Tsiolkovskys formel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 februari 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

Tsiolkovsky-formeln bestämmer hastigheten som ett flygplan utvecklar under påverkan av en raketmotordrivkraft , oförändrad i riktning, i frånvaro av alla andra krafter. Denna hastighet kallas den karakteristiska hastigheten:

V=I\cdot \ln {\frac {M_{1}}{M_{2}}},

där - flygplanets sluthastighet , som för fallet med manöver i rymden under omloppsmanövrar och interplanetära flygningar ofta betecknas ΔV , även kallad den karakteristiska hastigheten;

V

jag

- specifik impuls för en raketmotor (förhållandet mellan motorns dragkraft och den andra bränslemassaförbrukningen);

M_{{1}}

- Flygplanets initiala massa (nyttolast + flygplanskonstruktion + bränsle).

M_{{2}}

är flygplanets slutliga massa (nyttolast + flygplansdesign).

Historik

Denna formel härleddes av K. E. Tsiolkovsky i manuskriptet "Rocket" den 10 maj ( 22 ), 1897 [1] och publicerades 1903 i majnumret av tidskriften " Scientific Review " i följande form [2] :53 [3 ] [4] :

{V \over V_{1}}=\ln \left(1+{M_{2} \over M_{1}}\right),

var är raketens sluthastighet;

V

V_{1}

- hastigheten för de flyende elementen i förhållande till raketen;

M_{1}

- raketens massa utan sprängämnen (det vill säga utan bränsle);

M_{2}

- massa sprängämnen.

Men de första som löste rörelseekvationen för en kropp med variabel massa var de engelska forskarna W. Moore 1810-1811 [5] , som publicerade lösningen i sin bok 1813 [6] , samt som P. G. Tate 1861 och W. J. Steele vid University of Cambridge 1856 .

Tsiolkovsky-formeln kan erhållas genom att integrera Meshcherskys differentialekvation för en variabel massamaterialpunkt :

m\cdot {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}+{\vec {u}}\cdot {\frac {dm}{dt}}=0,

var är punktmassan;

m

V

är punktens hastighet;

u

- den relativa hastighet med vilken den del av dess massa som separerar från punkten rör sig.

För en raketmotor är detta värde dess specifika impuls [7] . $jag$

För en flerstegsraket beräknas sluthastigheten som summan av hastigheterna som erhålls med Tsiolkovsky-formeln separat för varje steg, och vid beräkning av den karakteristiska hastigheten för varje steg läggs den totala initiala massan för alla efterföljande steg till dess initial och slutlig massa.

Låt oss presentera notationen:

$M_{{1i}}$ är massan av det tankade ste steget av raketen; $i$
$M_{{2i}}$ är massan av det e steget utan bränsle; $i$
$jag_{{i}}$ är den specifika impulsen för motorn i det th steget ; $i$
$M_{{0}}$ - nyttolastmassa;
$N$ är antalet raketsteg.

Sedan kan Tsiolkovsky-formeln för en flerstegsraket skrivas i följande form:

V=\sum _{i=1}^{N}I_{i}\cdot \ln \left({\frac {M_{0}+{\sum _{j=i}^{N} }M_{1j}}{M_{0}+M_{2i}-M_{1i}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}}\höger).

Skillnaden mellan raketens verkliga hastighet och karakteristiken

Eftersom, under verkliga flygförhållanden, andra krafter verkar på raketen förutom motorkraften, är hastigheten som utvecklas av raketer under dessa förhållanden vanligtvis lägre än den karakteristiska på grund av förluster orsakade av gravitationskrafter, miljömotstånd och andra faktorer.

