Kotelnikovs teorem

Kotelnikovs teorem (i engelsk litteratur -  Nyquist - Shannon - satsen , samplingssats ) - ett grundläggande uttalande inom området digital signalbehandling , som kopplar samman kontinuerliga och diskreta signaler och säger att "alla funktioner som består av frekvenser från 0 till , kan vara sänds kontinuerligt med vilken noggrannhet som helst med siffror som följer varandra på mindre än sekunder » [1] .

När vi bevisade satsen tog vi restriktioner på frekvensspektrumet , där [2] .

Förklaring

Denna tolkning betraktar det idealiska fallet när signalen startade oändligt länge sedan och aldrig slutar, och inte heller har brytpunkter i tidskaraktäristiken . Om en signal har diskontinuiteter av något slag som en funktion av sin tid, så försvinner inte dess spektrala kraft någonstans. Detta är exakt vad begreppet "ett spektrum begränsat uppifrån av en ändlig frekvens " betyder.

Naturligtvis har verkliga signaler (till exempel ljud på ett digitalt medium) inte sådana egenskaper, eftersom de är ändliga i tiden och vanligtvis har diskontinuiteter i den tidsmässiga egenskapen. Följaktligen är bredden på deras spektrum oändlig. I det här fallet är en fullständig återställning av signalen omöjlig, och följande följder följer av Kotelnikovs sats [3] [4] :

• vilken analog signal som helst kan återställas med vilken noggrannhet som helst från dess diskreta sampel, tagna med en frekvens , där  är den maximala frekvensen, som begränsas av den verkliga signalens spektrum;
• om den maximala frekvensen i signalen är lika med eller större än halva samplingsfrekvensen ( aliasing ), så finns det inget sätt att återställa signalen från diskret till analog utan distorsion [5] .

Mer allmänt säger Kotelnikovs teorem att en kontinuerlig signal kan representeras som en interpolationsserie:

var  är sinc-funktionen . Samplingsintervallet uppfyller begränsningarna . De momentana värdena i denna serie är diskreta sampel av signalen .

Historik

Även om teoremet i västerländsk litteratur ofta kallas Nyquist-satsen med hänvisning till verket " Certain topics in telegraph transmission theory " 1928 , talar vi i detta arbete endast om den erforderliga bandbredden för en kommunikationslinje för att sända en pulsad signal (repetitionen). hastigheten måste vara mindre än två gånger bandbredden). Sålunda, i samband med samplingssatsen, är det rimligt att bara tala om Nyquist-frekvensen. Ungefär samtidigt fick Karl Küpfmüller samma resultat [6] . Möjligheten till en fullständig rekonstruktion av den ursprungliga signalen från diskreta avläsningar diskuteras inte i dessa arbeten. Satsen föreslogs och bevisades av Vladimir Kotelnikov 1933 i hans arbete "Om överföringskapaciteten hos etern och tråden i telekommunikation", där i synnerhet en av satserna formulerades enligt följande [7] [8] : " Alla funktioner som består av frekvenser från 0 till , kan sändas kontinuerligt med valfri precision med hjälp av siffror som följer efter varandra i sekunder » . Oberoende av honom bevisades denna sats 1949 (16 år senare) av Claude Shannon [9] , varför denna sats i västerländsk litteratur ofta kallas Shannons sats. År 1999 erkände Eduard Rein International Science Foundation (Tyskland) Kotelnikovs prioritet genom att tilldela honom ett pris i nomineringen "för grundforskning" för den första matematiskt exakt formulerade och bevisade i aspekten av kommunikationsteknik samplingssatsen [10] . Historisk forskning visar dock att samplingssatsen, både när det gäller att hävda möjligheten att rekonstruera en analog signal från diskreta avläsningar, och när det gäller metoden för rekonstruktion, övervägdes i matematiska termer av många forskare tidigare. I synnerhet den första delen formulerades redan 1897 av Borel [11] .

Variationer och generaliseringar

Därefter föreslogs ett stort antal olika metoder för att approximera signaler med ett begränsat spektrum, och generalisera samplingssatsen [12] [13] . Så istället för en kardinalserie i sinc-funktioner , som är skiftade kopior av impulssvaret för ett idealiskt lågpassfilter, kan du använda serier i finita eller oändligt flerfaldiga faltningar av sinc-funktioner . Till exempel är följande generalisering av Kotelnikov-serien av en kontinuerlig funktion med ett ändligt spektrum giltig baserat på Fourier-transformerna av atomfunktioner [14] :

där parametrarna och uppfyller ojämlikheten och diskretiseringsintervallet:

Se även

• Whittaker-Shannon interpolationsformel
• Nyquist frekvens
• Digital huvudkanal
• Nollordningens extrapolator
• Första ordningens extrapolator
• Kvantisering (signalbehandling)
• Omsampling
• Samplingssatsen i frekvensdomänen

Anteckningar

1. ↑ Bikkenin, Chesnokov, 2010 .
2. ↑ Kotelnikov V. A. Om genomströmningen av eter och tråd i telekommunikation - All-Union Energy Committee. // Material för 1:a Allunionskongressen om teknisk rekonstruktion av kommunikationer och utvecklingen av lågspänningsindustrin, 1933. Reprint av artikeln i UFN, 176:7 (2006), 762-770.
3. ↑ John C. Bellamy. Digital telefoni. - Radio och kommunikation, 1986.
4. ↑ Gitlits M. V., Lev A. Yu. Teoretiska grunder för flerkanalskommunikation. - M .: Radio och kommunikation, 1985.
5. ↑ Ziatdinov S. I. / Rekonstruktion av signaler från hans prov baserat på samplingssatsen från Kotelnikovs arkivkopia av 25 februari 2015 på Wayback Machine . — Instrumentation (nr 5, 2010). — UDC 621.396:681.323.
6. ↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, nr. 11, sid. 459-467, 1928. (tyska); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, nr. 11, sid. 459-467. (Engelsk översättning).
7. ↑ Kotelnikov V. A. Om genomströmningen av "eter" och tråd i telekommunikation  // Uspekhi fizicheskikh nauk : Journal. - 2006. - Nr 7 . - S. 762-770 . Arkiverad från originalet den 23 juni 2013.
8. ↑ Kharkevich A. A. Spektra och analys - 4:e upplagan. - Moskva: URSS: LKI, 2007. - S. 89.
9. ↑ C.E. Shannon. Kommunikation i närvaro av buller. Proc. Institutet för radioingenjörer. Vol. 37. Nej. 1. S. 10-21. Jan. 1949.
10. ↑ På 100-årsdagen av akademikern Vladimir Alexandrovich Kotelnikovs födelse Arkivexemplar daterad 23 juni 2013 på Wayback Machine .
11. ↑ Erik Meijering. En kronologi av interpolation från antik astronomi till modern signal- och bildbehandling, Proc. IEEE, 90, 2002. doi : 10.1109/5.993400 .
12. ↑ Jerry A. J. Shannons samplingssats, dess olika generaliseringar och tillämpningar. Recension. - TIIER, vol 65, nr 11, 1977, sid. 53-89.
13. ↑ Khurgin Ya. I., Yakovlev V. P. Framsteg i Sovjetunionen inom området för teorin om ändliga funktioner och dess tillämpningar inom fysik och teknologi. - TIIER, 1977, v. 65, nr 7, sid. 16-45.
14. ↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. Digital signalbehandling baserad på Whittaker-Kotelnikov-Shannon-teoremet. - M .: Radioteknik, 2004.

Litteratur

• H. Nyquist . Vissa ämnen inom telegraföverföringsteori. Trans. AIEE, vol. 47, sid. 617-644, apr. 1928.
• Kotelnikov V. A. Om kapaciteten hos eter och tråd inom telekommunikation - All-Union Energy Committee. // Material för 1:a Allunionskongressen om teknisk rekonstruktion av kommunikationer och utvecklingen av lågspänningsindustrin, 1933. Reprint av artikeln i UFN, 176:7 (2006), 762-770.
• Bikkenin R. R., Chesnokov M. N. Teori om elektrisk kommunikation. - M . : Publishing Center "Academy", 2010. - 329 s. - ISBN 978-5-7695-6510-6 .

Länkar

• Kotelnikovs teorem på dsplib.org
• Sampling av analoga signaler En interaktiv presentation av tidssampling. Institutet för telekommunikation, universitetet i Stuttgart