Kanonkulproblemet

Problemet med kanonkulor ( eng. cannonball problem ) - problemet med att hitta antalet kanonkulor som kan läggas i ett lager i form av en kvadrat, och i form av en pyramid med en kvadrat vid basen, dvs. om att hitta kvadrattal som också är kvadratiska pyramidtal . Att hitta detta nummer handlar om att lösa den diofantiska ekvationen eller . Ekvationen har två lösningar: och , det vill säga en kanonkula, och och , det vill säga 4900 kanonkulor. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2))$ ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ $N=1$ $M=1$ $N=24$ $M=70$

Problemhistorik

Frågorna om att stapla kanonkulor var redan av intresse för Sir Walter Raleigh och hans samtida Thomas Harriot [1] , men i ovanstående form formulerades den 1875 av Edouard Lucas , som föreslog att det inte finns några andra lösningar än [2] . Partiella bevis erbjöds av Moret-Blanc (1876) [3] och Lucas själv (1877) [4] . Det första fullständiga beviset erbjöds av Watson (1918) [5] ; beviset använde elliptiska funktioner [6] . Ett annat bevis föreslogs av Ljunggren (1952) [7] med hjälp av Pells ekvation [8] . Bevis som endast använder elementära funktioner har föreslagits av Ma (1985) [9] och Anglin (1990) [10] [6] . $N=1$ $N=24$

Bevis

Watsons bevis

Watsons bevis [5] är baserat på observationen att av tre siffror , och ett måste vara delbart med 3; och antingen , eller måste vara jämnt; och att alla andra faktorer måste vara kvadrater. Således är sex alternativ möjliga: $N$ $N+1$ $2N+1$ $N$ $N+1$

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Men eftersom det bara kan ha rester 0 eller 2 när de divideras med 3, leder det första alternativet till en motsägelse. På samma sätt kan du utesluta de andra, tredje och fjärde alternativen. $2b^{2}$

Det femte alternativet leder till lösningen . Det är faktiskt bara möjligt för udda , och , det vill säga det finns heltal och sådana som eller . Detta leder dock till en motsägelse . Därför , det vill säga, och . Som visas av Gerono , och är de enda lösningarna av det sista ekvationssystemet [11] . Fallet är omöjligt eftersom ; fall leder till . Ett alternativt bevis på lösningens unika karaktär i detta fall använder det faktum att de enda lösningarna är och ges i kapitel 6.8.2 i Cohens bok [12] . $N=24$ ${\displaystyle N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2))$ $c$ ${\displaystyle (c-1)(c+1)=12a^{2))$ $d$ $e$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a =de$ $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a =de$ $c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2}$ $c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2}$ $c=1$ $c=7$ $c=1$ $N=0$ $c=7$ $N=24$ $N=24$ $y^{2}=8x^{4}+1$ $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3), \ (-1,\;-3)$

Beviset på frånvaron av icke-triviala lösningar i den sjätte varianten kräver användning av elliptiska funktioner. Den sjätte varianten kan faktiskt reduceras till formen . Istället för dessa ekvationer, anser Watson ett mer allmänt fall och visar att lösningarna av dessa ekvationer måste uppfylla , där är ett icke- negativt heltal, , , , och , , och är Jacobi elliptiska funktioner . Därefter bevisar Watson att är numeriskt lika med en endast om , det vill säga , och den enda möjliga lösningen i detta fall är . ${\displaystyle 2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2))$ $2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$ ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operatörsnamn {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ $r$ $\beta$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2))))$ $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\operatörsnamn {sn}$ $\operatörsnamn {cn}$ $\operatörsnamn {dn}$ $\operatörsnamn {sd}$ $Z$ $r=0$ $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ $N=1$

Bevis Ma

Beviset för det unika med ovanstående lösningar, föreslagit av Ma, är baserat på det konsekventa beviset för följande påståenden [12] :

Den enda jämna lösningen på kärnstaplingsproblemet är . I själva verket tillåter paritet att utesluta alternativ 1, 4 och 6 från Watsons bevis, alternativ 2 och 3 leder till en motsägelse (se Watsons bevis), och är den enda möjliga lösningen för alternativ 5. $(24,70)$ $n$ $(24,70)$
Låt . Sedan för icke-negativ , har formen endast för . $\alpha =2+{\sqrt {3)),\beta =2-{\sqrt {3)),M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/ 2$ $n$ $M_{n}$ $4x^{2}+3$ $n=2$
Det enda udda nummer som tillfredsställer kärnstaplingsproblemet är . Faktum är att, på samma sätt som Watsons bevis, måste udda uppfylla alternativ 6, det vill säga . Eftersom för alla , och , gäller detta också för . Ersätter och istället för och får vi , det vill säga . Eftersom det genererar en grupp enheter finns det sådana att , där definieras ovan, och . Eftersom det är positivt, och per definition . Av föregående lemma, , det vill säga, och . $N$ $N=1$ $N$ ${\displaystyle N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2))$ $x$ $(4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1$ $4x+3=2(2x+1)+1$ $N$ $2b^{2}$ $3c^{2}$ $x+1$ $2x+1$ $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ $2 + \sqrt{3}$ $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ $n\in \mathbb {Z}$ $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ $M_{n}$ $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ $M_{n}$ $M_{n}=6c^{2}+1$ $a$ $M_{n}=4a^{2}+3$ $n=2,M_{n}=7$ $a=1$ $n=1$

Detaljer om beviset ges i kapitel 6.8.2 i Cohens bok [12] .

Generaliseringar av problemet

Med undantag för ett trivialt fall finns det inget antal kanonkulor som skulle kunna läggas i form av en pyramid med en kvadrat vid basen, och som samtidigt skulle vara en kub, den fjärde eller femte potensen av en naturlig nummer [13] . Dessutom gäller samma sak för staplingen av kärnor i form av en vanlig tetraeder [13] . $N=1$

En annan generalisering av problemet är frågan om att hitta antalet kärnor som kan placeras i form av en kvadrat och en stympad pyramid med en kvadrat vid basen. Det vill säga att leta efter på varandra följande kvadrater (inte nödvändigtvis från 1) vars summa är en kvadrat. Det är känt att mängden av sådana är oändlig, har en asymptotisk densitet på noll, och för , som inte är kvadrater, finns det oändligt många lösningar [8] . Antalet element i uppsättningen som inte överstiger uppskattas till . De första elementen i uppsättningen och motsvarande minsta värden som är en kvadrat ges i följande tabell [8] : $n$ $S$ $n$ $n$ $N(x)$ $S$ $x$ $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ $n$ $S$ $a$ ${\displaystyle \sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2))$

n	2	elva	23	24	26	33	47	49	femtio	59
a	3	arton	7	ett	25	7	539	25	7	22

För och lösningen är en pytagoreisk trippel . För och lösningen är ovanstående lösning av problemet med att stapla kanonkulor. Sekvensen av mängdelement är sekvensen A001032 i OEIS [14] . $n=2$ $a=3$ $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ $n=24$ $a=1$ $S$

En annan generalisering av problemet övervägdes av Kaneko och Tachibana [15] : istället för frågan om likheten mellan summan av de första kvadrattalen och ett annat kvadrattal, övervägde de frågan om likheten mellan summan av de första polygontalen och ett annat polygonalt tal och visade att det för alla finns oändligt många sekvenser av de första -gonala talen så att deras summa är lika med ett annat polygonalt tal, och att det för alla finns ett oändligt antal -gonala tal som kan representeras som summan av sekvenser av de första polygonala talen. Dessutom fastställde Kaneko och Tachibana att för alla naturliga tal gäller följande relationer: $m\geqslant 3$ $m$ $n\geqslant 3$ $n$ $k$

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

där är -th -coal number, och är -th -coal pyramidal number , det vill säga summan av de första -kolnumren [15] . $G_{m}(n)$ $n$ $m$ $Pyr_{m}(n)$ $n$ $m$ $n$ $m$