Följande tabell visar hastighetsbalansen för Saturn V -raketen när rymdfarkosten Apollo ska komma in på flygbanan till månen [8] .

steg	Karakteristisk hastighet, m/s	Tyngdkraftsförluster, m/s	Aerodynamiska förluster, m/s	Kontrollförluster, m/s	Faktisk hastighet, m/s
Första (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Andra (S-II)	4725	335	0	183	4207
Tredje (S-IVB)	4120	122	0	4.5	3993,5
Totalt	12505	1677	46	187,5	10594,5 [9]

Som framgår av tabellen är gravitationskomponenten störst i den totala förlusten. Gravitationsförluster uppstår på grund av det faktum att raketen, som börjar vertikalt, inte bara accelererar utan också ökar på höjden och övervinner jordens gravitation, och detta förbrukar också bränsle. Värdet av dessa förluster beräknas med formeln: [10]

\Delta v_{g}\ =\int \limits _{0}^{t}g(t)\cdot \cos(\gamma (t))\,dt,

var är den lokala gravitationsaccelerationen och vinkeln mellan motorns dragkraftsvektor respektive den lokala gravitationsvektorn , vilka är funktioner av tid enligt flygprogrammet.

g(t),

\gamma (t)

Som framgår av tabellen faller den största delen av dessa förluster på första etappens flygsegment. Detta förklaras av det faktum att i detta avsnitt avviker banan från vertikalen i mindre utsträckning än i sektionerna av efterföljande steg, och värdet är nära maxvärdet - 1. $\cos(\gamma (t))$

Aerodynamiska förluster orsakas av luftmotståndet när raketen rör sig i den och beräknas med formeln:

\Delta v_{a}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {A(t)}{m(t)))\,dt,

var är kraften av frontalt aerodynamiskt motstånd;

På)

m(t)

är raketens nuvarande massa.

De huvudsakliga förlusterna från luftmotstånd inträffar också i operationsområdet för det första steget av raketen, eftersom detta område äger rum i de lägre, tätaste lagren av atmosfären.

Rymdfarkosten måste skjutas upp i omloppsbana med strikt definierade parametrar, för detta vänder styrsystemet i flygets aktiva fas raketen enligt ett visst program, medan riktningen på motorns dragkraft avviker från raketens nuvarande riktning, och detta medför hastighetsförluster för kontroll, vilka beräknas enligt formeln:

\Delta v_{u}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(t)}{m(t)}}\cdot (1-\cos(\alpha ( t)))\,dt,

var är motorns nuvarande dragkraft;

Med)

m(t)

är raketens nuvarande massa och är vinkeln mellan raketens dragkrafts- och hastighetsvektorer.

\alfa (t)

Den största delen av missilkontrollförlusterna inträffar i 2:a stegets flygsektion, eftersom det är i denna sektion som övergången från vertikal till horisontell flygning sker, och motorns dragkraftsvektor avviker mest i riktningen från rakethastighetsvektorn.

Att använda Tsiolkovsky-formeln i raketdesign

Tsiolkovsky-formeln härledd i slutet av 1800-talet utgör fortfarande en viktig del av den matematiska apparatur som används vid design av raketer, i synnerhet för att bestämma deras huvudsakliga massegenskaper.

Genom enkla transformationer av formeln får vi följande ekvation:

{\frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I},

(ett)

Denna ekvation ger förhållandet mellan raketens initiala massa och dess slutliga massa för givna värden på raketens sluthastighet och specifika impuls .

Låt oss presentera följande notation:

$M_{{0}}$ - nyttolastens massa;
$M_{{k}}$ - massan av raketstrukturen;
$M_{{t}}$ - bränslemassa.

Massan av raketstrukturen i ett brett spektrum av värden beror på bränslets massa nästan linjärt: ju större bränsletillförsel, desto större storlek och massa på tankarna för dess lagring, desto större massa av stödet. strukturella element, desto kraftfullare (och därför mer massiva) framdrivningssystemet. Vi uttrycker detta beroende i formen:

M_{k}={\frac {M_{t)){k)),

var är en koefficient som visar hur mycket bränsle som är per massenhet av strukturen.

k

Med rationell design beror denna koefficient främst på egenskaperna (densitet och styrka) hos de strukturella materialen som används vid tillverkningen av raketen. Ju starkare och lättare material som används, desto högre koefficientvärde . Denna koefficient beror också på bränslets genomsnittliga densitet (mindre tätt bränsle kräver större behållare och massor, vilket leder till en minskning av värdet på ). $k$ $k$

Den föregående ekvationen kan skrivas som:

{\frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I},

som genom elementära transformationer reduceras till formen:

M_{t}={\frac {M_{0}\cdot k\cdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I))}.

