Hela delen

I matematik avrundas heltalsdelen av ett reellt tal nedåt till närmaste heltal . Heltalsdelen av ett tal kallas också antier ( franska entier ), eller floor ( engelska floor ). Tillsammans med golvet finns en parfunktion - taket ( engelska taket ) - som avrundas uppåt till närmaste heltal. $x$ $x$ $x$

Notation och exempel

För första gången användes hakparenteser ( ) för att beteckna heltalsdelen av ett tal av Gauss 1808 i hans bevis på lagen om kvadratisk reciprocitet [1] . Denna notation ansågs vara standard [2] tills Kenneth Iverson i sin bok A Programming Language publicerad 1962 föreslog [3] [4] [5] att avrunda ett tal till närmaste heltal upp och ner för att kalla "golv" och " tak" och beteckna resp . $[x]$ $x$ $x$ $x$ $\lgolv x\rgolv$ $\lceil x\rceil$

Modern matematik använder både notationer [6] , och , men mer och mer övervägande Iversons terminologi och notation används: en av anledningarna är att för negativa tal är begreppet "heltalsdel av ett tal" redan tvetydigt [5] . Till exempel är heltalsdelen av talet 2,7 lika med 2, men två synpunkter är redan möjliga för hur man bestämmer heltalsdelen av talet −2,7: enligt definitionen i den här artikeln , men i vissa miniräknare, funktionen av heltalsdelen av INT för negativa tal definieras som INT(– x ) = –INT( x ), så INT(–2,7) = −2. Iversons terminologi saknar dessa brister: $[x]$ $\lgolv x\rgolv$ $[x]\ekvivalent \lgolv x\rgolv =-3$

{\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3, &\lceil -2{,}7\rceil =-2.\end{matris}}

Definitioner

Funktionen "kön" definieras som det största heltal mindre än eller lika med: $\lgolv \cdot \rgolv \kolon x\mapsto \lgolv x\rgolv$ $x$

\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leqslant x\}.

Takfunktionen är det minsta heltal större än eller lika med : $\lceil \,\cdot \,\rceil \colon x\mapsto \lceil x\rceil$ $x$

\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.

Dessa definitioner är ekvivalenta med följande ojämlikheter (där n är ett heltal): [7]

{\begin{matrix}\lfloor x\rfloor =n&\Longleftrightarrow &n\leqslant x<n+1&\Longleftrightarrow &x-1<n\leqslant x,\\\lceil x\rceil =n&\Longleftrightarrow &n- 1<x\leqslant n&\Longleftrightarrow &x\leqslant n<x+1.\end{matris}}

Egenskaper

I formlerna nedan betecknar bokstäverna och reella siffror , och bokstäverna och betecknar heltal . $x$ $y$ $n$ $m$

Golv och tak som funktioner av en verklig variabel

Golv- och takfunktionerna mappar en uppsättning reella tal till en uppsättning heltal:

\lfloor \,\cdot \,\rfloor \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {Z}},\quad \lceil \,\cdot \,\rceil \colon {\mathbb {R}} \to {\mathbb {Z)),\quad

Golv och tak är styckvis konstanta funktioner .

Golv- och takfunktionerna är diskontinuerliga : vid alla heltalspunkter lider de av diskontinuiteter av det första slaget med ett hopp lika med ett.

I det här fallet är golvfunktionen:

Takets funktion är:

Samband mellan golv- och takfunktioner

För ett godtyckligt tal är följande olikhet sann [8] $x$

\lgolv x\rgolv \leqslant x\leqslant \lceil x\rceil

För hela golvet och taket är samma: $x$

\lfloor x\rfloor =x\quad \Longleftrightarrow \quad x\in {\mathbb {Z))\quad \Longleftrightarrow \quad \lceil x\rceil =x

Om det inte är ett heltal, är värdet på takfunktionen ett mer än värdet på golvfunktionen: $x$

\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}1,&x\notin {\mathbb {Z}}\\0,&x\in {\mathbb {Z}}\end{cases}}

Golv- och takfunktionerna är reflektioner av varandra från båda axlarna:

\lgolv -x\rgolv =-\lgolv x\rgolv ,\quad \lceil -x\rgolv =-\lgolv x\rgolv

Golv/tak: ojämlikheter

All olikhet mellan reella och heltal motsvarar en olikhet mellan golv och tak mellan heltal [7] :

{\begin{matrix}n\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n<x&\Longleftrightarrow &n<\lceil \rceil &\qquad x<n&\Longleftrightarrow &\lfloor x\rfloor <n\end{matris}}

De två övre ojämlikheterna är direkta konsekvenser av definitionerna av golv och tak, och de två nedre är omkastningen av de övre .

Golv-/takfunktionerna är monotont ökande funktioner:

x\leqslant y\Rightarrow \lfloor x\rfloor \leqslant \lfloor y\rfloor ,\quad x\leqslant y\Rightarrow \lceil x\rceil \leqslant \lceil y\rceil

Golv/tak: tillägg

Heltalstermen kan introduceras/infäst golv/tak [9] :

\lgolv x+n\rgolv =\lgolv x\rgolv +n,\quad \lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n

De tidigare likheterna gäller generellt sett inte om båda termerna är reella tal. Men följande ojämlikheter gäller i detta fall:

\lgolv x\rgolv +\lgolv y\rgolv \leqslant \lgolv x+y\rgolv \leqslant \lgolv x\rgolv +\lgolv y\rgolv +1,\quad \lceil x\rceil +\lceil y\rceil - 1\leqslant \lceil x+y\rceil \leqslant \lceil x\rceil +\lceil y\rceil

Golv/tak under funktionsskylt

Följande förslag gäller: [10]

Låta vara en kontinuerligt monotont ökande funktion, definierad på något intervall , med egenskapen: $f(x)$

f(x)\in {\mathbb {Z}}\Högerpil x\in {\mathbb {Z}}

Sedan

\lgolv f(x)\rgolv =\lgolv f(\lgolv x\rgolv )\rgolv ,\quad \lceil f(x)\rceil =\lceil f(\lceil x\rceil )\rceil

närhelst den definieras . $f(x),f(\lgolv x\rgolv ),f(\lceil x\rceil )$

Särskilt,

\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\left\lfloor x\right\rfloor +m}{n}}\right\rfloor , \quad \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\left\lceil x\right\rceil +m}{n}}\right\ rceil

om och är heltal, och . $m$ $n$ $n>0$

Golv/tak: summor

Om är heltal, , då [11] $m,n$ $m>0$

n=\vänster\lgolv {\frac {n}{m}}\höger\rgolv +\vänster\lgolv {\frac {n+1}{m}}\höger\rgolv +\prickar +\vänster\lgolv { \frac {n+m-1}{m}}\höger\rgolv

I allmänhet, if är ett godtyckligt reellt tal och är ett positivt heltal, alltså $x$ $m$

\lgolv mx\rgolv =\vänster\lgolv x\höger\rgolv +\vänster\lgolv x+{\frac {1}{m))\höger\rgolv +\prickar +\vänster\lgolv x+{\frac {m- 1}{m}}\höger\rgolv

Det finns ett mer allmänt samband [12] :

\sum _{{0\leqslant k<m}}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =d\left\lfloor {\frac {x}{d}}\ höger\rgolv +{\frac {(m-1)(n-1)}{2}}+{\frac {d-1}{2}},\quad d=(m,n)

Eftersom den högra sidan av denna jämlikhet är symmetrisk med avseende på och , är följande ömsesidighetslag giltig : $m$ $n$

\sum _{{0\leqslant k<m}}\left\lfloor {\frac {nk+x}{m}}\right\rfloor =\summa _{{0\leqslant k<n}}\left\ lfloor {\frac {mk+x}{n}}\right\rfloor ,\quad m,n>0

Nedbrytbarhet i en serie

På ett trivialt sätt utökas antierfunktionen till en serie med hjälp av Heaviside-funktionen :

[x]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }n\left(\theta (xn)-\theta (xn-1)\right),

där varje term i serien skapar karakteristiska " steg " för funktionen. Denna serie konvergerar absolut , men en felaktig omvandling av dess termer kan leda till en "förenklad" serie

\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\theta \left(xn\right),

som avviker .

Applikation

Heltals golv-/takfunktioner finner bred tillämpning inom diskret matematik och talteori . Nedan följer några exempel på hur dessa funktioner kan användas.

Antal siffror i ett nummer

Antalet siffror i notationen av ett positivt heltal i positionstalssystemet med bas b är [13]

\lfloor \log _{{b}}n\rfloor +1

Avrundning

Det närmaste heltal till ett heltal kan bestämmas med formeln $x$

(x)=\lgolv x+0{,}5\rgolv

Binär operation mod

Modulo-restfunktionen, betecknad , kan definieras med hjälp av golvfunktionen enligt följande. Om är godtyckliga reella tal, och , då den ofullständiga kvoten för division med är $x{\bmod {y))$ $x,y$ $y\neq 0$ $x$ $y$

\lgolv x/y\rgolv

och resten

x\,{\bmod \,}y=xy\lgolv x/y\rgolv

Bråkdel

Bråkdelen av ett reellt tal är per definition lika med $x$

\{x\}=x\,{\bmod \,}1=x-\lgolv x\rgolv

Antal heltalsintervallpunkter

Det krävs att man hittar antalet heltalspunkter i ett slutet intervall med ändar och , det vill säga antalet heltal som uppfyller olikheten $\alfa$ $\beta$ $n$

\alpha \leqslant n\leqslant \beta

På grund av golvets/takets egenskaper motsvarar denna ojämlikhet

\lceil \alpha \rceil \leqslant n\leqslant \lfloor \beta \rfloor

Detta är antalet punkter i ett slutet intervall med slutar och lika med . $\lceil \alpha \rceil$ $\lgolv \beta \rgolv$ $\lgolv \beta \rgolv -\lceil \alpha \rceil +1$

På samma sätt kan du räkna antalet heltalspunkter i andra typer av luckor . En sammanfattning av resultaten ges nedan [14] .

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n\leqslant \beta \}=\lgolv \beta \rfloor -\lceil \alpha \rceil +1

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha \leqslant n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lceil \alpha \rceil

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n\leqslant \beta \}=\lfloor \beta \rfloor -\lfloor \alpha \rfloor

\#\{n\in {\mathbb {Z}}\colon \alpha <n<\beta \}=\lceil \beta \rceil -\lfloor \alpha \rfloor -1

( Kardinaliteten för uppsättningen betecknas med ) $\#M$ $M$ .

De tre första resultaten är giltiga för alla och det fjärde gäller endast för . $\alpha \leqslant \beta$ $\alfa <\beta$

Rayleighs spektrumsats

Låta och vara positiva irrationella tal relaterade till relationen [15] $\alfa$ $\beta$

{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}=1.

Sedan i nummerserien

\lgolv \alpha \rgolv ,\lgolv \beta \rgolv ,\lgolv 2\alfa \rgolv ,\lgolv 2\beta \rgolv ,\ldots ,\lgolv m\alpha \rgolv ,\lgolv m\beta \rgolv ,\ ldots

varje naturligt inträffar exakt en gång. Med andra ord sekvenserna $n\in \mathbb {N}$

\{m\alpha \mid m\in {\mathbb {N}}\}

och ,

\{m\beta \mid m\in {\mathbb {N}}\}

kallas Beatty-sekvenser , bildar en partition av den naturliga serien. [16]

Inom datavetenskap

I programmeringsspråk

Många programmeringsspråk har inbyggda golv/tak-funktioner floor(), ceil() .

I layoutsystem

TeX (och LaTeX ) har speciella kommandon för golv-/taksymbolerna , , , \lfloor , \rfloor , \lceil , \rceil . Eftersom wikin använder LaTeX för att skriva matematiska formler, används dessa kommandon också i den här artikeln. $\lgolv$ $\rgolv$ $\lceil$ $\rceil$

Anteckningar

↑ Lemmermeyer, s. 10, 23.
↑ Gauss-notation som används av Cassels, Hardy & Wright och Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik och Crandall & Pomerance använde Iversons notation.
↑ Iverson, sid. 12.
↑ Highham, sid. 25.
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 88.
↑ Weisstein, Eric W. Floor Function på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ 1 2 R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 90.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 89.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 90-91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 93.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 108.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. — S. 112-117.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 91.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - S. 95-96.
↑ R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. — S. 99-100.
↑ A. Baababov. "Pentium" är bra, men sinnet är bättre // Kvant . - 1999. - Nr 4 . - S. 36-38 .

Se även

Litteratur

R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. konkret matematik. - M . : "Mir", 1998. - 703 sid. — ISBN 5-03-001793-3 .
M. K. Potapov, V. V. Alexandrov, P. I. Pasichenko. Algebra och början av analys. - AO Century, 1996.