Samband med andra områden inom matematiken

En icke- trivial lösning leder till konstruktionen av Leach-gittret (som i sin tur är förknippat med olika områden inom matematik och teoretisk fysik - bosonisk strängteori , monster ). Detta görs med hjälp av ett jämnt unimodulärt gitter i ett 25+1-dimensionellt pseudo-euklidiskt utrymme . Betrakta vektorn för detta gitter . Eftersom och är en lösning på problemet med att stapla kanonkulor, är denna vektor ljusliknande , , varav det särskilt följer att den tillhör sitt eget ortogonala komplement . Enligt Conway [16] [17] tillåter vektorn en att konstruera ett Leach-gitter $N=24$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ $N=24$ $M=70$ $w\cdot w=0$ ${\displaystyle w^{\bot ))$ $w$

som en faktoruppsättning , som är korrekt definierad på grund av ljuslikhet ; $(w^{\bot}\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ $w$
som mängden av alla vektorer så att . Sådana vektorer utgör uppsättningen av så kallade fundamentala rötter av gittret . I alla fall när det på detta sätt är möjligt att konstruera en uppsättning fundamentala rötter av ett jämnt unimodulärt gitter i ett pseudo-euklidiskt utrymme , kan man alltid använda en heltalsvektor med rymdkomponenter i följd från noll; och för att denna uppsättning ska bilda ett gitter måste denna vektor vara ljusliknande. Och eftersom det är den enda icke-triviala lösningen på problemet med att stapla kanonkulor, så är det 24-dimensionella Leach-gittret det enda gittret som kan erhållas på detta sätt från . $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ $\mathrm {II} _{25,1}$ $\mathrm {II} _{n,1}$ $N=24$ $\mathrm {II} _{n,1}$

Se även

Tät packning av lika sfärer

Anteckningar

↑ David Darling. Kanonkulproblem . The Internet Encyclopedia of Science . Hämtad 6 juli 2017. Arkiverad från originalet 23 december 2017. (obestämd)
↑ Edouard Lucas. Fråga 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1875. - Utgåva. 14. - S. 336.
↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Fråga 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1876. - Utgåva. 15. - S. 46-48.
↑ Edouard Lucas. Fråga 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1877. - Utgåva. 15. - S. 429-432.
↑ 1 2 G. N. Watson. Problemet med den fyrkantiga pyramiden. // Messenger Math. - 1918. - Utgåva. 48. - S. 1-22.
↑ 1 2 Eric W. Weisstein. Kanonkulproblem . _ MathWorld - En Wolfram webbresurs . Hämtad 6 juli 2017. Arkiverad från originalet 18 juli 2017.
↑ W. Ljunggren. Ny lösning av ett problem föreslagit av E. Lucas // Norsk Mat. Tid.. - 1952. - Nummer. 34. - S. 65-72.
↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Olösta problem i talteori / KA Bencsath, PR Halmos. — 3:a. — Springer. - S. 223-224. — 454 sid. — (Problemböcker i matematik). - ISBN 978-1-4419-1928-1 .
↑ D. G. Ma. Ett elementärt bevis på lösningarna till den diofantiska ekvationen . // Sichuan Daxue Xuebao. - 1985. - Utgåva. 4. - S. 107-116. $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$
↑ W. S. Anglin. Det fyrkantiga pyramidpusslet. //Amer. Matematik. En gång i månaden. - 1990. - Utgåva. 97. - S. 120-124.
↑ C.-C. Gerono. Demonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton // Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. - 1857. - T. 16. - S. 237-240.
↑ 1 2 3 Henri Cohen. talteori. - 2007: Springer. - s. 424-427. — 653 sid. - ISBN 978-0-387-49922-2 .
↑ 1 2 Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurnummer. - Singapore: World Scientific, 2012. - S. 98. - 456 sid. — ISBN 981-4355-48-8 .
↑ NJA Sloane . A001032 Tal n så att summan av kvadraterna av n på varandra följande heltal ≥ 1 är en kvadrat. (engelska) . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Hämtad 10 juli 2017. Arkiverad från originalet 30 juli 2017.
↑ 1 2 Masanobu Kaneko och Katsuichi Tachibana. När är ett polygonalt pyramidtal återigen polygonalt? : [ engelska ] ] // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 2002. - T. 32, nr 1. - S. 149-165.
↑ JH Conway. Automorfismgruppen i det 26-dimensionella till och med unimodulära Lorentziska gittret // Journal of Algebra. - 1983. - Vol. 80. - S. 159-163. - doi : 10.1016/0021-8693(83)90025-X .
↑ JH Conway, NJA Sloane. 26. Lorentziska Former för Leech Lattice. 27. Automorfismgruppen av det 26-dimensionella Lorentziska gittret // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3:e uppl. - Springer-Verlag New York, 1999. - ISBN 978-1-4757-6568-7 , 978-0-387-98585-5.