Denna form av Tsiolkovsky-ekvationen gör det möjligt att beräkna massan av bränsle som krävs för att uppnå en given karakteristisk hastighet av en enstegsraket, givet nyttolastmassan, värdet på den specifika impulsen och värdet på koefficienten . $k$

Formeln är vettig endast när värdet som resulterar från att ersätta indata är positivt. Eftersom exponenten för ett positivt argument alltid är större än 1, är formelns täljare alltid positiv, därför måste nämnaren för denna formel också vara positiv:

k+1-e^{V/I}>0

, med andra ord,

k>e^{V/I}-1.

Denna ojämlikhet är ett kriterium för att uppnå en given hastighet med en enstegsraket för givna värden för den specifika impulsen och koefficienten . Om ojämlikheten inte uppfylls kan den givna hastigheten inte uppnås vid någon bränsleförbrukning: med en ökning av mängden bränsle kommer raketstrukturens massa att öka och förhållandet mellan raketens initiala massa och den sista. kommer aldrig att nå det värde som krävs av Tsiolkovsky-formeln för att uppnå den givna hastigheten. $V$ $jag$ $k$

Ett exempel på att beräkna massan av en raket

Det krävs att en konstgjord jordsatellit med massan m skjuts upp i en cirkulär bana med en höjd av 250 km. Den tillgängliga motorn har en specifik impuls m/s. Koefficienten innebär att strukturens massa är 10 % av massan på den bränsledrivna raketen (steget). Låt oss bestämma bärraketens massa . $M_{0}=10$ $I=2900$ $k=9$

Den första rymdhastigheten för den valda omloppsbanan är 7759,4 m/s, till vilket läggs de antagna gravitationsförlusterna på 600 m/s, den karakteristiska hastigheten är alltså m/s (andra förluster kan negligeras i den första approximationen). Med dessa parametrar är värdet . Ojämlikhet (4) är inte uppfylld, därför är det under dessa förhållanden omöjligt att uppnå det uppsatta målet med en enstegsraket . $V=8359.4$ $e^{V/I}=17.86$

Denna beräkning är förenklad och tar inte hänsyn till kostnaden för att ändra kroppens potentiella energi, och med dess direkta tillämpning uppstår illusionen att kostnaden minskar med ökande omloppshöjd. I verkligheten, utan att ta hänsyn till förluster på grund av luftmotstånd och gravitationsförluster under tiden för uppskjutning i omloppsbana, visar sig den erforderliga hastigheten (omedelbart ges till kroppen på noll höjd över ytan) vara högre. Det kan ungefärligen bestämmas genom att tillämpa lagen om bevarande av mekanisk energi (en hypotetisk elliptisk bana med pericentrum vid kontaktpunkten med jorden och apocenter i höjd med målbanan):

\left({\frac {mV^{2}}{2}}\right)-\left({\frac {GmM}{R}}\right)=\left({\frac {mV_{ 0}^{2}}{2}}\right)-\left({\frac {GmM}{r}}\right),

var är jordens genomsnittliga radie;

r

R

- höjden på den cirkulära omloppsbanan (med hänsyn till jordens radie, det vill säga ); .

R=r+H

V_{0}^{2}=V^{2}-{\frac {2GM}{r))+{\frac {2GM}{R))

Om vi tar hastigheten i periapsis lika med den cirkulära på nivån av jordens yta ( ), då: $V_{0}^{2}={\frac {GM}{r))$

V_{0}^{2}={\frac {2GM}{r}}-{\frac {GM}{R}}

, eller

V_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}{\sqrt {1-{\frac {r}{2R}}}}.

Denna approximation tar inte hänsyn till impulserna för övergången från jordens cirkulära bana till en elliptisk bana och från en elliptisk till en ny cirkulär, och är också tillämplig endast på Hohmann-övergångar (det vill säga applikationen för paraboliska och hyperboliska övergångar fungerar inte), men är mycket mer exakt än att bara ta det första rymduppdraget för den erforderliga hastigheten för ett brett spektrum av LEO-höjder.

