Fermats sats om polygonala tal

Fermats polygontalsats säger att vilket naturligt tal som helst kan representeras som summan av högst -gonala tal . $n$ $n$

Exempel

Exempel på att dela naturliga tal från 1 till 30 i enlighet med Fermats sats [1] :

siffra	Summan av högst tre triangulära tal	Summan av högst fyra kvadrattal	Summan av högst fem femkantiga tal
ett	ett	$ett$	ett
2	1+1	1+1	1+1
3	3	1+1+1	1+1+1
fyra	3+1	$2^{2}$	1+1+1+1
5	3+1+1	$2^{2}+1$	5
6	6	$2^{2}+1+1$	5+1
7	6+1	$2^{2}+1+1+1$	5+1+1
åtta	6+1+1	$2^{2}+2^{2}$	5+1+1+1
9	6+3	$3^{2}$	5+1+1+1+1
tio	tio	$3^{2}+1$	5+5
elva	10+1	$3^{2}+1+1$	5+5+1
12	6+6	$2^{2}+2^{2}+2^{2}$	12
13	10+3	$3^{2}+2^{2}$	12+1
fjorton	10+3+1	$3^{2}+2^{2}+1$	12+1+1
femton	femton	$3^{2}+2^{2}+1+1$	5+5+5
16	15+1	$4^{2}$	5+5+5+1
17	10+6+1	$4^{2}+1$	12+5
arton	15+3	$3^{2}+3^{2}$	12+5+1
19	10+6+3	$3^{2}+3^{2}+1$	12+5+1+1
tjugo	10+10	$4^{2}+2^{2}$	5+5+5+5
21	21	$4^{2}+2^{2}+1$	5+5+5+5+1
22	21+1	$3^{2}+3^{2}+2^{2}$	22
23	10+10+3	$3^{2}+3^{2}+2^{2}+1$	22+1
24	21+3	$4^{2}+2^{2}+2^{2}$	12+12
25	15+10	$5^{2}$	12+12+1
26	15+10+1	$5^{2}+1$	12+12+1+1
27	21+6	$5^{2}+1+1$	22+5
28	28	$5^{2}+1+1+1$	22+5+1
29	28+1	$5^{2}+2^{2}$	12+12+5
trettio	15+15	$5^{2}+2^{2}+1$	12+12+5+1

Historik

Satsen är uppkallad efter Pierre Fermat , som lade fram detta uttalande 1638 utan bevis, men lovade att presentera det i ett separat dokument, som aldrig dök upp [2] . År 1770 Lagrange bevisade denna sats för kvadrattal [2] . Gauss bevisade teoremet för triangulära tal 1796. Den unge Gauss åtföljde sitt fynd med en dagboksanteckning: " Eureka !" [3] och publicerade beviset i boken Arithmetic Investigations . Detta resultat av Gauss är känt som "Eureka-satsen" [4] Cauchy bevisade satsen fullständigt 1813. [2] Följande bevis är baserade på lemman som bevisats av Cauchy [5] .

Specialfall

De mest intressanta är de kvadratiska och triangulära fallen. Lagranges summasats för fyra kvadrater , tillsammans med Legendres tre kvadratsats, löser Warings problem för . Och när det gäller triangulära tal, kan du minska det nödvändiga antalet termer genom att ersätta kvadraten med ett kvadratiskt polynom. $m=n^{2}$ $m={\frac {n(n+1)}{2))$ $n=2$

Anteckningar

↑ Violant-y-Holtz, Albert. Gårdsmysterium. En trehundraårig utmaning för matematik. - M. : De Agostini, 2014. - S. 146. - 160 sid. — (Matematikens värld: i 45 band, band 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3 .
↑ 1 2 3 Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus av Alexandria; a history of Greek algebra , Cambridge University Press, sid. 188 , < https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala > .
↑ Bell, Eric Temple (1956), Gauss, the Prince of Mathematicians, i Newman, James R., The World of Mathematics , vol. I, Simon & Schuster , sid. 295–339 . Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8 .
↑ Ono, Ken; Robins, Sinai & Wahl, Patrick T. (1995), Om representationen av heltal som summor av triangulära tal , Aequationes Mathematicae T. 50 (1–2): 73–94 , DOI 10.1007/BF01831114 .
↑ Nathanson, Melvyn B. (1987), A short proof of Cauchys polygonal number theorem , Proceedings of the American Mathematical Society vol 99 (1): 22–24 , DOI 10.2307/2046263

Länkar

Weisstein, Eric W. Fermats Polygonal Number Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases , Berlin: Springer , ISBN 978-0-387-94656-6 . Innehåller beviset för Lagranges sats och polygontalsatsen.