Koordinera transformation

Koordinattransformation är ersättandet av ett koordinatsystem på ett plan, i rymden eller, i det mest allmänna fallet, på ett givet dimensionellt grenrör . $n$

Ett exempel på övergången från polära koordinater till kartesiska i det euklidiska planet : ${\displaystyle \{r,\varphi \))$ ${\displaystyle \{x,y\))$

{\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases))

Oftast utförs koordinattransformation för att gå över till en enklare eller bekvämare matematisk modell för analys . Till exempel är ekvationerna för vissa plankurvor i polära koordinater mycket enklare än i kartesiska, och för att studera axisymmetriska kroppar är det bekvämt att rikta en av koordinataxlarna längs symmetriaxeln.

Definition

Koordinattransformation är en uppsättning regler [1] som associerar varje uppsättning koordinater på något dimensionellt grenrör med en annan uppsättning koordinater : $\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}$ $n$ $\{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}$

{\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2} '(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\\dots \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\dots x_ {n})\end{cases}}

I det här fallet, efter transformationen, måste en en-till-en-överensstämmelse mellan grenrörets punkter och uppsättningar av koordinater bevaras (undantag är tillåtna för vissa singulära punkter).

Denna transformation kan tolkas på två sätt [2] .

Passiv synvinkel - det finns en förändring i koordinaterna för grenrörets punkter. Alla poäng finns kvar på sina platser.
Aktiv synvinkel - transformationen tilldelar varje punkt i grenröret en annan punkt. Koordinatsystemet förändras inte.

Exempel för det euklidiska planet :

{\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases))

Denna transformation kan tolkas på ett av två sätt.

Koordinatsystemförändring som ökar abskissan för alla punkter med 1.
Översätt alla punkter i planet med 1 parallellt med axeln $x.$

För en sammanfattning av de grundläggande transformationsformlerna för koordinatsystem av praktisk betydelse, se artikeln Koordinatsystem .

Klassificering

Beroende på typen av formler kan alla koordinattransformationer grupperas i olika klasser med vanliga typiska egenskaper. Följande är några praktiskt viktiga klasser av transformationer som kan kombineras med varandra.

Isometri - transformationer som bevarar alla längder. Inklusive:
- Rotation runt en punkt eller axel.
- Parallell överföring .
- Reflektion . Kombinationen av dessa tre typer kallas rörelse .
En konform kartläggning som bevarar alla vinklar. Inklusive:
- Likhet - vinklar bevaras, men alla längder multipliceras med något konstant sträck/kompressionsförhållande.
Affin transformation .

Vanligtvis är en framstående klass en grupp av transformationer i betydelsen allmän algebra , dvs sammansättningen av två transformationer tillhör samma klass och för varje transformation finns en invers. Studiet av denna grupp gör det möjligt att peka ut symmetrier och invarianter av transformationer.

Invarianter

En invariant av denna koordinattransformation är en funktion av koordinater, vars värden inte ändras efter transformationen [3] . Till exempel ändrar inte rotationer och translationer avståndet mellan punkter i det euklidiska rummet. Invarianter är en viktig egenskap hos en transformationsgrupp.

Se även

Litteratur

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner. - ed. 13:e. — M .: Nauka, 1986. — 544 sid.
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid.
Yaglom I. M. Geometriska transformationer. Volymerna 1, 2. - M .: Gostekhizdat, 1956, 612 sid.

Länkar

Zaslavsky A. A. Geometriska transformationer Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine .

Anteckningar

↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 362..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 362-363..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 363..