Koopman-von Neumanns teori

Koopman-von Neumann- teorin (KvN-teorin) i matematisk fysik är den ursprungliga omformuleringen av klassisk statistisk mekanik , skapad av de amerikanska matematikerna John von Neumann och Bernard Koopman . Koopman-von Neumann-mekanikens formalism är så nära som möjligt den icke-relativistiska kvantmekanikens formalism : tillståndet för ett dynamiskt system i det beskrivs med den klassiska vågfunktionen, som är en analog till den kvantmekaniska vågfunktionen , den klassiska Liouville-ekvationen får den matematiska strukturen i Schrödinger-ekvationen osv.

Ideologiskt är KvN-teorin diametralt motsatt Wigner-representationen , där en liknande idé om att förena den matematiska apparaten inom klassisk statistisk och kvantfysik uppnås, tvärtom genom att omvandla vågfunktionen som förekommer i Schrödinger-ekvationen till en Wigner - funktion definierad i det klassiska fasrummet . Det är betydelsefullt att båda dessa teorier skapades nästan samtidigt - 1931-1932 .

Skapande historia

Ursprunget till KvN-teorin är nära sammanflätade med historien om framväxten av ergodteorin som en självständig gren av matematiken. I början av 1931 förblev avsaknaden av en acceptabel matematisk motivering för den ergodiska hypotesen , formulerad av L. Boltzmann redan 1887, ett allvarligt problem inom teoretisk fysik . Särskilt detta gjorde det svårt att konsekvent härleda gastermodynamikens lagar, med utgångspunkt i den mikroskopiska bilden av rörelsen hos en stor ensemble av molekyler, som sker i enlighet med den newtonska mekanikens lagar [1] .

Arbetet från 1930 av den amerikanske matematikern Marshall Stone om spektralteorin om enparametergrupper av enhetliga operatorer [2] kan betraktas som en direkt förutsättning för att lösa problemet . Redan året därpå publicerades nyckelverket av Koopman [3] , som lade märke till att fasrummet i ett klassiskt system som utvecklas i enlighet med den klassiska mekanikens standardlagar kan omvandlas till ett Hilbertrum genom att postulera en naturlig regel om integration över fasrumspunkter som definitionen av en skalär fungerar [4] . Det är anmärkningsvärt att utvecklingen av fysiska variabler i detta fall börjar beskrivas av enhetliga operatorer, som bildar en enparametergrupp, för vilken Stones resultat är giltiga.

En sådan operatörsrepresentation av klassisk mekanik var en helt ny idé på den tiden; det fick von Neumann, en av grundarna av kvantmekaniken och en ledande expert inom operatorteori, att försöka tillämpa det operatorteoretiska förhållningssättet för att lösa det ergodiska problemet. Baserat på resultaten av Koopman och A. Weil fullbordade han skapandet av den klassiska mekanikens operatörsformalism, nu känd som Koopman-von Neumann-teorin, och redan 1932 publicerade han en serie artiklar som blev grundläggande för modern ergodisk teori (i dessa tidningar fanns det, i synnerhet, , den berömda statistiska ergodiska satsen bevisades ) [5] . Märkligt nog, samma år publicerade von Neumann också Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, som innehöll den första kompletta, rigorösa och systematiska utläggningen av kvantmekanik i det moderna språket i Hilbert-rum.

Grundläggande bestämmelser och egenskaper

Utgångspunkten för KvN-teorin är introduktionen av Hilbert-rummet av komplext värderade och kvadratintegrerbara funktioner av koordinater och moment , utrustad med följande inre produkt: $\Psi(t,p,q)$ $q$ $sid$

\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}\Psi _{1}^ {*}(t,p,q)\Psi _{2}(t,p,q)\,dq\,dp,

(ett)

där asterisken betyder komplex konjugation (för att uppnå den mest visuella analogin med kvantmekaniken, härefter kommer Diracs algebraiska formalism att användas för att beteckna elementen i Hilbert-rummet ) [6] . Kvadraten på modulen för sådana funktioner postuleras vara lika med den klassiska sannolikhetstätheten för att hitta en partikel vid en given punkt i fasrummet vid tiden : $\rho (p,q,t)$ $(p,q)$ $t$

\rho (t,p,q)=|\Psi (t,p,q)|^{2}.