Sedan, på en höjd av 250 km, kommer den erforderliga hastigheten för utgången att vara 8,063 m/s, och inte 7,764, och för den geostationära omloppsbanan (35 786 km över jordnivån) kommer den redan att vara 10,762 m/s, och inte 3,077 m/s, som det skulle vara om kostnaden för att ändra potentiell energi.

Beräkning för en tvåstegsraket

Vi delar upp den karakteristiska hastigheten i hälften, vilket kommer att vara den karakteristiska hastigheten för vart och ett av stegen i en tvåstegsraket: m / s. Den här gången , som uppfyller nåbarhetskriteriet (4), och genom att ersätta värdena i formlerna (3) och (2), får vi det andra steget: $V=4179.7$ $e^{V/I}=4.23$

M_{{t2}}={\frac {10\cdot 9\cdot (4.23-1)}{9+1-4.23}}=50.3

M_{{k2}}={\frac {50.3}{9}}=5.6

Således är den totala massan av det andra steget 55,9 ton.

För det första steget läggs den totala massan av det andra steget till nyttolastmassan; efter lämpligt utbyte får vi:

M_{{t1}}={\frac {(10+55.9)\cdot 9\cdot (4.23-1)}{9+1-4.23}}=331.3

M_{{k1}}={\frac {331.3}{9}}=36.8

Således är den totala massan för det första steget 368,1 ton, och den totala massan för en tvåstegsraket med nyttolast kommer att vara 10 + 55,9 + 368,1 = 434 ton. Beräkningar utförs på liknande sätt för fler steg. Som ett resultat får vi att uppskjutningsvikten för en trestegsraket kommer att vara 323,1 ton, en fyrstegsraket - 294,2 ton, en femstegsraket - 281 ton.

Detta exempel visar hur flersteg är motiverat inom raketvetenskap: vid samma sluthastighet har en raket med ett större antal steg en mindre massa.

Dessa resultat erhålls under antagandet att raketens strukturella perfektionskoefficient förblir konstant, oavsett antalet steg. En närmare granskning visar att detta är en stark förenkling. Stegen är anslutna till varandra med speciella adaptersektioner - stödjande strukturer, som var och en måste motstå den totala vikten av alla efterföljande steg, multiplicerat med det maximala överbelastningsvärdet som upplevs av raketen i alla flygsektioner där adaptern är en del av raket. Med en ökning av antalet steg minskar deras totala massa, medan antalet och den totala massan av adaptrar ökar, vilket leder till en minskning av koefficienten , och, tillsammans med den, den positiva effekten av flersteg . I modern raketvetenskap görs som regel inte mer än fyra steg. $k$ $k$

Sådana beräkningar utförs inte bara i det första konstruktionsskedet - när man väljer ett raketlayoutalternativ, utan också i efterföljande konstruktionsstadier, eftersom konstruktionen är detaljerad, används Tsiolkovsky-formeln ständigt i verifieringsberäkningar , när de karakteristiska hastigheterna räknas om. , med hänsyn till förhållandena mellan raketens initiala och slutliga massa (steget), specifika egenskaper hos framdrivningssystemet, förtydligande av hastighetsförluster efter beräkning av flygprogrammet på den aktiva platsen , etc., för att kontrollera prestationen av den angivna hastigheten av raketen.

Generaliserad formel för Tsiolkovsky

För en raket som flyger med en hastighet nära ljusets hastighet är den generaliserade Tsiolkovsky-formeln giltig:

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}=\left({\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{ c))))\right)^{\frac {c}{2I)),

var är ljusets hastighet [11] .

c

För en fotonraket och formeln har formen: $I=c$

{\frac {M_{2}}{M_{1}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{ c}}}}}.

Hastigheten för en fotonraket beräknas med formeln:

{\frac {V}{c}}={\frac {1-\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}{1+ \left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}}.

I filateli

Tsiolkovskys formel är avbildad på ett polskt frimärke från 1963 ( Sc #1178) , ett nicaraguanskt frimärke från 1971 från serien "10 Mathematical Formulas that Changed the Face of the Earth" ( Sc #880) och i marginalen på ett vitryskt brev från 2002 block tillägnat 45-årsjubileumsutforskningen av rymden ( Sc #454) .

