Routh ekvationer

Routh-ekvationerna är differentialekvationer för rörelse för ett mekaniskt system med idealiska tvåvägs holonomiska begränsningar .

Föreslog av E. J. Routh 1876 [1] i samband med hans metod att eliminera cykliska koordinater från rörelseekvationerna [2] . De är en sorts kombination av Lagranges ekvationer av det andra slaget och Hamiltons ekvationer .

Rita upp Rouths ekvationer

Om i Lagrangekvationerna av det andra slaget tillståndsvariablernas roll spelas av Lagrangevariablerna (generaliserade koordinater och generaliserade hastigheter ), och i Hamiltons ekvationer - av Hamiltonvariablerna (generaliserade koordinater och generaliserade momenta ), då är Routh tillvägagångssätt tillhandahåller underindelning av de generaliserade koordinaterna (liksom de motsvarande generaliserade impulserna) i två grupper och en beskrivning av det mekaniska systemets tillstånd med hjälp av Routh-variablerna [3] : $q_{_{i))$ ${\dot {q_{_{i))))$ $q_{_{i))$ $p_{_{i))$

q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1))))),\dots ,{\dot {q_{_{r }}}},\,p_{_{r+1}},\dots ,p_{_{s}}\,\,;

här är antalet frihetsgrader, . Generaliserade impulser definieras på vanligt sätt - som partiella derivator av Lagrange-funktionen , där är tid, med avseende på generaliserade hastigheter: $s$ $r\leqslant s$ $p_{_{i))$ $L\,=\,L\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))),\dots ,{\dot {q_{_{s}}}},\,t)$ $t$

(*)\qquad p_{_{i}}\;=\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{_{i}}}}}}\,,\ qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s\,\,.

Relationerna som just skrivits ner är ett ekvationssystem för den andra gruppens generaliserade hastigheter. I det fall då det mekaniska systemet är naturligt , dvs. Lagrange- funktionen introduceras [ 4 ] som skillnaden , visar sig ekvationssystemet vara ett system av linjära algebraiska ekvationer. $sr$ $L\,=\,T-\Pi$ $T$ $\Pi$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),t)$ $\Pi \,=\,\Pi \,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))), \dots ,{\dot {q_{_{s}}}},\,t)$ $(*)$

Vidare antas det att ekvationssystemet är unikt lösbart med avseende på den andra gruppens generaliserade hastigheter. För naturliga system kommer detta alltid att vara fallet, eftersom determinanten för ett system av linjära ekvationer är en av huvudminorerna i matrisen som består av systemets tröghetskoefficienter , men den senare är positivt definierad [5] , så att dess huvudsakliga minderåriga är positiva enligt Sylvester-kriteriet och därför inte är noll. För icke-naturliga system betraktas det antagande som gjorts [4] som ett ytterligare krav som ställs på funktionen . $(*)$ $L$

Under dessa antaganden, för att komponera Routh-ekvationerna, finner man [6] [7] ett explicit uttryck för Routh-funktionen (Rouse själv kallade den [8] "den modifierade Lagrange-funktionen")

R\;=\;L\,-\sum _{i=r+1}^{s}p_{_{i}}{\dot {q_{_{i}}}}

genom Routh-variabler och tid:

R\;=\;R\,(q_{_{1)),\dots ,q_{_{s)),\,{\dot {q_{_{1)))),\dots ,{\dot {q_{_{r}}}},\,p_{_{r+1}},\dots ,p_{_{s}}\,t)

(för vilka de generaliserade hastigheterna är exkluderade, med hjälp av relationerna , från det ursprungliga uttrycket för ), varefter dessa ekvationer skrivs [9] [10] : ${\dot {q_{_{r+1)))),\dots ,{\dot {q_{_{s))))$ $(*)$ $R$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\dots ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i))))\,,\qquad {\frac ({\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\ ;{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,+\,Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\dots ,s;

här är generaliserade icke-potentiella krafter [11] . Giltigheten av Routh-ekvationerna kan verifieras genom att utsätta Lagrangekvationerna av det andra slaget för enkla transformationer [9] [12] . $Q\,'_{_{i}}$

Routh-ekvationerna har en lagrangisk form för de generaliserade koordinaterna för den första gruppen och en Hamiltonsk form för koordinaterna för den andra gruppen. Vid , Routh-ekvationerna reduceras till Lagrange-ekvationerna av det andra slaget , och vid , de passerar (om vi introducerar Hamilton-funktionen genom jämlikheten ) till Hamiltons ekvationer [13] . $r=0$ $r=s$ $H$ $H=-R$

Tillämpning av Routh-ekvationerna

Metod för eliminering av cykliska koordinater

Huvudtillämpningen av Routh-ekvationen finns inom ramen för den metod som föreslagits av honom för att eliminera cykliska koordinater från rörelseekvationerna ( termen "Rouss-procedur för att ignorera cykliska koordinater" används också [14] [15] ). Routh själv hänvisade till cykliska koordinater som "saknade koordinater"; termen "cykliska koordinater" introducerades [16] 1884 av G. Helmholtz [17] .

Låt koordinaterna vara cykliska , d.v.s. för följande villkor är uppfyllda [15] : $q_{_{r+1}},\dots ,q_{_{s}}$ $i\,=\,r+1,\dots ,s$

Routh-funktionen är inte beroende av dem: (detta tillstånd motsvarar [18] att vara oberoende av Lagrange-funktionen eller Hamilton-funktionen); ${\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\,=\,0$ $q_{_{i))$
generaliserade icke-potentiella krafter som motsvarar dessa koordinater är lika med noll: ; $Q\,'_{_{i}}\,=\,0$
generaliserade icke-potentiella krafter som motsvarar andra generaliserade koordinater (de senare kallas [19] positionella ) är inte beroende av cykliska koordinater: . ${\frac {\partial Q\,'_{_{k))}{\partial q_{_{i))))\,=\,0,\;\;k\,\,= \,\,1,\dots ,r$

I detta fall är rörelseekvationerna för ett mekaniskt system sammansatta i form av Routh-ekvationerna, där den första gruppen av generaliserade koordinater bildas av positionskoordinater och den andra gruppen bildas av cykliska. I det här fallet tar de sista Routh-ekvationerna formen $sr$

{\frac {{\rm {d}}p_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;0\,,\qquad i\,\,= \,\,r+1,\dots ,s,

så att de generaliserade impulserna från den andra gruppen visar sig vara konstanta:

p_{_{i}}\;=\;\beta _{_{i}}\;=\;{\rm {const}}\,,\qquad i\,\,=\,\ ,r+1,\dots ,s.

Konstanterna kan hittas från de initiala förhållandena. Efter att ha ersatt momentan i Routh-funktionen och de återstående Routh-ekvationerna med konstanter , är den första gruppen med Routh-ekvationer helt separerad från resten: $\beta _{_{i))$ $p_{_{i))$ $\beta _{_{i))$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\dots ,r.

Dessa ekvationer har samma form som Lagrangekvationerna av det andra slaget för ett nytt mekaniskt system med frihetsgrader och en sådan Lagrangefunktion : $r$ $L^{*}$

L^{*}(q_{_{1)),\dots ,q_{_{r)),\,{\dot {q_{_{1))))),\dots ,{\dot {q_{_{r}}}},\,t)\;=\;R\,(q_{_{1}}),\dots ,q_{_{s}}),\,{\dot {q_ {_{1}}}},\dots ,{\dot {q_{_{r}}}},\,\beta _{_{r+1}}),\dots ,\beta _{ _{s }},\,t)\,\,.

Således gör metoden för eliminering av cykliska koordinater det möjligt att reducera ordningen för rörelseekvationerna från till . Efter att ha integrerat det resulterande systemet kan beroendet av cykliska koordinater på tid erhållas [15] [20] med en enkel kvadratur: $2s$ $2r$

q_{_{i}}(t)\;=\;-\,\int \limits _{t_{_{0}}}^{t}\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,\,{\rm {d}}t\,\,+\,C_{_{i}}\,,\qquad i\,\,=\, \,r+1,\dots ,s.

