Symmetrisk grupp

Symmetrisk grupp - gruppen av alla permutationer i en given uppsättning ( det vill säga bijektioner ) med avseende på kompositionsoperationen . $X$ $X\ till X$

Den symmetriska gruppen av en uppsättning betecknas vanligtvis . Om , då betecknas också med . Eftersom för uppsättningar med lika stor styrka ( ) är deras permutationsgrupper ( ) också isomorfa , för en grupp med ändlig ordning identifieras dess permutationsgrupp med . $X$ $S(X)$ $X=\{1,2,...,n\}$ $S(X)$ $S_{n}$ $|X|=|Y|$ $S(X)\cong S(Y)$ $n$ $S_{n}$

Det neutrala elementet i den symmetriska gruppen är identitetspermutationen . $\mathrm {id} (x)=x$

Permutationsgrupper

Även om gruppen av permutationer (eller permutationer) vanligtvis hänvisar till själva den symmetriska gruppen, kallas ibland, särskilt i den engelskspråkiga litteraturen, undergrupper av den symmetriska gruppen [1] permutationsgrupper av en uppsättning . I det här fallet kallas graden av gruppen kardinalitet . $X$ $S(X)$ $X$

Varje finit grupp är isomorf till någon undergrupp av gruppen ( Cayleys sats ). $G$ $S(G)$

Egenskaper

Antalet element i den symmetriska gruppen för en ändlig mängd är lika med antalet permutationer av elementen, det vill säga maktfaktorialen : . För är den symmetriska gruppen icke- kommutativ. $|S_{n}|=n!$ $n\geqslant 3$ $S_{n}$

Den symmetriska gruppen godkänner följande uppdrag : $S_{n}$

\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ |ij| >1\rangle

Vi kan anta att det permuterar och . Den maximala ordningen för gruppelement är Landau-funktionen . $\sigma_i$ $i$ $i+1$ $S_{n}$

Grupperna är lösbara , medan den symmetriska gruppen är olöslig . ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $n\geqslant 5$ $S_{n}$

En symmetrisk grupp är perfekt (det vill säga att konjugationsmappningen är en isomorfism) om och bara om dess ordning skiljer sig från 2 och 6 ( Hölders teorem ). I fallet har gruppen ytterligare en yttre automorfism . I kraft av denna och den tidigare egenskapen för , är alla automorfismer interna, det vill säga varje automorfism har formen för några . $n=6$ $S_6$ $n\geqslant 3,n\neq 6$ $S_{n}$ $\alfa(x)$ $g^{-1}xg$ $g\in S_n$

Antalet klasser av konjugerade element i den symmetriska gruppen är lika med antalet partitioner av numret [2] . Uppsättningen av transponeringar är en genererande uppsättning . Å andra sidan genereras alla dessa transpositioner av bara två permutationer , så det minsta antalet generatorer i en symmetrisk grupp är två. $S_{n}$ $n$ $(12),(23),...,(n-1 \ n)$ $S_{n}$ $(12),(12...n)$

Mitten av den symmetriska gruppen är trivialt för . Kommutatorn är den alternerande gruppen ; dessutom är at den enda icke-triviala normala undergruppen och har ytterligare en normal undergrupp - Klein-fyrgruppen . $n\geqslant 3$ $S_{n}$ $En}$ $n\neq 4$ $En}$ $S_{n}$ $S_4$

Visningar

Vilken undergrupp som helst av permutationsgruppen kan representeras av en grupp matriser från , och varje permutation motsvarar en permutationsmatris (en matris där alla element i cellerna är lika med 1, och de andra elementen är lika med noll); till exempel representeras en permutation av följande matris : $G$ $S_{n}$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $\pi:i\to\pi (i)$ $(i,\pi(i))$ $(231)$ $3 gånger 3$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

En undergrupp av en sådan grupp, sammansatt av matriser med determinant lika med 1, är isomorf till den alternerande gruppen . $En}$

Det finns andra representationer av symmetriska grupper, till exempel är symmetrigruppen (som består av rotationer och reflektioner) av dodekaedern isomorf , medan rotationsgruppen i kuben är isomorf . $S_5$ $S_4$

Anteckningar

↑ Aigner M. Kombinatorisk teori. M.: Mir, 1982. - 561 sid.
↑ OEIS - sekvens A000041 _

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. - M. : Factorial-Press, 2001.
Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Grunderna i gruppteori. - M . : Nauka, Fizmatlit, 1982.
Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Del III. Grundläggande strukturer. - M. Publishing House = Fizmatlit, 2004.
Kurosh A.G. Gruppteori . - M . : Nauka, Fizmatlit, 1967.
Postnikov M. M. Galois teori. — M .: Fizmatlit, 1963.