Schur nedbrytning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 maj 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Schur- nedbrytning - nedbrytning av en matris till enhetliga , övre triangulära och inversa enhetsmatriser, uppkallad efter Isai Schur .

Uttalande

Om är en kvadratisk matris av ordning med komplexa element, så kan den representeras som [1] [2] : $A$ $n$

A=QUQ^{-1}

var är en enhetlig matris (så dess invers är en hermitisk konjugatmatris ), och är en övre triangulär matris , som kallas Schur-formen av matrisen . Eftersom den liknar en matris har den samma multiuppsättning av egenvärden , och eftersom den är triangulär är dessa egenvärden desamma som de diagonala elementen i matrisen . $F$ $Q^{-1}$ $Q^{*}$ $F$ $U$ $A$ $U$ $A$ $U$

Det följer av Schur-sönderdelningen att det finns en inbäddad sekvens av -invarianta delrum och en ordnad ortogonal bas så att en linjär kombination av de första basvektorerna ger för alla i sekvensen. Med andra ord säger den första delen att en linjär mappning på ett komplext ändligt dimensionellt vektorutrymme stabiliserar hela flaggan . $A$ ${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}=\mathbb {C} ^{n))$ $i$ $V_i$ $i$ $J$ $V_{1},\dots V_{n}$

Bevis

Ett konstruktivt bevis på Schur-nedbrytningen är följande: vilken operator som helst på ett komplext änddimensionellt vektorrum har ett egenvärde som motsvarar egenutrymmet . Låt vara ett ortonormalt komplement. Med en sådan ortogonal sönderdelning har den en matrisrepresentation (du kan välja vilka ortonormala baser som helst och för utrymmena som spänns av dem respektive ): $A$ $\lambda$ $V_{\lambda }$ ${\displaystyle V_{\lambda }^{\perp ))$ $A$ $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb{Z } _{2}$ $V_{\lambda }$ ${\displaystyle V_{\lambda }^{\perp ))$

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{ \lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda}^{\perp }\end{matrix}}

var är identitetsoperatören på . Den resulterande matrisen är triangulär förutom blocket . Men exakt samma procedur kan utföras för submatrisen , som betraktas som en operator på och dess submatriser. Genom att fortsätta proceduren en gång kommer utrymmet att vara uttömt och konstruktionen ger önskat resultat. ${\displaystyle I_{\lambda ))$ $V_{\lambda }$ $A_{2\,2}$ $A_{2\,2}$ ${\displaystyle V_{\lambda }^{\perp ))$ $n$ $\mathbb {C} ^{n}$

Funktioner

Även om vilken kvadratisk matris som helst har en Schur-nedbrytning, är en sådan nedbrytning i allmänhet inte unik. Till exempel kan ett egenrum ha en dimension större än 1, i vilket fall vilken ortonormal grund som helst kommer att ge det önskade resultatet. $V_{\lambda }$ $V_{\lambda }$

En triangulär matris kan representeras som summan av en diagonal matris och en strikt övre triangulär : . En strikt övre triangulär matris är nilpotent . Den diagonala matrisen innehåller matrisens egenvärden i slumpmässig ordning. Den nilpotenta delen är i allmänhet inte heller unik, men dess Frobenius-norm bestäms unikt av matrisen , eftersom Frobenius-normen för matrisen är lika med Frobenius-normen för matrisen . $U$ $D$ $N$ $U=D+N$ $D$ $A$ $N$ $A$ $A$ $U=D+N$

Om är normalt , då är dess Schur-form diagonal , och kolumnerna i sönderdelningsmatrisen kommer att vara egenvektorer till matrisen . Schur-nedbrytningen generaliserar alltså den spektrala nedbrytningen . I synnerhet, om är positivt definitivt , är dess Schur-nedbrytning, dess spektralupplösning och dess singularvärdesuppdelning desamma. $A$ $U$ $F$ $QUQ^{-1}$ $A$ $A$

En kommutativ familj av matriser kan reduceras till en triangulär form samtidigt, det vill säga att det finns en enhetlig matris så att för vilken som helst av den givna familjen är den övre triangulär. Det sista påståendet bevisas genom induktion. Som en konsekvens kan vilken kommutativ familj av normala matriser som helst reduceras till en diagonal form [3] . $\{A_{i}\}$ $F$ $A_{i}$ $QA_{i}Q^{*}$

I det oändliga dimensionella fallet har inte varje gränsad operator i ett Banach-utrymme ett invariant delrum . Triangularisering av en godtycklig kvadratisk matris generaliserar dock till kompakta operatörer . Varje kompakt operatör i ett Banach-utrymme har ett bo av slutna invarianta delrum.

Beräkning

Schur-nedbrytning av en given matris utförs av QR-algoritmen eller dess varianter. Med användning av sådana algoritmer för Schur-nedbrytningen, finns det inget behov av att förberäkna rötterna för det karakteristiska polynomet som motsvarar matrisen. Omvänt kan QR-algoritmen användas för att beräkna rötterna till ett givet karakteristiskt polynom genom att hitta Schur-nedbrytningen av dess medföljande matris . På samma sätt används QR-algoritmen för att beräkna egenvärdena för en given matris som är de diagonala elementen i den övre triangulära Schur-nedbrytningsmatrisen. Alla nödvändiga algoritmer implementeras, särskilt i Lapack- biblioteket [4] .

Applikationer

Några viktiga resultat av Lie-teorin följer av Schur-nedbrytningen i synnerhet:

alla inverterbara operatorer ingår i en Borel-undergrupp ,
vilken operatör som helst fixar en punkt på grenrörsflaggan .

Generaliserad Schur-nedbrytning

Den generaliserade Schur nedbrytning av två kvadratiska matriser och är ett konsekvent par av uppdelningar av både matriser och , där och är enhetliga och och är triangulära . Den generaliserade Schur-nedbrytningen kallas ibland också för QZ-nedbrytning . $A$ $B$ $A=QSZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ $F$ $Z$ $S$ $T$

De generaliserade egenvärdena som löser problemet med generaliserade värden (där är en okänd vektor som inte är noll) kan beräknas som förhållandet mellan de diagonala elementen och motsvarande element i . Det vill säga att det -e generaliserade egenvärdet uppfyller likheten . $\lambda$ $Ax=\lambda Bx$ $x$ $S$ $T$ $i$ $\lambda _{i}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii))$

Anteckningar

↑ R. A. Horn, C. R. Johnson. matrisanalys. - Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-38632-2 . )
↑ G.H. Golub, C.F. Van Loan. Matrisberäkningar. — 3:a. - Johns Hopkins University Press, 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
↑ Schur-nedbrytning (engelska) // Wikipedia. — 2020-03-17.
↑ E. Anderson. LAPACK Användarhandbok. — Tredje. - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. - ISBN 0-89871-447-8 .

Litteratur

V.V. Prasolov. Problem och satser för linjär algebra. - 2:a. — Moskva, 2008. — S. 226-227 (3.7.1. Schur-nedbrytning), 498 (9.3.5. Schur-nedbrytning).