Om det sista av de tre villkoren som måste uppfyllas av cykliska koordinater inte är uppfyllt, talar man om pseudocykliska koordinater . I detta fall leder tillämpningen av metoden för eliminering av cykliska koordinater till ekvationssystemet

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}\,{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q_{_{i}}}} }}\,-\,{\frac {\partial R}{\partial q_{_{i))))\;=\;Q\,'_{_{i}}\,,\qquad i\ ,\,=\,\,1,\dots ,r;

{\frac {{\rm {d}}q_{_{i}}}{{\rm {d}}t}}\;=\;-\,{\frac {\partial R}{ \partial p_{_{i}}}}\,,\qquad i\,\,=\,\,r+1,\dots ,s;

följaktligen, i detta fall, reduceras ordningen för rörelseekvationerna, men inte så signifikant - till [15] . $s+r$

Andra användningsområden

År 1884 använde G. Helmholtz Routh-ekvationerna i sin forskning inom termodynamiken [21] .

I slutet av XX-talet. V. F. Zhuravlev underbyggde ändamålsenligheten med att använda Routh-ekvationerna för att beskriva rörelsen hos mekaniska system med envägsbegränsningar, när stötinteraktioner kan ske . I det här fallet låter apparaten för Routh-ekvationerna dig skriva rörelseekvationerna i en form som inte innehåller singulariteter som deltafunktioner [22] .

Anteckningar

↑ Petkevich, 1981 , sid. 358-359.
↑ Golubev, 2000 , sid. 564.
↑ Markeev, 1990 , sid. 249.
↑ 1 2 Markeev, 1990 , sid. 240.
↑ Kilchevsky, 1977 , sid. 130.
↑ Golubev, 2000 , sid. 565.
↑ Kilchevsky, 1977 , sid. 348-349.
↑ Routh, vol. I, 1983 , sid. 361.
↑ 1 2 Kilchevsky, 1977 , sid. 349.
↑ Golubev, 2000 , sid. 565-566.
↑ I litteraturen finns det andra alternativ för att skriva Routh-ekvationerna: de ändrar antingen rollerna för koordinaterna för den första och andra gruppen, eller ändrar tecknet för Routh-funktionen (vi följde Routh när vi valde tecknet för den "förändrade Lagrange funktion”).
↑ Zhuravlev, 2001 , sid. 127.
↑ Kilchevsky, 1977 , sid. 349-350.
↑ Kilchevsky, 1977 , sid. 351.
↑ 1 2 3 4 Zhuravlev, 2001 , sid. 128.
↑ Helmholtz, H. von Principien der Statik monocyklischer Systeme // Borchardt-Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1884, 97 . - S. 111-140.
↑ Lanczos K. Variationsprinciper för mekanik. — M .: Mir, 1965. — 408 sid. - S. 151.
↑ Markeev, 1990 , sid. 276.
↑ Markeev, 1990 , sid. 351.
↑ Kilchevsky, 1977 , sid. 350.
↑ Petkevich, 1981 , sid. 359.
↑ Zhuravlev, Fufaev, 1993 , sid. 88-89.

Litteratur

Golubev Yu. F. Grunderna i teoretisk mekanik. 2:a uppl. - M . : Moscows förlag. un-ta, 2000. - 719 sid. — ISBN 5-211-04244-1 .
Zhuravlev VF Grunderna i teoretisk mekanik. 2:a uppl. - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 sid. — ISBN 5-94052-041-3 .
Zhuravlev V. F. , Fufaev N. A. Mekanik av system med icke-behållande begränsningar. — M .: Nauka, 1993. — 240 sid. — ISBN 5-02-006784-9 .
Kilchevsky N.A. Kurs i teoretisk mekanik. T. II. — M .: Nauka, 1977. — 544 sid.
Markeev A.P. Teoretisk mekanik. — M .: Nauka, 1990. — 416 sid. — ISBN 5-02-014016-3 .
Petkevich VV Teoretisk mekanik. — M .: Nauka, 1981. — 496 sid.
Raus, E. J. Dynamik i ett system av stela kroppar. T. I. - M . : Nauka, 1983. - 464 sid.
Targ S. M. Routh ekvation // Physical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (vol. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .