Diaschism

Diaschism ( andra grekiska διασχίσμα , lat.  diaschisma ), även reducerat kommatecken [1] - mikrointervall , lika med skillnaden mellan didyme (syntoniskt) kommatecken och schism och har således förhållandet mellan frekvenserna för det övre och undre ljudet lika till

En diaschism, såväl som en dur- och molldieses , motsvarar en minskad sekund i ren stämning (det vill säga ett intervall av formen C-Deses, Cis-Des, E-Fes, Eis-F [2] , etc. ).

Relation mellan diaschism och andra intervall

Diaschism kan uttryckas på olika sätt genom andra rena avstämningsintervall, som visas i följande tabell. Vart och ett av dessa uttryck kan tas som en definition av diaschism.

	diaschism som	motsvarande formel
ett	skillnad mellan liten diesa och didym komma
2	skillnaden mellan en minskad femma och en förstärkt fjärde (ren stämning)
3	skillnaden mellan två diatoniska halvtoner och en större helton

Ibland tas den första av ovanstående som huvuddefinition. Det kan illustreras på följande sätt. Om tre rena större tredjedelar (med ett frekvensförhållande på 5:4) skjuts upp från ljudet (tonhöjd) C i rad (med ett frekvensförhållande på 5:4): C-E-Gis-His , då ljudet His som erhålls i detta sätt kommer att vara lägre än ljudet c (som är en oktav över originalljudet C ), och intervallet His-c (reducerad sekund) kommer att vara lika med den lilla diesen (128:125). Om i denna kedja av tredjedelar C-E-Gis-His inte tas en av dem som en ren durterts, utan som en pytagoreisk (d.v.s. diton ), som är bredare än en ren durterts med ett didymiskt kommatecken, då His -ljudet vid kedjans ände kommer att visa sig vara högre än i den tidigare konstruktionen, med samma didyme-komma, och intervallet His-c kommer i detta fall att vara lika med skillnaden mellan den lilla diesa och didyme-komma, det vill säga, diaschism [3] .

För att bygga en diaschism från ett ljud med , kan du lägga två rena durtertsar och två (större) heltoner ner från det i valfri ordning, till exempel: c—As—Ges—Eses—Deses [4] , och sedan höja resulterande ljud ( Deses ) till en oktav upp. Den resulterande reducerade andra c—deses kommer att vara lika med diaschismen.

Den akustiska ojämlikheten hos en minskad kvint och en förstärkt fjärde i ren stämning illustreras enligt följande. Om vi ​​producerar följande fördröjning av intervall från originalljudet C :

C-F-G-H-f ,

där C-F är en perfekt fjärdedel (4:3), C-G är en perfekt kvint (3:2), G-H är en perfekt durterts (5:4), F-f är en oktav (2:1), då är förhållandet mellan frekvenserna för ljuden för den ökade fjärde F-H (45 : 32) kommer att vara mindre än förhållandet mellan frekvenserna för ljuden för den minskade femte H-f (64 : 45). Skillnaden mellan dessa intervall kommer att vara lika med diaschismen (se den andra raden i tabellen). Samtidigt visar sig den ökade fjärdedelen bestå av två dur (9:8) och en mindre (10:9) helton, och den förminskade kvintdelen består av en större, en mindre helton och två diatoniska halvtoner (16) : 15) [5] . Därför är diaschism också lika med skillnaden mellan två diatoniska halvtoner och en större helton (se 3:e raden i tabellen).

