Projektion (geometri)

Projektion ( lat.  projectio  - "kastas framåt") är:

1. bilden av en tredimensionell figur på det så kallade bild(projektions) planet på ett sätt som är en geometrisk idealisering av de optiska mekanismerna syn , fotografi , camera obscura . Med begreppet projektion menas i detta sammanhang även metoden att konstruera en sådan bild och de tekniker som denna metod bygger på. Används i stor utsträckning inom teknisk grafik , arkitektur , målning och kartografi . Studiet av metoder för att konstruera projektioner som ingenjörsdisciplin behandlar deskriptiv geometri ;
2. en generalisering av projektion i dess första betydelse (mer exakt, en generalisering av dess variation - parallell projektion ) för att visa punkter, figurer, vektorer av rymd av vilken dimension som helst på dess delrum av vilken dimension som helst: till exempel förutom projektion av punkter av tredimensionellt utrymme på ett plan, kan det finnas en projektion av punkter i det tredimensionella rummet på en rät linje, punkter i ett plan på en linje, punkter i ett 7-dimensionellt utrymme på dess 4-dimensionella delrum, etc. , såväl som projektionen av en vektor på vilket delrum som helst av det ursprungliga rummet, särskilt på en linje eller på en vektors riktning (definitionen av den skalära produkten i euklidiska är associerad med det senare rummet ). Projektion i denna mening finner bred tillämpning i förhållande till vektorer (både i ett elementärt sammanhang och i ett abstrakt), när man använder kartesiska koordinater , etc.

Allmän definition

En kartläggning av ett utrymme in i sig själv kallas en projektion om denna avbildning är idempotent , det vill säga dess sammansättning med sig själv är lika med eller för alla .

Projektion från tredimensionellt rum på ett plan

Projektionsmetoden för att avbilda objekt är baserad på deras visuella representation. Om du förbinder objektets alla punkter med raka linjer (projektionsstrålar) med en konstant punkt O (projektionscentrum), i vilken observatörens öga är tänkt , då vid skärningspunkten mellan dessa strålar med vilket plan som helst, en projektion av alla punkter av objektet erhålls. Således får vi en perspektivbild av ett objekt på ett plan, eller en central projektion .

Om projektionscentrum är oändligt långt från bildplanet, så talar de om en parallell projektion ; dessutom, om projektionsstrålarna faller vinkelrätt mot planet - då om ortogonal projektion , och om snett - ungefär snett .

Om projektionsplanet inte är parallellt med något av det  rektangulära systemets koordinatplan är detta en axonometrisk projektion .

• För någon av dessa projektioner övergår ett linjesegment till ett linjesegment (och i det degenererade fallet, när segmentet ligger på projektionsstrålen, till en punkt); en rät linje kan bli en rät linje eller en stråle. Denna egenskap förenklar avsevärt tillämpningen av projektion för visuella ändamål, särskilt i teknisk ritning , när objektet innehåller många rätlinjiga element: det räcker att projicera ändarna av segmenten och ansluta dem i ritningen med raka linjer.
• Ellipsen eller cirkeln förvandlas till en ellips (i det degenererade fallet till ett segment eller cirkel).

Projektion från ett godtyckligt utrymme på dess underrum

Projektion i denna mening (nämns i inledningen i stycke 2) används flitigt i linjär algebra (för mer information se: Projektion (linjär algebra) ), men i praktiken inte bara i ganska abstrakta sammanhang, utan även när man arbetar med vektorer av alla slag, dimensioner och grader av abstraktion, och även i elementär geometri, och även - mycket allmänt - när man använder rätlinjiga koordinater (som rektangulära eller affina ).

Separat bör vi nämna projektionen av en punkt på en linje och projektionen av en vektor på en linje (i en riktning).

Ortogonal projektion på linjen och på riktningen

Den mest använda projektionen är ortogonal.

