Projektiv representation

Den projektiva representationen av en grupp på ett vektorrum över ett fält är en homomorfism till en projektiv grupp $G$ $V$ $F$ $G$

\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},

där är den fullständiga linjära gruppen , och är den normala undergruppen av , som består av skalära faktorer för identitetsoperatorn. [1] Med andra ord, det är en uppsättning operatörer så att $\mathrm {GL} (V)$ $F^{*}$ $\rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G$

\rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)

för någon konstant . $c(g,h)\in F$

Vissa projektiva representationer kan erhållas från representationer med hjälp av en kvotmappning . Av särskilt intresse för algebra är situationen där en given projektiv representation kan "lyftas" till den vanliga linjära representationen , i det allmänna fallet beskrivs hindren för detta av gruppkohomologier . $\mathrm {GL} (V)$ $\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$ $\mathrm {GL} (V);$

Det viktigaste fallet är projektiva representationer av Lie-grupper , vars studie leder till övervägande av representationer av deras centrala förlängningar . I många intressanta fall räcker det att studera representationerna av de täckande grupperna som de projektiva representationerna av den täckta gruppen motsvarar:

Den speciella ortogonala gruppen täcks två gånger av spinorgruppen . $\mathrm {SO} (n,F)$ $\mathrm {Spin} (n,F)$
I synnerhet omfattas gruppen av rotationer av tredimensionellt utrymme av , studiet av representationerna av vilka, följaktligen, är av största vikt för den icke-relativistiska teorin om spin . ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$
På samma sätt börjar den relativistiska teorin om spinn med att överväga representationer av Lorentz-gruppens universella täckning . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathrm {SO} ^{+}(3,1)$
Den universella täckningen av Poincaré-gruppen är den halvdirekta produkten , vars representationer ger oss Wigner-klassificeringen av partiklar och fält i fysiken. $\mathbb {R} ^{3,1}\r gånger \operatörsnamn {SL} (2,\mathbb {C} )$

Bargmans teorem säger att om den tvådimensionella kohomologin av Lie-algebra är trivial, så kan varje projektiv enhetsrepresentation lyftas till den vanliga enhetsrepresentationen . [2] [3] Villkoren för satsen är uppfyllda, i synnerhet för semisimpla Lie-grupper och Poincaré-gruppen . $H^{2}({\mathfrak {g});\mathbb {R} )$ $\mathfrak g$ $G$ $G$

Se även

Anteckningar

↑ Gannon, 2006 , s. 176–179.
↑ Bargmann, 1954
↑ Simms, 1971

Litteratur

Bargmann, Valentine (1954), Om enhetliga strålrepresentationer av kontinuerliga grupper , Annals of Mathematics vol 59 (1): 1–46 , DOI 10.2307/1969831
Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666
Schur, I. (1911), Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen , Crelle's Journal vol. 139: 155–250 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en /dms/load/img/?IDDOC=261150 >
Simms, DJ (1971), Ett kort bevis på Bargmanns kriterium för att lyfta projektiva representationer av Lie-grupper , Reports on Mathematical Physics vol. 2 (4): 283–287 , DOI 10.1016/0034-4877(71)90011-5