(2)

Av detta postulat och definition ( 1 ) följer, förutom normaliseringsvillkoret , att medelvärdet av en godtycklig fysisk storhet , givet av en reell funktion , kan hittas av formeln $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =1$ $\langle X\rangle$ $X$ $X(p,q)$

\langle X\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {X))\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t){\hat {X}}| \Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {X}}|\Psi (t)\rangle ,

(3)

som formellt sammanfaller med det analoga uttrycket av Schrödinger kvantmekanik (innebörden av locket ovan kommer att förklaras nedan). Detta gör det legitimt att ge funktionen namnet på den klassiska vågfunktionen . $X$ $\Psi(t,p,q)$

Det centrala uttalandet i teorin är postulatet att evolutionslagen för den klassiska vågfunktionen måste sammanfalla exakt i form med Liouville-ekvationen för den klassiska fördelningen av sannolikhetstätheten i fasrymden: $i{\frac {\partial }{\partial t))\rho ={\hat {L))\rho$ $\rho (t,p,q)$

i{\frac {\partial }{\partial t))|\Psi \rangle ={\hat {L))|\Psi \rangle ,

(fyra)

var

{\hat {L}}=-iH_{p}(x,p){\frac {\partial }{\partial x}}+iH_{x}(x,p){\frac {\partial }{\partial p))

(5)

är den klassiska Liouville-operatören . Från detta postulat, med hänsyn till egenskaperna ( 2 ) och ( 3 ) för den klassiska vågfunktionen, kan vi få det mest allmänna uttrycket för det:

\Psi (t,p,q)={\sqrt {\rho (t,p,q)))e^{i\phi (t,p,q)},

(6)

där fasen är en godtycklig verklig funktion av dess argument. $\phi (t,p,q)$

Ett viktigt inslag i Koopman-von Neumanns teori är att uttryck ( 5 ) och ( 6 ) bara är en av många möjliga ekvivalenta representationer av dynamiska ekvationer. Den mest allmänna moderna formen av rörelsegeneratorn ( 5 ) är följande:

{\hat {L}}=-H_{p}({\hat {x}},{\hat {p}}){\hat {\lambda }}_{x}+H_{x} ({\hat {x)),{\hat {p))){\hat {\lambda }}_{p},

(7)

var är självanslutna operatorer som uppfyller följande kommuteringsrelationer: ${\hat {x)),{\hat {p)),{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {\lambda }}_{p}$

[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]=i;\quad [{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p }]=i;\quad [{\hat {p)),{\hat {x}}]=[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {\lambda }}_{x }]=[{\hat {p)),{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {x}}]=0 ,

(åtta)

där operatorkommutatorn betecknas med parentes . Relationer ( 8 ) är en klassisk analog till kvantmekanikens kanoniska kommuteringsrelationer . Det är lätt att kontrollera att uttrycket ( 5 ) kommer från ( 8 ) när man väljer , , , . Men som i kvantmekaniken är valet av en specifik algebraisk form för dessa operatörer inte nödvändigt och bestäms endast av bekvämlighetsöverväganden. $[\cdot ,\cdot ]$ ${\hat x}=x$ ${\hat {p}}=p$ ${\hat {\lambda ))_{x}=-i{\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat {\lambda ))_{p}=-i{\frac {\partial }{\partial p))$

På liknande sätt är varje fysisk storhet associerad med den hermitiska operatorn för den klassiska observerbara , erhållen genom att ersätta operatorer för motsvarande argument. Det är lärorikt att, i motsats till kvantmekaniken, en sådan substitution är unik på grund av det faktum att de klassiska operatörerna och pendlar. Av samma anledning pendlar KvN-operatörer av alla fysiska storheter med varandra. $X(p,q)$ ${\hat {X}}=X({\hat {p}},{\hat {q}}))$ $\hat x$ ${\hat {p))$

Rörelsegeneratorn ( 7 ) är också en hermitisk operator , och därför beskrivs den temporala dynamiken som beskrivs av ekvation ( 4 ) av någon enhetlig transformation av den klassiska vågfunktionen: , och avbildningen är en enparametergrupp . I denna mening är ekvation ( 4 ) strukturellt helt ekvivalent med Schrödinger-ekvationen. Det var denna observation gjord av Koopman som stimulerade utvecklingen av KvN-teorin. $U_{t}$ $|\Psi (t)\rangle =U_{t}|\Psi (0)\rangle$ ${\displaystyle t\mapsto U_{t))$

Idag kan möjligheten för ovanstående abstrakta operatorform att skriva ekvationerna för klassisk dynamik tyckas uppenbar nog, men i början av 1930 -talet var denna idé helt ny och revolutionerande. Det öppnade för oväntade utsikter för den direkta kopplingen av den kvantmekaniska matematiska apparaten, i synnerhet representationsteorin, till analysen av klassiska system, som von Neumann inte misslyckades med att använda för att bevisa sin ergodiska teorem. [1] Som exempel på modernare upplåning kan man peka ut metoderna för störningsteori och funktionell integration [7] , Feynman-diagramtekniken [8] .

