Spinor

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En spinor ( eng. spin - rotate) är en speciell generalisering av begreppet vektor , som används för att bättre beskriva gruppen av rotationer i ett euklidiskt eller pseudo- euklidiskt utrymme.

Kärnan i spinorbeskrivningen av utrymmet V är konstruktionen av ett extra komplext linjärt utrymme S så att V är inbäddat i (i tensorprodukten av utrymmet S genom det komplexa konjugatet till sig självt). $S\otimes S^{*}$

Elementen i utrymmet S och kallas "spinorer"; ofta (men inte nödvändigtvis) saknar de någon direkt geometrisk betydelse.

På spinorer är det dock möjligt att "nästan" definiera verkan av en grupp av rotationer, nämligen: en rotation verkar på en spinor upp till en obestämd komplex faktor lika med modulo 1 (i enkla fall upp till ±1). kan representeras som vanliga komplexa vektorer , men i ett utrymme med ett antisymmetriskt mått, till exempel:

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Spinorindex kan vara prickade och icke-prickade, eftersom spinorn för vissa index transformeras som ett komplext konjugat.

Om det ursprungliga utrymmet V ansågs över fältet av reella tal , kommer vektorerna från V att beskrivas i S med hermitiska matriser . $\mathbb {R}$

En matematiskt rigorös motivering för en sådan konstruktion görs med hjälp av Clifford-algebra konstruerad från utrymmet V som studeras .

Spinorer ansågs först i matematik av E. Cartan 1913 . De återupptäcktes 1929 av B. van der Waerden i samband med forskning inom kvantmekanik .

Definition

En spinor av första rang är en vektor i ett tvådimensionellt komplext utrymme, som transformeras enligt formlerna: $a=(a_{1},a_{2})$

a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}

a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}

med transformationsdeterminant lika med ett:

{\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}}=1

Spinorn betecknas också som . $a$ $a_{k},(k=1,2)$

Koefficienterna är komplexa tal. $\alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)$

För varje spinor finns det en cospinor i det tvådimensionella komplexa utrymmet, som omvandlas av formlerna: $b=(b_{\dot {1)),b_{\dot {2)))$

b_{\dot {1}}^{'}={\bar {\alpha _{11}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\dot {2}}

b_{\dot {2}}^{'}={\bar {\alpha _{21}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\dot {2}}

där streck markerar komplexa konjugerade kvantiteter. Cospinors index är markerade med prickar. [ett]

Spinorer av högre rang är kvantiteter som omvandlas till produkter av spinorer av första rang. Till exempel omvandlas en spinor av andra rangen som en produkt av spinorer av första rang . En blandad spinor av andra rangen omvandlas som en produkt av spinorer av första rang . $a_{kl}(k,l=1,2)$ $a_{{k}}b_{{l}}$ $a_{{\dot {k}}l}({\dot {k}},l=1,2)$ $a_{\dot {k}}b_{l}$

I spinoralgebra, som i tensoralgebra, är regeln för summering över index som upprepas ovan och nedan giltig och det finns en metrisk spinor av andra rangen och definieras enligt följande: $e^{{kl}}$

a^{{k}}=e^{{kl}}a_{{l}}

a_{{k}}=e_{{kl}}a^{{l}}

e_{kl}=e_{lk}=e_{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e_{{\dot {l}}{\dot {k}}}={\begin{ pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

e^{kl}=e^{lk}=e^{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e^{{\dot {l}}{\dot {k}}}= {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Egenskaper

Koordinaterna för spinorer och cospinorer är relaterade till följande relationer:

a^{1}=a_{2}

... _

b^{\dot {1}}=b_{\dot {2}}

a^{2}=-a_{1}

... _

b^{\dot {2}}=-b_{\dot {1}}

Det absoluta värdet för en spinor av udda rang är noll:

a_{{l}}a^{{l}}=0

a_{{lmn}}a^{{lmn}}=0

a^{{l}}b_{{l}}c_{{m}}+a_{{l}}b_{{m}}c^{{l}}+a_{{m}}b^{{ l}}c_{{l}}=0

[2] .

Spinorer används för att introducera differentialoperatorer som är invarianta under binära transformationer.

Komponenterna i en fyrdimensionell gradient motsvarar operatorerna:

\partial _{1}^{1}=\partial _{{\dot {2}}1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial x^{2))}

-\partial _{2}^{\dot {2}}=\partial _{{\dot {1}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}-i{ \frac {\partial }{\partial x^{2}}}

-\partial _{1}^{\dot {2}}=\partial _({\dot {1}}{\dot {1}}}={\frac {\partial }{\partial x^{3 ))}-{\frac {\partial }{\partial x^{4))}

-\partial _{2}^{\dot {1}}=\partial _{{\dot {2}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{3}}}+{\ frac {\partial }{\partial x^{4))}

[1] .

Tredimensionellt utrymme

För att representera ett 3-dimensionellt utrymme som S är det nödvändigt att ta ett 2-dimensionellt komplext utrymme $S={\mathbb {C} }^{2}.$

Vektorer av tredimensionellt utrymme kommer att motsvara matriser med noll spår .

Spinorer i det 3-dimensionella euklidiska rummet har en algebra nära algebran för inre och vektorprodukter . Denna algebra medger en bekväm beskrivning i termer av Hamiltonian quaternions . Nämligen, med varje vektor x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) från reella (eller komplexa ) tal, kan du associera en komplex matris :

{\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=\left( {\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right),

var finns Pauli-matriserna (de är associerade med basvektorerna e 1 , e 2 , e 3 ). $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end {pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Matriser X av denna form, associerade med vektorer x , har följande egenskaper som internt relaterar dem till geometrin för det tredimensionella rummet:

det X = −(längd x ) 2 .
X 2 = (längd x ) 2 I , där I är identitetsmatrisen.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.$
${\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ,$ där Z är matrisen associerad med korsprodukten z = x × y .
Om u är en enhetsvektor så är UXU matrisen associerad med vektorn som erhålls från x genom reflektion i planet vinkelrät mot u .
Enligt linjär algebra är varje rotation i 3-dimensionell rymd representerad som två reflektioner. (På liknande sätt är varje omvänd ortogonal transformation antingen en reflektion eller en produkt av tre (vanligtvis ett udda tal) reflektioner.) Om R är en rotation representerad som två på varandra följande reflektioner i plan vinkelräta mot enhetsvektorerna u 1 och u 2 , då representerar matrisen U 2 U 1 XU 1 U 2 rotationen R av vektorn x .

Med ett effektivt sätt att representera hela geometrin för rotationer av 3-dimensionellt rymd som en uppsättning av komplexa 2×2-matriser, är det naturligt att undra vilken roll, om någon, 2×1-matriserna spelar. Låt oss tillfälligt kalla en kolumnvektor för en spinor:

\xi =\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\höger],

med komplexa komponenter ξ 1 och ξ 2 . Uppenbarligen verkar komplexa 2×2-matriser i spinorutrymmet. Dessutom definierar produkten av två reflektioner (för ett givet par enhetsvektorer) en 2x2 matris vars verkan på euklidiska vektorer är en rotation, så att den roterar spinorerna. Men det finns en viktig egenskap här - faktoriseringen av rotation är inte unik. Det är tydligt att om X → RXR −1 är en representation av en rotation, så kommer att ersätta R med − R att ge samma rotation. I själva verket kan det enkelt visas att detta är den enda osäkerhet som uppstår. Verkan av en rotationsoperation på en spinor är alltid tvåvärdig.

Minkowski space

Om vi lägger till identitetsmatrisen (numrerad 0) till de tre Pauli-matriserna får vi en spinorrepresentation av Minkowski-utrymmet M :

X=\sigma _{\mu }x^{\mu },\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.

I detta fall kommer ljusliknande vektorer (med längden noll) att motsvara degenererade matriser av formen , där . $\pm {\bar {\psi }}\ibland \psi$ $\psi \i S$

Korrespondensen mellan Minkowski-rymden och 2×2 hermitiska matriser: M ≈Herm(2) kommer att vara en-till-en .

Spinorer i fysik

Spinorer är ingalunda en rent abstrakt konstruktion som inte visar sig på något sätt i förhållande till verklighetens geometri. Många kvantiteter som påträffas i kvantmekaniken är spinorer (se spin , Dirac-ekvationen ). I det relativistiska övervägandet används ovanstående spinorrepresentation av Minkowski-utrymmet. Till exempel finns det en ganska enkel spinorrepresentation av Maxwells ekvationer .

Vid låga hastigheter används 3-dimensionella spinorer.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Van der Werden B. L. Metod för gruppteori i kvantmekanik , M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Fysikens grundläggande formler, red. D. Menzela, M., IL, 1957

Litteratur

Dirac P. Spinors i Hilbert space / Per. från engelska. — M.: Mir, 1978. — 126 sid.
Zhelnorovich VA Teorin om spinorer och dess tillämpning inom fysik och mekanik. — M.: Nauka, 1982. — 272 sid.
Zhelnorovich VA Teorin om spinorer och dess tillämpningar. — M.: August-Print, 2001. — 400 sid. — ISBN 5-94681-001-4
Cartan E. Theory of spinors / Per. från franska — M.: GIIL, 1947.
Penrose R. , Rindler W. Spinors and space-time. Volym 2 / Översättning från engelska. — M.: Mir, 1988. — 584 sid.
Rashevsky P. K. Theory of spinors. - Ed. 2:a. - M .: KomKniga, 2006. - 112 sid. — ISBN 5-484-00348-2
Rumer Yu. B. Spinor-analys. - M.-L.: ONTI, 1936. - 104 sid.
Yappa Yu. A. Introduktion till teorin om spinorer och dess tillämpningar i fysik: Lärobok / Ed. V. A. Franke. - St Petersburg. : St Petersburg State University, 2004. - 256 sid. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Länkar

[bse.sci-lib.com/article105279.html "Spin Calculus"] i TSB .