Se även

Anteckningar

↑ Arkiv för den ryska vetenskapsakademin (ARAS). F. 555. Op. 1. D. 32. Ll. 1-2, 5, 11, 20. Se elektroniska kopior Arkivkopia daterad 20 januari 2019 på Wayback Machine av dessa sidor på RAS-arkivets webbplats.
↑ Tsiolkovsky K. Utforskning av världsutrymmen med reaktiva enheter // Scientific Review . - 1903. - Nr 5 . - S. 44-75 .
↑ Tsiolkovsky K. E. Proceedings on raketteknologi / Redigerad av M. K. Tikhonravov . - M . : Oborongiz, 1947. - S. 33.
↑ K. Tsiolkovsky, Exploring World Spaces with Reactive Instruments, 1903 (tillgänglig online här Arkiverad 15 augusti 2011. i en RARed PDF)
↑ Moore, William; vid Royal Military Academy, Woolwich . A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, december 1810, artikel IV: Teori om raketernas rörelse . — London: W. Nichelson, 1810.
↑ Moore, William; vid Royal Military Academy, Woolwich . En avhandling om raketernas rörelse. Till vilken läggs, An Essay on Naval Gunnery . — London: G. och S. Robinson, 1813.
↑ För en termisk raketmotor gäller detta om trycken vid munstyckets utgång och i omgivningen är lika. Tsiolkovskys formel behåller sin giltighet oavsett om detta villkor är uppfyllt.
↑ Manned Moon Missions, design och prestanda av SATURN V APOLLO Arkiverad 14 november 2017 på Wayback Machine . VINITI abstrakt. - M., 1973.
↑ Till detta värde läggs jordens rotationshastighet på Cape Canaverals latitud , från vilken uppskjutningar gjordes under Apollo- programmet - 406 m/s. Således lanserade rymdfarkosten Apollo till månen med en hastighet av 11 000 m/s. På en höjd av 500 km, (höjdpunkten för den nära jordens omloppsbana, från vilken fartyget bytte till flygbanan till månen), är den andra flykthastigheten 10 772 m/s.
↑ Feodosyev V., Sinyarev G. Introduktion till raketteknik. 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M.: Oborongiz, 1961.
↑ Levantovsky, 1980 , sid. 444.

Litteratur

Levantovsky VI Rymdfärdens mekanik i en elementär presentation. — M .: Nauka, 1980. — 512 sid.

Himmelsk mekanik

Lagar och uppgifter	Newtons lagar Tyngdlagen Keplers lagar Två kroppsproblem Tre kroppsproblem Gravitationsproblem med N-kroppar Bertrands problem Keplers ekvation
Himmelssfär	Himmelskt koordinatsystem galaktisk horisontell ekvatorial ekliptika Internationellt himmelsk koordinatsystem Sfäriskt koordinatsystem världsaxeln Himmelska ekvatorn rätt uppstigning deklination Ekliptika Dagjämning Solstånd grundplan
Orbitparametrar _	Kepleriska element i omloppsbanan excentricitet halvstor axel betyda anomali stigande nod longitud periapsis argument Apocenter och periapsis Orbital hastighet Orbit nod Epok
Rörelse av himlakroppar	Solens och planeternas rörelse i himmelssfären Efemerid Planetkonfigurationer konfrontation förening kvadratur förlängning parad av planeter Förmörkelse solförmörkelse månförmörkelse saros Metonisk cykel Beläggning Genomgång klimax siderisk period synodisk period Rotationsperiod orbital resonans Equinox Prelude Närmande librering Tyngdkraftens omfattning Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov-effekt

Astrodynamik

Rymdfärd	rymdhastighet första (cirkulär) andra (parabolisk) tredje fjärde Tsiolkovskys formel Tyngdkraftsmanöver Hohmanns bana Metod för att oskulera element Tidvattenacceleration Orbital lutning förändring Interplanetära transportnät Dockning Lagrange poäng Pionjäreffekt
SC -banor	geostationär bana Heliocentrisk bana geosynkron bana geocentrisk bana geoöverföringsbana Låg jordbana polär bana Bana "Tundra" Solsynkron bana Orbit "Lightning" Oskulerande bana