Sfärisk sinussats

Den sfäriska sinussatsen fastställer proportionaliteten mellan sinusen på sidorna a , b , c och sinusen för vinklarna A , B , C mittemot dessa sidor av en sfärisk triangel :

Den sfäriska sinussatsen är en analog till plansinussatsen och övergår i den senare i gränsen för litenhet för trianglarnas sidor jämfört med sfärens radie.

Bevis genom projektioner [1] . Figuren visar en sfärisk triangel ABC på en sfär med radien R centrerad på O. BP  är vinkelrät mot storcirkelns plan som går genom sidan b , BM  är vinkelrät mot OC , BN  är vinkelrät mot OA . Med motsatsen till tre vinkelräta satsen är PM  vinkelrät till OC , PN  är vinkelrät till OA . Observera att vinkeln PMB är lika med π - C, dessutom är BN = R sin c och BM = R sin a. När vi sedan projicerar BN och BM på BP får vi:

På samma sätt får vi den andra jämställdheten.

Ett bevis baserat på de redan bevisade sambanden mellan sidorna och vinklarna i en sfärisk rätvinklig triangel. Låt oss släppa den vinkelräta CD = h från spetsen C till sidan c eller dess förlängning. Vi uttrycker h på två sätt från de resulterande rätvinkliga trianglarna ACD och BCD :

Härifrån får vi andelen

till vilket vi på liknande sätt lägger till förhållandet mellan det tredje sidovinkelparet.

Historik

Sinussatsen för sfäriska trianglar formulerades och bevisades i skrifter av ett antal matematiker från den medeltida öst som levde på 1000-talet e.Kr. e. - Abu-l-Vafa , al-Khojandi och Ibn Irak . Denna sats gjorde det möjligt att förenkla lösningarna av ett antal problem inom sfärisk astronomi, som tidigare hade lösts med hjälp av Menelaos sats för en komplett fyrhörning .

Se även

• Lösa trianglar
• Sinussats
• Sfäriska cosinussatser

Anteckningar

1. ↑ Citerad enligt publikationen: Stepanov N.N. Sinusformler // Sfärisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  29 -32. — 154 sid.

Litteratur

• Matvievskaya G.P. Essäer om trigonometrins historia. Tasjkent: Fan, 1990.