Konform kartläggning

En konform mappning är en kontinuerlig mappning som bevarar vinklarna mellan kurvorna och därav formen på infinitesimala figurer.

Definition

En en-till-en-mappning av en domän D på en domän D * ( Euklidiskt utrymme eller Riemannmanifold ) kallas konform ( lat. conformis - liknande) om, i ett område av någon punkt D , skillnaden för denna transformation är sammansättning av en ortogonal transformation och en homoteti .

Denna term kommer från komplex analys , som ursprungligen endast användes för konforma kartläggningar av planområden.

Om orienteringen är bevarad under en konform kartläggning , så talar man om en konform kartläggning av det första slaget ; om det ändras till motsatsen, så talar man om en konform kartläggning av det andra slaget eller en antikonform kartläggning .
Två mått på ett jämnt grenrör sägs vara konformt ekvivalenta om det finns en jämn funktion så att . I det här fallet kallas funktionen en konform faktor . $g,{\tilde g}$ $M$ $\psi :M\to \mathbb{R}$ ${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$ ${\displaystyle e^{\psi ))$ ${\tilde g}$

En konform kartläggning bevarar formen av infinitesimala figurer;
En konform kartläggning bevarar vinklarna mellan kurvorna vid deras skärningspunkter ( vinkelbevarande egenskap ).
- Denna egenskap kan också tas som definitionen av en konform mappning.
Riemanns teorem : Varje enkelt ansluten öppen domän i planet förutom hela planet tillåter en konform bijektion på enhetsskivan.
Liouvilles teorem : Varje konform kartläggning av en domän av euklidisk rymd vid kan representeras som en överlagring av ett ändligt antal inversioner . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geq 3$
Weil-kurvaturen bevaras under en konform mappning, det vill säga om och är konformt ekvivalenta metriska tensorer , då ${\tilde g}$ $g$ ${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

var och betecknar Weyl-tensorerna för respektive .

{\tilde W}

W

{\tilde g}

g

Anslutningar är relaterade med följande formel: ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .$
Krökningarna är relaterade med följande formel: $g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ $-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0

Hess_{\psi }

\psi

I det tvådimensionella fallet , så formeln kan skrivas som $|\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2}$

e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangel _{g}\psi

där betecknar Laplacian med avseende på .

\triangle _{g}

g

För ett ortonormalt vektorpar och , kan tvärsnittskrökningen i riktningen skrivas enligt följande: $X$ $Y$ $X\wedge Y$ ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot [Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

var .

f=e^{{-\psi }}

När man beräknar den skalära krökningen för ett dimensionellt Riemann-grenrör är det bekvämare att skriva den konforma faktorn i formuläret . I detta fall: $n$ ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$ ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{ \frac {n-2}{n+2}}$

Det enklaste exemplet är likhetstransformationer , de tar ut alla konforma kartläggningar av hela det euklidiska rummet på sig själv;
Inversion är en konform kartläggning av det andra slaget;
Varje holomorf funktion vars invers också är holomorf definierar en konform avbildning av den första typen av motsvarande domän i det komplexa planet ;
Stereografisk projektion .

Konform kartläggning används inom kartografi , elektrostatik för att beräkna fördelningen av elektriska fält [1] , kontinuummekanik ( hydro- och aeromekanik , gasdynamik , elasticitetsteori , plasticitetsteori , etc.).

Aleshkov Yu Z. Föreläsningar om teorin om funktionen av en komplex variabel, St. Petersburg: förlag vid St. Petersburg State University, 1999;
Ivanov V. I. Konforma kartläggningar och deras tillämpningar (en kort historisk uppsats). // Historisk och matematisk forskning . - M. : Janus-K, 2001. - Nr 41 (6) . — S. 255-266. .
Carathéodory K. Konform kartläggning. M.-L.: ONTI Statens tekniska och teoretiska förlag, 1934 / Per. från engelska. M.V. Keldysha
Lavrentiev M.A. Konforma mappningar. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 sid.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.
Yanushauskas AI Tredimensionella analoger av konforma mappningar. Novosibirsk: Nauka, 1982. 173 s., 2650 ex.
Radygin V. M. , Polyansky I. S. Metoder för konforma kartläggningar av polyedrar i // Vestn. Udmurtsk. universitet Matta. Päls. Dator. Nauki, 27:1 (2017), 60–68. $\mathbb {R} ^{3}$

↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (tyska) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 . — S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01656573 .