Gauss-metod (omloppsbestämning)

Gaussmetoden inom himlamekanik och astrodynamik används för att initialt bestämma parametrarna för en himlakropps omloppsbana från tre observationer.

I praktiken används fler observationer för att öka noggrannheten, men tre räcker i teorin. Förutom de himmelska koordinaterna för objektet är den nödvändiga informationen observationstiderna och de terrestra koordinaterna för observationspunkterna.

Historik

År 1801 upptäcktes Ceres , men under en tid var dess observationer svåra på grund av dess närhet till solen, varefter det var svårt att hitta den igen på himlen. Carl Friedrich Gauss satte sig själv i uppgift att bestämma dess omloppsbana utifrån tillgängliga observationer, på grund av vilka han fick världsberömdhet [1] . Metoden som beskrivs nedan är dock endast lämplig för att bestämma banor med fokus i kroppen från vilka observationer görs, så Gauss problem var svårare.

Positionsvektorn för observatören

Observatörens positionsvektor (i det ekvatoriala koordinatsystemet ) kan beräknas genom att känna till observationsplatsens latitud och lokal siderisk tid :

\mathbf {R_{n}} =\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}} ))+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +\sin \theta _{n}\ \mathbf { \hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n))))+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K))

eller:

\mathbf {R_{n)) =R_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +R_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K)) ,

var:

$\mathbf {R_{n}}$ är observatörens positionsvektor;
$Re}$ är ekvatorialradien för den kropp på vilken observatören befinner sig;
$f$ - kroppens oblatitet vid polerna (till exempel för jorden - 0,003353);
$\phi _{n}$ — geodetisk latitud;
${\displaystyle \phi '_{n))$ — Geocentrisk latitud.
$H_n$ - höjd;
$\theta_n$ - lokal siderisk tid.

Riktningsvektor till objekt

Riktningsvektorn till ett objekt kan beräknas med hjälp av deklination och högeruppstigning :

\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}}=\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \ delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K))

var:

$\mathbf {{\hat {\rho ))_{n))$ är enhetsriktningsvektorn till objektet;
$\delta _{n}$ - deklination;
$\alpha_{n}$ - höger uppstigning.

Orbit definition

Därefter måste du få avståndsvektorn till objektet, och inte bara enhetsriktningsvektorn till det.

Steg 1

Intervallet mellan observationer beräknas:

\tau _{1}=t_{1}-t_{2}

\tau _{3}=t_{3}-t_{2}

\tau =t_{3}-t_{1},

var är observationstiderna. $t_{n}$

Steg 2

Vektorprodukter beräknas :

\mathbf {p_{1}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{2}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{3}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Steg 3

Blandade produkter beräknas :

D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1} } \cdot (\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}} )

D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{13}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{23}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{33}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}}

Steg 4

Positionskoefficienter beräknas:

A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{ 32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)

B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\ frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{ 1}}{\tau}}\right]

E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Steg 5

Modulen för observatörens positionsvektor vid tidpunkten för den andra observationen beräknas:

{R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}}

Steg 6

Polynomkoefficienterna beräknas för att hitta avståndet:

a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)

b=-2\mu B(A+E)

c=-\mu ^{2}B^{2},

var är gravitationsparametern för kroppen som rotationen äger rum kring. $\mu$

Steg 7

Vi letar efter lösningar på ekvationen:

{r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0,

var är avståndet till objektet vid tidpunkten för den andra observationen. $r_{2}$

En kubikekvation kan ha upp till tre reella rötter. Om det finns mer än en av dem måste du kontrollera var och en av dem.

Steg 8

Avstånden från observationspunkter till objektet beräknas vid varje observationsögonblick:

\rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{ \tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\ vänster(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]

{\displaystyle \rho _{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3))))

\rho _{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{ \tau _{1))}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1))}\right){r_{2))^{3}+\mu D_{13}\ vänster(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]

Steg 9

Objektets positionsvektorer beräknas (i det ekvatoriala koordinatsystemet ):

\mathbf {r_{1}} =\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}}

\mathbf {r_{2}} =\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

\mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

Steg 10

Lagrangekoefficienterna beräknas . På grund av denna punkt blir definitionen av banor felaktig:

f_{1}\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu {{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^ {2}

f_{3}\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu {{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^ {2}

g_{1}\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {1}}^{3}

g_{3}\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {3}}^{3}

Steg 11

Objektets hastighetsvektor beräknas vid tidpunkten för den andra observationen (i det ekvatoriala koordinatsystemet):

\mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_ {1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)

Steg 12

Nu vet vi objektets position och hastighet vid en tidpunkt. Därför är det möjligt att bestämma parametrarna för omloppsbanan [2] .

Anteckningar

↑ Gauss . Hämtad 11 mars 2020. Arkiverad från originalet 15 maj 2012. (obestämd)
↑ Orbital mekanik för ingenjörsstudenter . Hämtad 11 mars 2020. Arkiverad från originalet 10 november 2020. (obestämd)

Litteratur

Der, Gim J.. "Nya algoritmer endast för vinklar för initial omloppsbestämning." Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). skriva ut _

Himmelsk mekanik

Lagar och uppgifter	Newtons lagar Tyngdlagen Keplers lagar Två kroppsproblem Tre kroppsproblem Gravitationsproblem med N-kroppar Bertrands problem Keplers ekvation
Himmelssfär	Himmelskt koordinatsystem galaktisk horisontell ekvatorial ekliptika Internationellt himmelsk koordinatsystem Sfäriskt koordinatsystem världsaxeln Himmelska ekvatorn rätt uppstigning deklination Ekliptika Dagjämning Solstånd grundplan
Orbitparametrar _	Kepleriska element i omloppsbanan excentricitet halvstor axel betyda anomali stigande nod longitud periapsis argument Apocenter och periapsis Orbital hastighet Orbit nod Epok
Rörelse av himlakroppar	Solens och planeternas rörelse i himmelssfären Efemerid Planetkonfigurationer konfrontation förening kvadratur förlängning parad av planeter Förmörkelse solförmörkelse månförmörkelse saros Metonisk cykel Beläggning Genomgång klimax siderisk period synodisk period Rotationsperiod orbital resonans Equinox Prelude Närmande librering Tyngdkraftens omfattning Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov-effekt

Astrodynamik

Rymdfärd	rymdhastighet första (cirkulär) andra (parabolisk) tredje fjärde Tsiolkovskys formel Tyngdkraftsmanöver Hohmanns bana Metod för att oskulera element Tidvattenacceleration Orbital lutning förändring Interplanetära transportnät Dockning Lagrange poäng Pionjäreffekt
SC -banor	geostationär bana Heliocentrisk bana geosynkron bana geocentrisk bana geoöverföringsbana Låg jordbana polär bana Bana "Tundra" Solsynkron bana Orbit "Lightning" Oskulerande bana