Toroidalt koordinatsystem

Ett toroidalt koordinatsystem är ett ortogonalt koordinatsystem i rymden vars koordinatytor är tori, sfärer och halvplan. Detta koordinatsystem kan erhållas genom att rotera ett tvådimensionellt bipolärt koordinatsystem runt en axel på samma avstånd från det bipolära systemets brännpunkter.

Definition

Förhållande med kartesiska koordinater

Det toroidformade koordinatsystemet definieras av formler för övergången från dessa koordinater till kartesiska koordinater : $(\alpha ,\beta ,\varphi )$

x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))\quad \quad y={ \frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}

där är skalfaktorn och radien för cirkeln till vilken den toroidformade koordinatytan degenererar vid . Gränser för koordinatförändring . Om man vänder sig till oändligheten på den angivna cirkeln, tenderar den att bli noll i oändligheten, såväl som vid vilken punkt som helst på axeln . De andra två koordinaterna är cykliska med punkt , till exempel kan man välja $c>0$ $x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0$ $\alpha =\alpha _{0}=\mathrm {const}$ $\alpha _{0}\rightarrow \infty$ $0\leqslant \alpha <\infty$ $x=0,\,y=0$ $2\pi$ $-\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi$

Förhållande med cylindriska koordinater

Formler för övergången från toroidformade koordinater till cylindriska koordinater : $(\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )$ $(z,r,\varphi )$

r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )).

För den omvända transformationen med kända cylindriska koordinater, beräknar punkterna värdena - det maximala och minsta avståndet från den givna punkten till cirkeln , genom vilken de sedan uttrycks $(z,r,\varphi )$ $R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr))$ $r=c,\,z=0$

\kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\ primtal }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+} }}

Alternativ definition

I ryskspråkig litteratur kan enklare koordinater också kallas toroidala , så att: $(\rho ,\beta ,\varphi )$

z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta

(i engelsk litteratur kallas sådana koordinater engelska tubal , och inte engelska toroidal ). I detta fall kallas de cykliska koordinaterna för poloidal respektive toroidal vinkel. Utöver dessa termer används, förutom dessa termer, termen "magnetisk axel" också för den cirkel på vilken . Nära den magnetiska axeln sammanfaller koordinaterna för båda systemen ungefär, och koordinaterna och är relaterade av relationen: . Kurvilinjära flödeskoordinater [1] kan också införas , där koordinatytorna är topologiskt toroidformade magnetiska ytor (på vilka plasmatrycket är konstant, och magnetfältets normala komponent är lika med noll. I detta fall är analogen till variabler eller "flödes"-koordinater fungerar endast som en "markör" magnetisk yta och dess numeriska värde är obetydligt. $\beta ,\,\varphi$ $r=c,\,z=0$ $\rho =0$ $\beta$ $\rho \equiv R_{-}$ $u$ $2\kappa ^{\prime }(u)\approx \rho /c$ $\alfa$ $\rho$

Egenskaper

Koordinatytor

$\alpha =\mathrm {const}$ — tori

({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\left({ \frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}

$\beta =\mathrm {const}$ - sfärer

(zc\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta )) \right)^{2}

$\varphi =\mathrm {const}$ - halvplan

{\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}

Differentiella egenskaper

Den metriska tensorn i toroidala koordinater har formen:

g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\ 0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm { sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin {pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2 }}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.

Det är diagonalt eftersom det toroidala koordinatsystemet är ortogonalt .

Linjeelement kvadrat:

ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2} +d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})

Area element kvadrat:

dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d \beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \ ,d\varphi )^{2})

Volymelement:

dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3))}d\alpha \,d\beta \,d\varphi

Lama koefficienter :

h_{\alpha }=h_{\beta }={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )),\quad h_{\varphi }={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))

Jacobian :

{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )))={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\ alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}

Christoffel-symboler av det andra slaget:

\Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\ \-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \ ,\alpha -\cos \beta ))&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch } \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&-{\ frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta ))&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ cos \beta }}\end{pmatrix}},

\Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\ mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\ cos \beta }}&0\end{pmatrix}}.

Form av differentialoperatorer i toroidformade koordinater

Gradienten för en skalär funktion i toroidala koordinater ges av följande uttryck:

\operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c))\ vänster({\frac {\partial U}{\partial \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\partial U}{\partial \beta }}{\vec {e }}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{ \varphi }\right).

Vektorfältsdivergens :

\ \operatörsnamn {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial F_{\alpha }}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial F_{\beta }}{\partial \beta } }+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta }\sin \ beta)

Laplace operatör :

\Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha } }\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )){\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh } \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{( \mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}} }\höger)

Differentialekvationer i toroidformade koordinater

Laplace-ekvationen i toroidformade koordinater har formen:

\left({\frac {\partial }{\partial \alpha ))\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha - \cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1} {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2 }}}\right)=0

Lösningen söks bekvämt i formen:

u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta ))

då är ekvationen för funktionen : $v$

v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1 }{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0

Sedan kan du separera variablerna:

v=A(\alpha )B(\beta )\Phi (\varphi )

Resultatet är ett system:

{\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4))-{\frac {k_{\ varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{ 2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}

I fallet med Helmholtz-ekvationen i toroidala koordinater delar sig inte variablerna.

Anteckningar

↑ Shafr98, 1998 .

Litteratur

Korn G., Korn T. Kapitel 6. System av kurvlinjära koordinater. 6.5 Formler för ortogonala koordinatsystem // Handbok i matematik (för vetenskapsmän och ingenjörer). - M. : Nauka, 1973. - S. 195. - 832 sid.
Mors F. M., Feshbakh G. Kapitel 5. Ordinarie differentialekvationer. Tabell över separerande koordinater för tre dimensioner // Metoder för teoretisk fysik. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1958. - T. 1. - S. 622. - 930 sid.
Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Del IV. Formler, tabeller, grafer. IV. Olika ortogonala koordinatsystem // Equations of Mathematical Physics. - 7:e uppl. - M . : Förlag vid Moscow State University; Science, 2004. - S. 732-733. — 798 sid. — ISBN 5-211-04843-1 .

V. D. Shafranov . Toroidala system // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1998. - V. 5: Stroboskopiska enheter - Ljusstyrka. — 760 sid. — ISBN 5-85270-101-7 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Toroidal Coordinates (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor