Syllogistisk

Syllogistik ( antikgrekiska συλλογιστικός  inferential ) är en teori om logisk slutledning som studerar slutledningar som består av kategoriska påståenden (bedömningar).

Inom syllogistik, till exempel, beaktas slutsatser av en slutsats från en premiss (direkta slutledningar), "komplexa syllogismer" eller polysyllogismer som har minst tre premisser. Syllogistiken ägnar dock den största uppmärksamheten åt teorin om en kategorisk syllogism som har exakt två premisser och en slutsats av den angivna typen. Klassificeringen av olika former (lägen) av syllogismer och deras motivering gavs av grundaren av logiken Aristoteles . Senare förbättrades syllogistiken av olika skolor av antika (peripatetiker, stoiker) och medeltida logiker. Trots tillämpningens begränsade karaktär, noterad av F. Bacon , R. Descartes , J.S. Mill och andra vetenskapsmän, har syllogistik länge varit en integrerad traditionell del av den "klassiska" liberala konstutbildningen, varför den ofta kallas traditionell logik . Med skapandet av kalkylen för matematisk logik blev syllogistikens roll mycket blygsam. Det visade sig i synnerhet att nästan hela dess innehåll (nämligen alla slutsatser som inte beror på antagandet att ämnesområdet är icke-tomt, vilket är karakteristiskt för syllogistik) kan erhållas med hjälp av ett fragment av predikatkalkyl, nämligen: enställs predikatkalkyl. Också erhållit (som börjar med J. Lukasevich , 1939 ) ett antal axiomatiska presentationer av syllogistics i termer av modern matematisk logik .

Typer av domar

Ett uttalande där det sägs att alla objekt i en klass har eller inte har en viss egenskap kallas generell (allmänt bekräftande respektive generellt negativ). Ett uttalande där det anges att vissa objekt i en klass har eller inte har en viss egenskap kallas privat (respektive privat jakande eller privat negativ). Enligt Aristoteles är alla enkla påståenden indelade i följande sex typer: enkel jakande, enkel negativ, allmänt jakande, allmän negativ, särskilt jakande, särskilt negativ. Endast yttranden av de fyra sista typerna har en självständig roll, eftersom enhetsbejakande respektive enhetsnegativa påståenden reduceras till allmänt jakande respektive allmänt negativa påståenden för ämnesmängder som består av ett element. [1] .

Vanligtvis används symbolen S för att beteckna subjektet (klass av objekt) för påståendet och P för predikatet (egenskapen) .

På medeltiden, för uttalanden av fyra enkla typer, började de använda notationen med vokalerna i de latinska orden a ff i rmo - jag bekräftar, och n e g o  - jag förnekar [1] :

för ett allmänt jakande påstående: "Alla objekt i klass S har egenskapen P ". ("Alla S är P ".) Symboliskt: SaP  - med första bokstaven affirmo; för det allmänna negativa påståendet "Inget objekt i klass S har egenskapen P ". ("Inget S är P ".) Symboliskt: SeP  - med den första vokalen nego; för en viss positiv bedömning: "Vissa objekt av klass S har egenskapen P ". ("Vissa S är P. ") Symboliskt: SiP  - med bokstaven i i ordet affirmo; för en viss negativ proposition: "Vissa objekt i klass S har inte egenskapen P ". ("Vissa S är inte P. ") Symboliskt: SoP  - med bokstaven o i ordet nego.

Följaktligen började typerna av enkla uttalanden som hänför sig till klasser av objekt att betecknas med bokstäverna i det latinska alfabetet: A  - allmänt jakande, E  - allmänt negativt, I  - särskilt jakande, O  - särskilt negativt.

Alla dessa bedömningar på predikatlogikens språk har formen:

Samma formler kan omvandlas på samma sätt enligt följande:

Syllogistiskt resonemang

Aristoteles identifierar den viktigaste typen av deduktiva resonemang - de så kallade syllogistiska resonemangen, eller syllogismerna. Aristotelisk syllogism är ett schema för logisk slutledning (inferens), som består av tre enkla påståenden, som var och en har två termer (grundläggande strukturella enheter) S, M, P av en av de fyra angivna typerna A, E, I, O : första påståendet är en större premiss och innehåller termerna P och M ; den andra är en mindre premiss och innehåller termerna S och M ; den tredje är slutsatsen och innehåller termerna S och P . Som ett resultat är endast 4 typer av syllogismer möjliga: [1]

Här betecknar notationen SzP (liksom MxP och SyM , etc.), beroende på värdet av z , en av de fyra bedömningarna av typerna A, E, I, O . Varje figur ger följande antal syllogismer (scheman): . Eftersom det finns 4 figurer får vi syllogismer.

Den aristoteliska syllogistikens uppgift, briljant löst av Aristoteles själv, är att upptäcka alla de syllogismer (inferensscheman) som är giltiga, det vill säga är logiska konsekvenser. Det finns exakt 19 sådana syllogismer, som Aristoteles konstaterade, resten är felaktiga. Samtidigt visar sig 4 av 19 korrekta syllogismer vara villkorligt korrekta.

För att memorera de korrekta syllogismerna uppfann de medeltida skolastikerna följande mnemotekniska latinska dikt:

BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO que prioris;

CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO secundae;

Tertia DARAPTI*, DISAMIS, DATISI, FELAPTON*, BOCARDO, FERISON-alfabetet; quarta insuper addit

BRAMANTIP*, CAMENES, DIMARIS, FESAPO*, FRESISON.

Här betyder orden med versaler, eller snarare, vokalerna i dessa ord, bedömningarna A, E, I, O, som ersätter x, y, z i varje figur i syllogismen (orden i första raden i versen motsvarar den första siffran, den andra raden - andra, etc.) Det vill säga, för den första siffran, varianter av syllogismer (så kallade moder) av den första raden BARBARA (AAA), CELARENT (EAE), DARII (AII) ), FERIO (EIO) kommer att vara sant:

på liknande sätt, för andra figurer i syllogismen, tillämpas moder från den versrad som motsvarar figurens nummer.

Samtidigt bör det noteras att i aristotelisk logik betraktas alla klasser M, P, S som icke-tomma, det vill säga att de har minst ett element. Om detta inte beaktas erhålls uppenbara fel. Russells exempel : Låt M vara den (tomma) klassen "gyllene berg", P vara klassen "gyllene objekt" och S vara klassen "berg". Sedan har vi en tredje siffra modulo DARAPTI:

Alla gyllene berg är gyllene.

Alla gyllene berg är berg. -

Därför är vissa berg gyllene.

Av två sanna (tautologiska) påståenden får vi alltså inte på något sätt ett tautologiskt, utan uppenbart falskt påstående.

Eftersom modern matematik, fysik och till och med strukturell lingvistik ofta fungerar med tomma mängder, är det i detta fall omöjligt att använda de lägen som är markerade med asterisker (DARAPTI, FELAPTON, BRAMANTIP, FESAPO) [1] .

Formalisering av teorin om aristoteliska syllogismer

Den beskrivna formaliseringen uppfanns på 1950-talet av den polske logikern Lukasiewicz.

Låt små latinska bokstäver a, b, c, ... beteckna variabla termer för syllogistik, två latinska versaler A och I  — två syllogiska binära relationer: Aab : "Varje a är b ", Iab : "Några a är b ".

Begreppet formel ges av följande induktiva definition:

1) Aab och Iab  är enkla (eller atomära) syllogistiska formler;

2) om  - formler för syllogistik, då kommer formler för syllogistik också att vara ;

3) det finns inga andra formler, förutom de som erhålls enligt reglerna i punkterna 1 och 2.

Formulering av axiomen. Först anser vi att det finns någon formaliserad propositionskalkyl , så att dess axiom öppnar listan över axiom för formell syllogistik. Följande syllogiska meningar accepteras som speciella axiom:

(syllogism Barbara);

(syllogism Datisi).

Med hjälp av följande definitioner introducerar vi ytterligare två syllogiska binära relationer E' och O : Eab betyder , Oab betyder .

Systemet för formaliserad syllogistik FS accepterar två substitutionsregler och regeln om inferens modus ponens som slutledningsregler :

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 Bocharov V. A., Markin V. I. Introduktion till logik. - M .: ID "FORUM": INFRA-M, 2010. - 560 sid. - ISBN 978-5-8199-0365-0 (ID "FORUM") ISBN 978-5-16-003360-0 ("INFRA-M")

Litteratur

uppslagsverk Böcker
  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
I bibliografiska kataloger