Bicentriskt koordinatsystem

Bicentriska koordinater är ett koordinatsystem på ett plan där en punkts position ges av avstånd från två fasta centra (poler).

Bicentriska koordinater bör inte förväxlas med bipolära och biangulära koordinater, även om termen "bipolära koordinater" i vissa källor används för barycentriska eller biangulära koordinater [1] .

Kanoniska formler för att konvertera koordinater (här antas att polerna har koordinater ): $(\pmc;0)$

{\begin{cases}x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}\\y=\pm {\frac {1}{ 4c)){\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2} }}\end{cases}}

Följande formler omvandlar bicentriska koordinater till polära koordinater :

{\begin{cases}r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\ theta =\mathrm {arctg} \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{ r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{cases}}

var är avståndet mellan polerna. $2c$

I allmänhet, om polerna har godtyckliga koordinater, konverteras översättningsformlerna till:

\left\{{\begin{matrix}x=\pm {\frac {r^{2}+r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2r}}\ cos \alpha \pm {\frac {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_{2}-r)(r_{2}-r_{1}-r )(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}\sin \alpha +x_{1}\\y=\pm {\frac {r^{2}+r_{1}^ {2}-r_{2}^{2}}{2r}}\sin \alpha \mp {\frac {\sqrt {(r_{1}+r_{2}+r)(r_{1}-r_ {2}-r)(r_{2}-r_{1}-r)(r_{1}+r_{2}-r)}}{2r}}\cos \alpha +y_{1}\end{ matris}}\höger.

Var är avståndet mellan polerna, $r$

r_{1}

är avståndet till första polen,

r_{2}

- avstånd till den andra polen,

(x_{1};y_{1})

är koordinaterna för den första polen,

(x_{2};y_{2})

är koordinaterna för den andra polen,

\alpha =\operatörsnamn {arctg} {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

- lutningsvinkeln för den räta linjen som går genom koordinaterna , i förhållande till abskissaxeln.

(x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2})

De fyra koordinatparen som erhålls med dessa formler bör kontrolleras för att villkoret uppfylls:

{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}=r_{1}

och

{\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}=r_{2}

Endast två par koordinater av fyra kommer att uppfylla dessa villkor.

Länkar

Weisstein, Eric W. Bipolar Coordinates (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Anteckningar

↑ Bipolära koordinater // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 extra). - St Petersburg. 1890-1907.

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor