Variationsprinciper

Mekanikens principer är de initiala positionerna som återspeglar sådana allmänna lagar för mekaniska fenomen att från dem, som en konsekvens, kan alla ekvationer som bestämmer ett mekaniskt systems rörelse (eller villkoren för dess jämvikt) erhållas. Under utvecklingen av mekaniken etablerades ett antal sådana principer, som var och en kan tas som grund för mekaniken, vilket förklaras av variationen av egenskaper och mönster för mekaniska fenomen. Dessa principer är uppdelade i icke- varierande och variationsmässiga .

Icke-varierande principer

Mekanikens icke-variationella principer fastställer direkt rörelselagarna som utförs av ett system under inverkan av krafter som appliceras på det. Dessa principer inkluderar till exempel Newtons andra lag , enligt vilken, när någon punkt i systemet rör sig, är produkten av dess massa och acceleration lika med summan av alla krafter som appliceras på punkten , såväl som d'Alembert princip .

Icke-variationsprinciper är giltiga för alla mekaniska system och har ett relativt enkelt matematiskt uttryck. Deras tillämpning begränsas emellertid endast av mekanikens ramar, eftersom ett sådant rent mekaniskt begrepp som kraft direkt kommer in i principernas uttryck . Följande är också betydelsefullt. I de flesta mekanikproblem betraktas rörelsen av icke-fria system, det vill säga system vars rörelser begränsas av begränsningar . Exempel på sådana system är alla typer av maskiner och mekanismer, där anslutningarna är lager, gångjärn, kablar etc. och för landtransport, vägbädd eller räls. För att studera rörelsen hos ett icke-fritt system, baserat på icke-variationsprinciper, är det nödvändigt att ersätta effekten av bindningarnas verkan med några krafter som kallas för bindningarnas reaktioner . Men storleken på dessa reaktioner är inte kända i förväg, eftersom de beror på vad de är lika med och var de givna ( aktiva ) krafterna som verkar på systemet appliceras, såsom till exempel gravitation , fjäderelasticitet , dragkraft, etc. ., och även om hur systemet rör sig. Därför kommer de sammanställda rörelseekvationerna att inkludera ytterligare okända storheter i form av tvångsreaktioner, vilket vanligtvis avsevärt komplicerar hela lösningsprocessen.

Fördelen med variationsprinciper är att de omedelbart ger rörelseekvationerna för motsvarande mekaniska system som inte innehåller okända tvångsreaktioner. Detta uppnås genom det faktum att effekten av förbindelsernas verkan inte beaktas genom att ersätta dem med okända krafter (reaktioner), utan genom att beakta de förskjutningar eller rörelser (eller ökningar av hastigheter och accelerationer) som är punkterna i detta system kan ha i närvaro av dessa kopplingar. Till exempel, om en punkt M rör sig längs en given slät (ideal) yta, vilket är en anslutning för den, så kan effekten av denna anslutning tas med i beräkningen

Variationsprinciper

Innehållet i variationsprinciperna är att de fastställer egenskaper (tecken) som gör det möjligt att särskilja det sanna, det vill säga, faktiskt inträffar under inverkan av givna krafter, rörelsen av ett mekaniskt system från vissa kinematiskt möjliga rörelser av det (eller systemets jämviktstillstånd från dess andra möjliga tillstånd). Vanligtvis består dessa egenskaper (tecken) i det faktum att för sann rörelse har en fysisk kvantitet, som beror på systemets egenskaper, det minsta värdet jämfört med dess värden i alla betraktade kinematiskt möjliga rörelser. I det här fallet kan variationsprinciperna skilja sig från varandra i form av den angivna fysiska kvantiteten och egenskaperna hos de övervägda kinematiskt möjliga rörelserna, såväl som egenskaperna hos de mekaniska systemen själva, för vilka dessa principer är giltiga. Användningen av variationsprinciper kräver tillämpning av metoderna för variationskalkylen .

Till formen delas variationsprinciper in i den så kallade differentialen, där det fastställs hur systemets verkliga rörelse skiljer sig från de rörelser som är kinematiskt möjliga vid varje given tidpunkt, och integral, där denna skillnad är etablerad. för de rörelser som utförs av systemet under en begränsad tidsperiod.

Differentiella variationsprinciper inom ramen för mekaniken är mer generella och praktiskt giltiga för alla mekaniska system. Integrala variationsprinciper i sin vanligaste form är endast giltiga för de så kallade konservativa systemen, det vill säga system där lagen om bevarande av mekanisk energi äger rum. Men till skillnad från differentiella variationsprinciper och icke-variationsprinciper inkluderar de istället för krafter en sådan fysisk kvantitet som energi , vilket gör det möjligt att utvidga dessa principer till icke-mekaniska fenomen, vilket gör dem viktiga för all teoretisk fysik .

Differentiella principer

De viktigaste differentiella variationsprinciperna inkluderar:

  1. principen om möjliga förskjutningar , som fastställer jämviktsvillkoret för ett mekaniskt system med idealiska anslutningar; enligt denna princip skiljer sig jämviktspositionerna för ett mekaniskt system från alla andra möjliga positioner för det genom att endast för jämviktspositioner summan av elementära arbeten av alla (aktiva och reaktiva) krafter som appliceras på systemet vid varje möjlig förskjutning av systemet är lika med noll.
  2. d'Alembert-Lagrange-principen , enligt vilken den verkliga rörelsen av ett mekaniskt system med idealiska förbindelser skiljer sig från alla kinematiskt möjliga rörelser genom att endast för sann rörelse vid varje tidpunkt, summan av de elementära verken av alla aktiva, reaktiva och tröghetskrafter som appliceras på systemet vid alla möjliga förskjutningssystem är noll. I dessa variationsprinciper är den betraktade fysiska kvantiteten krafternas verk.

De differentiella variationsprinciperna inkluderar även Gauss-principen ( principen om minsta begränsning ), i vilken den fysiska storheten i fråga är den så kallade "tvingningen", uttryckt i termer av givna krafter och accelerationer av systemets punkter, samt den nära angränsande Hertz- principen ( principen om minsta krökning ).

Integralprinciper

De integrerade variationsprinciperna inkluderar principerna för den minsta (stationära) handlingen , enligt vilka den sanna bland de övervägda kinematiskt möjliga rörelserna av systemet mellan dess två positioner är den för vilken den fysiska kvantiteten, kallad handlingen, har ett minimivärde . Olika former av dessa principer skiljer sig från varandra i valet av åtgärdens storlek och i egenskaperna hos systemets kinematiskt möjliga rörelser jämfört med varandra.

Både icke-variationella och variationsprinciper etablerades i processen att studera egenskaperna hos mekaniska system och lagarna för deras rörelse. Eftersom mekaniska fenomen, liksom andra fysikaliska fenomen, är föremål för många regelbundenheter, visar sig ett antal principer, inklusive variationer, vara giltiga för motsvarande mekaniska system. Om någon av dem tas som den initiala, erhålls från det, som en konsekvens, inte bara rörelseekvationerna för ett givet system, utan också alla andra principer som är giltiga för detta system.

Applikation

Variationsprinciper används både för att sammanställa rörelseekvationer för mekaniska system i den enklaste formen, och för att studera de allmänna egenskaperna hos dessa rörelser. Med en lämplig generalisering av begrepp används de även inom kontinuummekanik , termodynamik , elektrodynamik , kvantmekanik , relativitetsteori etc. Ur synvinkel att implementera variationsprinciper, i synnerhet Lagrangeprincipen, skiljer man olika metoder åt. I det allmänna fallet ger kravet på stationaritet för Lagrangian ett system av partiella differentialekvationer och ett motsvarande spektrum av initiala gränsvärdeproblem ( Eulerekvationerna ). Om den allmänna formuleringen är tredimensionell, gör Vlasov-metoden det möjligt att reducera problemets dimension, reducera det till en tvådimensionell (exempel - skalteori ), till ett system av vanliga differentialekvationer (exempel - stavteori ) eller till ett finit/oändligt algebraiskt ekvationssystem ( Rayleigh-Ritz-metoden , finita elementmetod ).

Historik

Även forntida naturfilosofer (till exempel Aristoteles ) antog att "naturen inte gör något förgäves och i alla dess yttringar väljer den kortaste eller lättaste vägen" [1] . Den specifika innebörden av begreppen "kortast" eller "lättast" specificerades dock inte [2] . Claudius Ptolemaios visade att när en ljusstråle reflekteras är dess totala väg den kortaste när infallsvinkeln är lika med reflektionsvinkeln, vilket observeras i praktiken. Han varnade dock för att vid ljusbrytning skulle vägen (den streckade linjen) inte längre vara den kortaste [3] .

Den första variationsprincipen i vetenskapens historia formulerades av Pierre de Fermat 1662, och han hänvisade specifikt till ljusets brytning. Fermat visade att kriteriet i detta fall inte är vägen, utan tiden - strålen bryts i en sådan vinkel att den totala restiden är minimal [4] . I modern notation kan Fermats princip skrivas på följande sätt:

Här  är brytningsindex för mediet [3] .

Matematisk forskning och utveckling av Fermats princip utfördes av Christian Huygens [5] , varefter ämnet diskuterades aktivt av 1600-talets största vetenskapsmän. Leibniz introducerade det grundläggande handlingsbegreppet i fysiken 1669 : "Rörelsens formella handlingar är proportionella mot ... produkten av mängden materia, avstånden de färdas och hastigheten."

Parallellt med analysen av mekanikens grunder utvecklades metoder för att lösa variationsproblem. Isaac Newton i sin " Matematical Principles of Natural Philosophy " (1687) satte och löste det första variationsproblemet: att hitta en sådan form av en revolutionskropp som rör sig i ett motståndskraftigt medium längs dess axel, för vilket motståndet skulle vara det minsta. . Nästan samtidigt uppträdde andra variationsproblem: problemet med brachistochrone (1696), formen på kontaktledningen , etc.

De avgörande händelserna ägde rum 1744. Leonhard Euler publicerade det första allmänna arbetet om variationskalkylen ("En metod för att hitta kurvor som har egenskaperna för ett maximum eller minimum"), och Pierre-Louis de Maupertuis , i sin avhandling "Avhandling av olika naturlagar, som hittills verkade oförenlig" gav den första formuleringen av principen om minsta handling : "Vägen som följs av ljuset är den väg för vilken mängden handling kommer att vara den minsta." Han visade uppfyllelsen av denna lag för både reflektion och brytning av ljus. Som svar på en artikel av Maupertuis publicerade Euler (samma år 1744) verket "On the determination of the motion of thrown bodies in a non-resisting medium by the method of maxima and minima", och i detta arbete gav han Maupertuis princip är en allmän mekanisk karaktär: "Eftersom alla naturfenomen följer någon lag om maximum eller minimum, så råder det ingen tvekan om att för krökta linjer som beskriver kastade kroppar, när några krafter verkar på dem, någon egenskap av maximum eller minimum äger rum. Vidare formulerade Euler denna lag: en kropps bana utför han sedan tillämpade den, härledde rörelselagarna i ett enhetligt gravitationsfält och i flera andra fall.

År 1746 instämde Maupertuis i ett nytt verk i Eulers åsikt och proklamerade den mest allmänna versionen av hans princip: ”När en viss förändring inträffar i naturen, är mängden av åtgärder som krävs för denna förändring den minsta möjliga. Mängden verkan är produkten av kropparnas massa, deras hastighet och avståndet de tillryggalägger. I den efterföljande breda diskussionen stödde Euler Maupertuis prioritet och argumenterade för den nya lagens universella karaktär: "hela dynamiken och hydrodynamiken kan avslöjas med förvånande lätthet med hjälp av metoden maxima och minima enbart" [3] .

Ett nytt skede började 1760-1761, när Joseph Louis Lagrange introducerade det strikta konceptet med variation av en funktion, gav variationskalkylen ett modernt utseende och utvidgade principen om minsta verkan till ett godtyckligt mekaniskt system (det vill säga inte bara till gratis materialpoäng). Detta markerade början på analytisk mekanik. En ytterligare generalisering av principen utfördes av Carl Gustav Jacob Jacobi 1837 - han ansåg problemet geometriskt, som att hitta extremerna av ett variationsproblem i ett konfigurationsrum med en icke-euklidisk metrik. Jacobi påpekade särskilt att i frånvaro av yttre krafter är systemets bana en geodetisk linje i konfigurationsutrymmet [3] .

1834-1835 publicerade William Rowan Hamilton en ännu mer allmän variationsprincip, från vilken alla tidigare följde som specialfall:

Här  är Lagrangian av det dynamiska systemet, och  är de generaliserade koordinaterna . Hamilton lade denna princip till grund för sin " hamiltonska mekanik " och gav lösningen på variationsproblemet i form av " kanoniska ekvationer ".

Hamiltons tillvägagångssätt visade sig vara mångsidigt och mycket effektivt i matematiska modeller av fysik, särskilt för kvantmekanik . Dess heuristiska styrka bekräftades i skapandet av den allmänna relativitetsteorin , när David Hilbert tillämpade den Hamiltonska principen för att härleda de slutliga ekvationerna av gravitationsfältet (1915).

Se även

Litteratur

Anteckningar

  1. ↑ Euler L. Avhandling om principen om minsta handling, med analys av invändningarna från den mest kända prof. Koenig, framförd mot denna princip // Variationsprinciper för mekanik. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  2. ↑ Rumyantsev V.V., 1935 , sid. 181..
  3. ↑ 1 2 3 4 Spassky B. I. Fysikens historia, i två volymer . - Ed. 2:a. - M . : Högre skola, 1977. - T. I. - S. 198-205.
  4. ↑ Fermat P. Syntes för refraktion // Variationsprinciper för mekanik. M.: Fizmatgiz, 1959. S. 96 - 108.
  5. ↑ Huygens X. Avhandling om ljus. M.-L.: Gostekhnzdat, 1935. 172 sid.