom start- och slutpunkterna är desamma måste θ (0) och θ (1) skilja sig åt med en multipel av 2π . Detta värde är punktindex:

punktindex

= \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}.

Denna definition ger indexet för ursprunget för xy- planet . Genom att transformera koordinatsystemet kan denna definition utökas till vilken observationspunkt som helst.

Andra definitioner

Poängindexet definieras ofta på olika sätt inom olika områden av matematiken. Alla definitioner nedan är likvärdiga med ovanstående:

Differentialgeometri

I differentialgeometri antas parametriska ekvationer vanligtvis vara differentierbara (släta) (eller åtminstone bitvis differentierbara). I detta fall är den polära koordinaten θ relaterad till de kartesiska koordinaterna x och y genom ekvationen:

d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)

var

r^2 = x^2 + y^2.

Enligt Newton-Leibniz-satsen är den totala förändringen θ lika med integralen dθ . Således uttrycks indexet för en punkt med avseende på en jämn kurva i termer av en kurvlinjär integral :

punktindex

= \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2} \,dx.

Komplex analys

I komplex analys kan indexet för en punkt med avseende på en sluten kurva C i det komplexa planet uttryckas i termer av de komplexa koordinaterna z = x + iy . I synnerhet om vi skriver z = re iθ , då

dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta

och därför

\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.

Integralbidraget ln( r ) är noll, så integralen dz ⁄ z är lika med i gånger den totala förändringen θ . På det här sättet,

punktindex

= \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.

Generaliserat, indexet för ett komplext tal a ges av formeln [2]

\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}.

Detta är ett specialfall av den berömda Cauchy-integralformeln . Punktindex spelar en mycket viktig roll i komplex analys (se uttalandet av huvudrestsatsen ).

Topologi

Inom topologi är en punkts index ett alternativt begrepp för graden av avbildning [3] [4] [5] . Inom fysiken kallas punktindex ofta för topologiska laddningar . I båda fallen används samma koncept.

Ovanstående exempel på en kurva som vrider sig runt en punkt har en enkel topologisk tolkning. Komplementet av en punkt i planet är homotopimotsvarigheten till en cirkel , så kartläggning av cirkeln i sig själv är allt som behöver beaktas. Det kan visas att varje sådan mappning kontinuerligt kan deformeras till en av standardmappningarna , där produkten på en cirkel definieras genom att identifiera cirkeln med den enhetliga komplexa cirkeln. Uppsättningen av homotopiklasser för att kartlägga en cirkel till ett topologiskt utrymme bildar en grupp som kallas den första homotopigruppen eller rymdens fundamentala grupp . Cirkelns fundamentala grupp är gruppen av heltal Z [6] . Indexet för en punkt med avseende på en komplex kurva är helt enkelt en homotopiklass. $S^1 \to S^1 : s \mapsto s^n$

Kartläggningen av en tredimensionell sfär i sig själv klassificeras också av ett heltal, som kallas punktindex eller, ibland, Pontryagin-talet .

Polygoner

I polygoner uttrycks indexet för en punkt som tätheten av polygonen . För konvexa polygoner, såväl som för enkla polygoner (självdisjunkta), är tätheten 1 enligt Jordans sats . Medan en vanlig stjärnpolygon { p / q } har densitet q .

Rotationsnummer

Du kan överväga antalet varv för tangenten till banan.

Antalet varv bestäms endast för jämna (differentieringsbara) kurvor som har en tangent vid vilken punkt som helst.

Detta tal kallas rotationstalet och kan beräknas som rotationsvinkeln dividerat med 2 π .

Punktindex i förhållande till kurvan och Heisenbergs ekvation för ferromagnetism

Punktindexet är nära relaterat till de (2 + 1)-dimensionella kontinuerliga ekvationerna av Heisenbergs ferromagnetism och deras integrerbara förlängningar — Ishimori-ekvation och andra. Lösningar av dessa ekvationer klassificeras efter punktindex eller topologisk laddning ( topologisk invariant ).

Se även

Anteckningar

↑ Evgrafov M. A. Kapitel 1. Inledning // Analytiska funktioner. - 3:a. - Moskva: Vetenskap. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1991. - S. 40. - ISBN 5-02-014200-X .
↑ Dieudonné, 1964 , avsnitt 9.8.2, sid. 254-255.
↑ Seyferd G., Trefall W. § 78. Kartläggningsgrad // Topologi. - Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics". - S. 361-362. — ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Dold A. Kapitel 4 § 4. Grad av kartläggning // Föreläsningar om algebraisk topologi. - M .: Mir, 1976. - S. 81. - ISBN 5-93972-068-4 .
↑ Viro, 2010 , 36'4x, sid. 271.
↑ Viro, 2010 , 35.F, sid. 265.

Litteratur

Dieudonne J. Fundamentals of modern analysis. — M .: Mir, 1964.
O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elementär topologi. - MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .
Goryainov VV § 3. Index. Kedjor och cykler // Kurs med föreläsningar om funktionsteori för en komplex variabel. - Volgograd: Volgograd State University Publishing House, 1998. - S. 61-62.

Länkar

Slingrande nummer Arkiverad 27 maj 2019 på Wayback Machine på PlanetMath-webbplatsen .