Andra samband kan påpekas som förbinder diaschism med olika intervall av rena och pytagoreiska stämningar. Till exempel är diaschism lika med skillnaden mellan limma och den mindre kromatiska halvtonen i den rena skalan (25:24):

Historisk information

Det första omnämnandet av termerna "diaschism" och "schism" i kända skriftliga källor finns - dessutom i latin, inte grekisk stavning - i Boethius avhandling "Musikens grunder" (Mus. III.8) [6] . Men Boethius, med hänvisning till Philolaus , ger dessa termer en annan betydelse än den som för närvarande accepteras:

I detta fragment av Boethius motsvarar intervallen "diesa" ("mindre halvton") och "komma" limma och pythagoreiskt komma , därför - med en strikt tolkning - hälften av dessa intervall har följande numeriska uttryck:

	förhållande (frekvenser)	värde i cent
hälften av kommatecken (schism enligt Boethius / Philolaus)		11,7300
hälften av limma (diaschism enligt Boethius / Philolaus)		45,1125

I modern teori kallas dessa två intervall ibland för filolaisk schism respektive diaschism [8] ; Boethius själv ger inga numeriska uttryck för den schism och diaschism han definierade.

Den boetiska förståelsen av diaschism (som "halvton av en mindre halvton", allmänt sett, utan ett exakt numeriskt uttryck) upprätthölls under hela medeltiden (av Regino Prümsky, Engelbert av Admont, Hieronymus av Mähren , Jakob av Liège , Pseudo-Thundsted , John Boen och många andra. .) och renässansen (Ugolino Orvietsky, Tinktoris , Glarean , etc.). Samtidigt, om dessa författare angav numeriska relationer för diaschism (eller schism), använde de inte det geometriska medelvärdet för att erhålla det numeriska uttrycket "halva" av motsvarande intervall (vilket skulle motsvara den strikta definitionen av halva intervallet, men samtidigt skulle leda till irrationella relationer [9] ), men i de flesta fall, det aritmetiska medelvärdet eller det harmoniska medelvärdet [10] .

F. Salinas nämner i sin avhandling "Sju böcker om musik" ( 1577 ) bara kortfattat schism och diaschism i den boethiska förståelsen (noterar irrationaliteten i dessa "de gamlas intervall"). Han ger dock numeriska relationer som motsvarar de för närvarande accepterade definitionerna av dessa intervall: han beräknar intervallet som ett ”överskott” ( latin ”excessus” ) av två halvtoner ( ) över en större helton; och intervallet - som överskottet av det pytagoreiska kommatecken över det "harmoniska" ( lat. komma harmonicum ), det vill säga didymiskt [11] .   

En märklig omvandling av förståelsen av den boethiska definitionen av schism och diaschism inträffade under New Age, när den rena (quinto-tertz) stämningen, vars grunder till teorin lades av J. Tsarlino och F. Salinas , redan hade bli den allmänt accepterade grunden för läran om musikaliska intervaller. Så till exempel anger A. Werkmeister (delvis med hänvisning till Barifon ) i sin tabell över intervaller [12] bland annat följande:

Werkmeister ger inga kommentarer till dessa definitioner av schism och diaschism, men från de angivna numeriska värdena är det tydligt att en så liten och stor schism erhålls genom att dividera didyme-kommet ( ) "i hälften" - närmare bestämt av dividera med hjälp av det aritmetiska medelvärdet ( ) med två, åtminstone och väldigt lite olika varandra, men ojämna delar. På liknande sätt motsvarar en stor och en mindre diaschism två delar ("halvor") av en diatonisk halvton ( ), erhållen med det aritmetiska medelvärdet ( ). I princip motsvarar detta de boetiska definitionerna av schism som en halv av ett kommatecken och diaschism som en halv av en (mindre) halvton, om vi med komma inte menar pythagoras, utan didymiskt komma, med halvton - inte limma, utan en diatonisk halvton i ett rent system ( ), och slutligen för att göra en division intervallet "i hälften" med aritmetiken, inte det geometriska medelvärdet. (Eftersom resultatet är ojämlika delar, är termerna "stor" och "liten" nödvändigtvis närvarande.)

J.-F. Rameau citerar i sin Treatise on Harmony (1722) ett intervall som kallas "minskad komma" och definierar en mindre diesa ( ) som ett intervall bestående av två kommatecken (det vill säga didymiska och förminskade) [13] . I ett senare verk ("The New System of Theoretical Music", 1726) kallar han det reducerade kommatecken litet, vilket skiljer det från det stora (det vill säga didyme, ). Skillnaden mellan dessa meddelanden (motsvarande schismen i den moderna definitionen, ) kallar Rameau det "minsta halvkomma" ( fr. Sémi-Comma minime ) [14] . L. Euler kallar i sin "Experience of a New Theory of Music" (1739) intervallet för diaschism och definierar det som skillnaden mellan en liten diesa och ett (didymiskt) kommatecken [15] .  

Definitionen av schism som ett intervall dyker upp senast under 1:a fjärdedelen av 1800-talet [16] . Den är accepterad för närvarande, liksom Eulers definition av diaschism, och fixerades tillsammans med den i tabellerna över musikaliska intervaller av G. Riemann [17] och A. J. Ellis [18] . Terminologin som definieras av dessa tabeller utgör grunden för modern [19] .

Anteckningar

1. ↑ term J.-F. Rameau ("Treatise on Harmony", 1722).
2. ↑ Sådana intervaller i ren stämning är inte unisons, det vill säga de består av ljud med väldigt olika tonhöjder .
3. ↑ Om alla tre större tredjedelar i den specificerade kedjan C-E-Gis-His är pytagoreiska (det vill säga lika med ditoner ), så kommer det resulterande ljudet His att vara högre än ljudet c med ett pytagoreiskt kommatecken; om två av dessa tredjedelar är pytagoreiska, och en är ren, så kommer ljudet His att vara högre än ljudet c genom schism.
4. ↑ Här är c-As och Ges-Eses rena durtertsar som fastställs (5:4), och As-Ges och Eses-Deses är stora heltoner (9:8).
5. ↑ Det vill säga, den faktiska tritonen (ett intervall som består av tre toner) i den rena stämningen är just den ökade fjärden, och inte den reducerade kvinten. I detta avseende har J.-F. Rameau och andra teoretiker från 1700-talet kallade vanligtvis tritonen för den ökade fjärdedelen, men inte den minskade femman, medan för närvarande (i samband med antagandet av lika temperament ) båda angivna intervallen kallas " tritoner ".
6. ↑ Boethius. De institutione musica, liber III Arkiverad 2 februari 2011 på Wayback Machine )
7. ↑ Rysk översättning citerad från boken: A. M. S. Boethius. Fundamentals of Music / Förberedelse av texten, översättning från latin och kommentarer av S. N. Lebedev . - M . : Scientific Publishing Center "Moscow Conservatory", 2012. - P. 137. - xl, 408 s. - ISBN 978-5-89598-276-1 . .
8. ↑ Se till exempel artiklarna schisma Arkiverad 28 september 2009 på Wayback Machine och diaschisma Arkiverad 29 september 2009 på Wayback Machine i Tonalsoft® Encyclopedia of Microtonal Music Theory Arkiverad 29 maj 2007 på Wayback Machine .
9. ↑ Robert Fludd noterar till exempel att schism och diaschism (i strikt boethisk mening) inte kan uttryckas med "musikaliska proportioner", det vill säga förhållandet mellan heltal: "Pro schismate autem, quod est dimidium Comatis, [Boethius] negat ipsum in proportionem Musicam posse introduktion; Similis etiam est impossibilitas introducendi Diaschisma sub iisde m proportionibus" ( Utriusque cosmi metaphysica...(1617) Arkiverad 12 september 2014 på Wayback Machine , Vol. II, Tract. II, Pars II, Lib. III, Cap. II; s. 186).
10. ↑ Uppdelningen av limma med hjälp av det aritmetiska medelvärdet finns också hos Boethius själv ( Mus. IV.6 Arkivkopia av 13 november 2009 på Wayback Machine ) i samband med konstruktionen av tetrachords av enharmoniskt släkte . Resultatet av en sådan division är intervallen 512: 499 och 499: 486 (talet 499 är det aritmetiska medelvärdet av talen 512 och 486, vars förhållande 512: 486 = 256: 243 motsvarar limma), var och en av som Boethius kallar diesa , utan att på något sätt notera deras formella ojämlikhet, och inte heller ett möjligt samband med diaschism, definierad av honom tidigare. Dessa intervall (512:499 och 499:486) avviker från "exakt halvlimma" ( ) med mindre än 0,5878  cent .
11. ↑ F. Salinas. De Musica libri Septem, Liber II Arkiverad 19 juni 2010 på Wayback Machine Cap. XVIII och XXIII.
12. ↑ A. Werckmeister. Hodegus Curiosus (Musikguide), Cap. XXV.
13. ↑ J.-P. Rameau. Traite de l'harmonie, TI, I.5 .
14. ↑ J.-P. Rameau. Nouveau Systême de Musique Theorique Arkiverad 20 juni 2010 på Wayback Machine , kap. III. I detta arbete definierar Rameau fem typer av "semicomms" - den minsta, lilla, medelstora, stora och största ( fr.  minime, mineur, moyen, majeur, maxime ).
15. ↑ L. Euler. Tentamen novae theoriae musicae, 1739 Arkiverad 19 juli 2010 på Wayback Machine . Keps. VII. Termen "schism" och attityd förekommer inte i detta arbete.
16. ↑ Det finns till exempel i P. Lichtenthals musikordbok ( P. Lichtenthal. Dizionario e bibliografia della musica . - Fontana, 1826. )
17. ↑ På ryska för första gången - i upplagan av Riemanns "Musikordbok", redigerad av Yu. Engel. - M., Leipzig, 1901, s. 955-960; Tabell över intervall enligt Riemann Musiklexicon, i boken. Yu. N. Kholopova "Harmony" Arkivexemplar av 19 september 2011 på Wayback Machine
18. ↑ Se intervalltabellen i tillägget skrivet av Ellis till den engelska utgåvan av H. Helmholtz bok "The doctrine of auditory sensations as a physiological base for theory of music" ( H. Helmholtz. On the sensations of tone as en fysiologisk grund för musikläran, 1895 ), With. 453.
19. ↑ Samtidigt, på 1800-talet, kallades det pytagoreiska kommatecken ibland "diaschism" (till exempel i boken av R. Brown. [https://archive.org/details/elementsmusical00browgoog Elements of musical science . - 1860. ]), och i litteraturen enligt stämning av musikinstrument (främst tyska) fram till mitten av 1900-talet, som ett numeriskt förhållande för diaschism, valdes det ofta, som skiljer sig från det "matematiskt korrekta" förhållandet genom attmindre än en hundradels cent. Bråketär det första matchande bråket för.

Litteratur

• Volkonsky, A. Grunderna i temperamentet. - M .: Kompositör, 1998. - ISBN 5-85285-184-1 .
• Kholopov, Yu. N. Harmony. Teoretisk kurs. - M . : Musik, 1988. ; 2:a tillägg. utg., St. Petersburg, 2003.
• Werckmeister, Andreas. Musicae Mathematicae Hodegus Curiosus eller Richtiger Musicalischer Weg-Weiser (Musikguide). — Frankfurt u. Leipzig (Quedlinburg): Th. P. Calvisius , 1687 _ _
• Rameau, Jean-Philippe. Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (Treatise on Harmony). — Paris , 1722. _ _ _ _
• Euler, Leonard. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (Tractatus de musica) . - Petropol.: Typ. Acad. Sci, 1739. Rysk översättning: Euler, Leonard. Erfarenhet av en ny musikteori, tydligt uttryckt i enlighet med de oföränderliga principerna för harmoni / transl. från lat. N. A. Almazova. - St Petersburg: Ros. acad. Sciences, St Petersburg. vetenskaplig center, förlag Nestor-History, 2007. - ISBN 978-598187-202-0 .
• Riemann Musiklexikon, in vier Bänden und einem Ergänzungsband (12te Aufl.) / herausg. v. W. Gurlitt, C. Dahlhaus, H. H. Eggebrecht. — Schott, 1995.

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Musikal Riemann