Korrelation med kvantmekanik

Trots många formella likheter med Schrödinger kvantmekanik har KvN-teorin betydande skillnader med den. Direkt verifiering [6] visar att utvecklingen av den klassiska vågfunktionen ( 6 ) enligt lagen ( 4 ) delas upp i två oberoende ekvationer för fasen och den preexponentiala faktorn. Således fungerar fasfaktorn i KvN-teorin som en godtycklig fri parameter som inte påverkar dynamiken hos klassiska observerbara objekt på något sätt. Detta skiljer kvalitativt den klassiska vågfunktionen från kvantfunktionen, där en liknande fasfaktor bär viktig information om kvantkoherens , som är källan till alla specifikt kvanteffekter. Av samma anledning ändrar inte en icke-selektiv mätning den klassiska vågfunktionen [6] . $\phi (t,p,q)$ $\phi (t,p,q)$


Detaljer Videofilerna illustrerar den klassiska respektive kvantdynamiken för fördelningen av partiklar med enhetsmassa i morsepotentialen : för identiska initiala förhållanden: . Svarta prickar visar rörelsen av klassiska partiklar i enlighet med lagarna för Newtons dynamik . De svarta linjerna är nivåerna av samma totala (kinetiska + potentiella) energi hos partiklarna. $U(x)=20(1-e^{-0{,}16x})^{2}$ $P(0,p,q)=\Psi (0,p,q)$

En annan grundläggande skillnad mellan KvN-mekaniken är den isolerade platsen för rörelsegeneratorn ( 7 ) — den klassiska Liouvillean. Operatören ( 7 ) är den enda operatören av teorin som inte motsvarar någon fysisk storhet och som inte pendlar med operatörerna av fysiska storheter (som, minns, alla pendlar på grund av relationer ( 8 )). Av denna anledning, i KvN-teorin, för att introducera en rörelsegenerator, är det nödvändigt att utöka algebra för operatörer av fysiska storheter genom att introducera speciella extra "differentiella" operatorer och . Det kvantmekaniska höljet är mycket enklare. Kvant Hamiltonian, som representerar generatorn av rörelse i Schrödinger-ekvationen , är samtidigt den kvantmekaniska operatorn för systemets energi och kan vid behov uttryckas i termer av operatorer för andra observerbara objekt, det vill säga den behöver inte införas artificiellt i kvantoperatorernas algebra utifrån. Vem vet om denna skillnad inte är det grundläggande filosofiska skälet som fick naturen att "föredra" kvantmekanik? [9] $\lambda _{x}$ $\lambda _{p}$

En intressant och inte helt förstådd fråga är om Koopman-von Neumann-modellen är den klassiska gränsen för någon kvantrepresentation. Svaret, och ganska oväntat, är endast tillgängligt för det fall då kvant-"motparten" till den klassiska vågfunktionen är ett rent kvanttillstånd . [10] Det kan visas att den korrekta KvN-rörelsegeneratorn i formen ( 7 ) erhålls som den klassiska gränsen i motsvarande rörelsegenerator för Wigner-funktionen . Det pikanta i situationen ligger i det faktum att Wigner-funktionen och rörelsegeneratorn som motsvarar den definieras inte i Hilbert, utan i det klassiska fasutrymmet, vilket förkroppsligar idén att översätta beskrivningen av kvantmekaniska processer till språket av klassisk mekanik, som i huvudsak är diametralt motsatt begreppet KvN-teorin. Tämja kampen om motsatser kan uppnås genom att introducera skalärprodukten i form ( 1 ) i det klassiska fasrummet och postulera istället för standardformeln för att beräkna medelvärden $\hbar \to 0$ $P(p,q)$

\langle X\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}X(p,q)P(p,q)\,dq\,dp

(9)

regel ( 3 ) (med funktionssubstitution istället för ). Det är bevisat att en sådan modifierad Wigner-representation är fysiskt korrekt för rena kvanttillstånd (d.v.s. resultaten av beräkningar med formler ( 3 ) och ( 9 ) sammanfaller) och går över till Koopman-von Neumann-mekanikens ekvationer i den klassiska gränsen . Det är anmärkningsvärt att i detta fall är problemet med negativitet för "Wigners kvasi-sannolikhetsfördelningsfunktion" radikalt borttaget , eftersom sannolikhetsfördelningen i den nya tolkningen inte sammanfaller med funktionen , utan beräknas med formeln ( 2 ) och är alltid positiv. En betydande svaghet med ovanstående schema är dock omöjligheten att utvidga det till att omfatta blandade kvanttillstånd . $P(p,q)$ $\Psi(p,q)$ $\hbar \to 0$ $P(p,q)$

Betydelse

Köpman-von Neumann-teorin har under åren av dess existens, i motsats till den ganska allmänt använda Wigner-representationen, inte kunnat hitta direkt praktisk tillämpning, och därför kan dess omnämnande i den vetenskapliga litteraturen främst hittas på sidorna av publikationer avsedda för en snäv krets av specialister i matematisk fysik. På grund av teorins relativt låga popularitet är dess historiska betydelse och metodologiska potential fortfarande lite utforskade.

I moderna verk används KvN-teori ibland som ett konstruktivt verktyg, till exempel för utvecklingen av Feynman-diagramtekniken i klassisk störningsteori. [8] Emellertid är dess huvudsakliga nisch inom modern vetenskap omtolkningen av resultaten som erhållits med andra metoder för att klargöra deras fysiska betydelse, generalisering och systematisering. Detta gäller främst semiklassiska fall, för vilka teorin är ett bekvämt tilläggsverktyg för att studera överensstämmelsen mellan de klassiska och kvantgränserna.

Anteckningar

↑ 1 2 The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), redigerad av James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Amata Graphics, 2006. - ISBN 0-8218-4219-6
↑ Detaljer om Stones resultat finns i artikeln Stone's theorem on groups of unitary operators in a Hilbert space .
↑ Koopman, B. O. "Hamiltonska system och transformationer i Hilbert-rymden" // Proceedings of the National Academy of Sciences 17 (5), 315 (1931).
↑ Liknande idéer utvecklades samtidigt och oberoende av Weil .
↑ von Neumann, J. "Zur Operatorenmethod In Der Klassischen Mechanik" // Annals of Mathematics 33 (3), 587–642 (1932). von Neumann, J. "Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..." // Annals of Mathematics 33 (4), 789–791 (1932). Samlade verk av John von Neumann , Taub, AH, red., Pergamon Press, 1963. ISBN 0-08-009566-6
↑ 1 2 3 Mauro, D. (2002). "Ämnen i Koopman-von Neumanns teori". arXiv:quant-ph/0301172 [quant-ph] Arkiverad 6 oktober 2016 på Wayback Machine . (Det finns en selektiv översättning till ryska av M.Kh. Shulman: [1] Arkivexemplar daterad 4 mars 2016 på Wayback Machine ).
↑ Liboff, RL Kinetisk teori : klassiska, kvant- och relativistiska beskrivningar . - Springer, 2003. - ISBN 9780387955513 .
↑ 1 2 Blasone M., Jizba P., Kleinert H. "Path-integral approach to 't Hoofts härledning av kvantfysik från klassisk fysik" // Physical Review A 71 (5), 052507 (2005).
↑ Grishanin B. A. "Klassisk mekanik i kvantform: varför naturen "föredrar" kvantmekanik", i boken: B. A. Grishanin. Utvalda verk och memoarer av släktingar, vänner och kollegor (redigerad av V. N. Zadkov och Yu. M. Romanovsky) - MSU Publishing House, 2011.
↑ Bondar D.; Cabrera R.; Zhdanov D.; Rabitz H. (2012). "Wigner Function's Negativity Demystified" // arXiv:1202.3628[quant-ph] Arkiverad 10 december 2020 på Wayback Machine .

Litteratur

Mauro, D. (2002). "Ämnen i Koopman-von Neumanns teori". arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph] . (Det finns en selektiv översättning till ryska av M. Kh. Shulman: [2] ).
John von Neumann , Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1955. Omtryckt i pocketform.
HR Jauslin, D. Sugny, Dynamics of mixed classical-quantum systems, geometric quantization and coherent states (link not available) , Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol., 13 augusti 2009
The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), redigerad av James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Amata Graphics, 2006. - ISBN 0821842196