Termen projektion i denna mening används både i förhållande till själva projektionsoperationen och i förhållande till dess resultat (under operationen att projicera på en linje kallas bilderna av en punkt, vektor, uppsättning punkter projektion av en punkt , vektor, uppsättning punkter på denna linje).

En elementär beskrivning av den ortogonala projektionen av en punkt på en linje handlar om att en vinkelrät ska sänkas från punkten till linjen, och dess skärning med linjen kommer att ge bilden av punkten (projektionen av punkten) på denna linje). Denna definition fungerar både på planet och i tredimensionellt rymd, och i rymden av vilken dimension som helst.

En elementär definition av projektionen av en vektor på en linje ges enklast genom att representera vektorn som ett riktat segment. Sedan kan dess början och dess slut projiceras på en rät linje, och ett riktat segment från projektionen av början till projektionen av slutet av den ursprungliga vektorn kommer att ge sin projektion på den räta linjen.

Projektionen av en vektor på en viss riktning brukar kallas ett tal som sammanfaller i absolut värde med längden av projektionen av denna vektor på den räta linjen som definierar denna riktning; talets tecken väljs så att det anses positivt när riktningen för denna projektion sammanfaller med den givna riktningen, och negativt när riktningen är motsatt.

• Den sista definitionen är mycket lätt att ersätta med en ekvivalent med hjälp av punktprodukten : om riktningen ges av en enhetsvektor e , så är projektionen av vilken vektor a som helst på denna riktning lika med punktprodukten a•e .
• Detsamma kan skrivas om , där  är längden på vektorn ,  är vinkeln mellan vektorn och riktningen till vilken projektionen söks.

Icke-ortogonal projektion till linjen och riktningen

Icke-ortogonal projektion används mer sällan, och även när den används, särskilt i elementära sammanhang, används termen inte alltid.

Det enklaste sättet att specificera en icke-ortogonal projektion på en linje är genom att specificera själva linjen och ett plan (i det tvådimensionella fallet en annan linje istället för ett plan; i fallet med ett n - dimensionellt utrymme, ett hyperplan av dimension ( n -1)) som skär linjen. Projektionen av en punkt definieras som skärningspunkten mellan planet (hyperplan) som innehåller denna punkt och parallellt med planet som definierar projektionen.

I fallet när planet (hyperplan) som definierar projektionen är ortogonalt mot linjen, får vi en ortogonal projektion (detta kan vara dess alternativa definition). Därför, för en egentlig icke-ortogonal projektion, måste man kräva att denna ortogonalitet saknas.

För en icke-ortogonal projektion av en vektor på en linje och på en riktning, erhålls definitionerna från den givna definitionen av projektionen av en punkt, på samma sätt som den beskrevs i stycket om ortogonal projektion.

• Det är sant att man måste komma ihåg att projektionen av en vektor på en rak linje eller på en riktning som standard fortfarande förstås som en ortogonal projektion.

Icke desto mindre kan begreppet icke-ortogonal projektion vara användbart (åtminstone om du inte är rädd för terminologisk förvirring) för att introducera sneda koordinater och arbeta med dem (genom dem, i princip, begreppet punktkoordinater och vektorkoordinater i detta fall kan enkelt definieras).

Projektion av en punkt på en uppsättning

Projektionen av en punkt v på en konvex mängd X är en punkt i mängden X så att [1]

Se även

• Projektor (matematik)

Anteckningar

1. ↑ Bazaraa, Sherali, Shetty, 2006 , formel 8.72, sid. 435.

Litteratur

• Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. V. Shetty. icke-linjär programmering. - Wiley-Interscience, 2006. - ISBN 0-471-48600-0 .
• Projektion // Small Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 4 volymer - St. Petersburg. , 1907-1909.
• Projektion - artikel från Great Soviet Encyclopedia . 
• Projektionsapparat, Fotoförstorare, Projektionsutskrift, Filmprojektionsapparat // Fotobioteknik: Encyclopedia / Kap. ed. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 sid.