Pareto effektiv distribution utan avund

Effektivitet och rättvisa är välfärdsekonomins två huvudmål . Givet en uppsättning resurser och en uppsättning agenter är målet att fördela resurser mellan agenterna på ett sådant sätt att det är Pareto - effektivt ( PE) och avundsfritt ( EF ) . Målet identifierades först av David Schmeidler och Menahem Yaari [1] . Senare bevisades förekomsten av sådana distributioner för olika förhållanden.

Förekomsten av STEP-distributionen

Vi kommer att anta att varje agent har en preferensrelation på uppsättningen av alla produktuppsättningar. Inställningar är kompletta, transitiva och stängda. På motsvarande sätt kan varje preferensrelation representeras av en kontinuerlig nyttofunktion [2] .

Svagt konvexa inställningar

Sats 1 (Varian) [3] : Om preferenserna för alla medel är konvexa och strikt monotona , så existerar en Pareto-effektiv avundsfri distribution (EPBZ-distribution).

Bevis : Beviset förlitar sig på förekomsten av en konkurrenskraftig jämvikt med lika inkomster. Antag att alla resurser i ekonomin delas lika mellan aktörer. Det vill säga, om ekonomins totala fond är lika med , får varje agent en initial fond på . $E$ $i\in 1,\dots ,n:$ $E_{i}=E/n$

Eftersom preferenser är konvexa , följer det av Arrow-Debreu-modellen att det finns en konkurrenskraftig jämvikt. Det vill säga, det finns en prisvektor och en partition av uppsättningen , för vilken $P$ $X$

(CE) Alla agenter maximerar användbarheten enligt budget. Det vill säga om , då . ${\displaystyle P\cdot Y\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i))$
(EI) Alla agenter har samma inkomst till jämviktspriser: för alla . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j))$

Med en sådan fördelning finns det alltid ingen avundsjuka. Bevis: efter villkor (EI) för alla . Därför, enligt villkor (CE) . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{j}\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle X_{j}\preceq _{i}X_{i))$

Eftersom preferenser är monotona är varje sådan fördelning också Pareto-effektiv, eftersom monotoni innebär lokal omättnad . Se välfärdsekonomins grundläggande teorem .

Exempel

Alla exempel använder två varor , x och y, och två agenter, Alice och Bob . I alla exempel är verktygen svagt konvexa och kontinuerliga.

S. Många EHP -tilldelningar: Den totala fonden är (4,4). Alice och Bob har linjära hjälpfunktioner representerade av substitut :

u_{A}(x,y)=2x+y

u_{B}(x,y)=x+2y

Observera att verktygen är svagt konvexa och strikt monotona. Det finns flera ESTP-distributioner. Om Alice får minst 3 enheter av produkt x, är hennes nytta 6 och hon är inte avundsjuk på Bob. På samma sätt, om Bob får minst 3 enheter av produkt y, är han inte avundsjuk på Alice. Således är fördelningen [(3,0);(1,4)] en EFSP med verktyg (6,9). Likaså är fördelningarna [(4,0);(0,4)] och [(4,0,5);(0,3,5)] EFFI. Å andra sidan är fördelningen [(0,0);(4,4)] Pareto-effektiv, men avund finns (Alice är avundsjuk på Bob). Med fördelningen [(2,2);(2,2)] finns det ingen avundsjuka, men den är inte Pareto-effektiv (verktyg är lika med (6,6), men de kan förbättras, till exempel till ( 8,8)).

B. I huvudsak en enda STEP-allokering: Totala medel är lika med (4.2). Alice och Bob har Leontief hjälpfunktioner som representerar kompletterande varor :

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

Observera att verktyg är svagt konvexa och endast svagt monotona. Det finns fortfarande en STEP-distribution. Samma fördelning [(2,1);(2,1)] är EVAP med hjälpvektor (1,1). Frånvaron av avund är uppenbar (vilken som helst identisk fördelning leder till frånvaro av avund). Angående Pareto-effektivitet, notera att båda agenterna bara önskar y, så det enda sättet för en agent att få nytta är att ta något från den andra agenten, men detta kommer att minska nyttan för den andra agenten. Även om det finns andra EOPS-distributioner, såsom [(1.5,1);(2.5,1)], har de alla samma nyttovektor (1,1), så det finns inget sätt för båda agenterna att få mer än 1 [ 4] .

Topologiska förhållanden på utrymmet för effektiva distributioner

EPBZ-distributioner existerar även om agenternas preferenser inte är konvexa. Det finns några tillräckliga villkor relaterade till formen på uppsättningen av distributioner som motsvarar särskilda verktygskonfigurationer. Givet en vektor av verktyg u, definiera A(u) = mängden av alla allokeringar för vilka verktygen är lika med u. Nedan finns flera satser föreslagna av olika författare:

Sats 2 (Varian) [5] : Antag att alla preferenser för alla agenter är strikt monotona . Om, för någon svagt Pareto-effektiv verktygskonfiguration u, mängden A(u) är singleton (det vill säga det finns inga två svagt Pareto-effektiva distributioner så att alla agenter inte skiljer mellan dem), så existerar en EPBZ-distribution.

Beviset använder Knaster-Kuravtosky-Mazurkiewicz lemma .

Notera : Villkoren i sats 1 och sats 2 är oberoende – ingen av dem följer av den andra. Men båda följer av den strikta konvexiteten av preferenser . Det är uppenbart att svag konvexitet följer av strikt konvexitet (sats 1). För att se att villkoret för sats 2 följer av det, anta att det finns två olika distributioner x och y med samma verktygskonfiguration u. Låt oss definiera z = x/2+y/2. Genom strikt konvexitet föredrar alla agenter starkt z framför x och y. Därför kan x och y inte vara svagt Pareto-effektiva.

Sats 3 (Svensson) [6] : Om preferenserna för alla agenter är strikt monotona och för några Pareto-effektiva verktyg u är mängden A(u) konvex, så finns det en EPBZ-fördelning.

Beviset använder Kakutanis fixpunktssats .

Obs : Om inställningarna för alla agenter är konvexa (som i sats 1), så kommer A(u) också att vara konvex. Dessutom, om A(u) består av ett element (som i sats 2), så är det uppenbarligen också konvext. Därför är Svenssons sats mer generell än Varians båda satser.

Sats 4 (Diamantaras) [7] : Om preferenserna för alla agenter är strikt monotona och för någon Pareto-effektiv nyttovektor u är mängden A(u) sammandragbar (kan kontinuerligt dras samman till en punkt), så finns det en EPBZ-fördelning .

Beviset använder fixpunktssatsen från Eilenberg och Montgomery [8] .

Notera: Alla konvexa mängder är sammandragbara, så Diamantaras sats är mer generell än de tre föregående.

Sigma-optimalitet

Svensson bevisade ytterligare ett tillräckligt villkor för förekomsten av EPBZ-distributioner. Låt återigen alla preferenser representeras av kontinuerliga hjälpfunktioner. Dessutom är alla nyttofunktioner kontinuerligt differentierbara i det inre av förbrukningsutrymmet.

Huvudkonceptet är sigma-optimalitet . Anta att vi skapar för varje agent k kopior med samma inställningar. Låt X vara fördelningen i den ursprungliga ekonomin. Låt Xk vara en fördelning i den k:te kopian, där alla kopior av samma agent får samma uppsättning fördelar som den ursprungliga agenten X. Fördelningen av X kallas sigma-optimal om för varje k fördelningen av Xk är Paretooptimal.

Lemma [9] : En fördelning är sigma-optimal om och endast om den är i jämvikt under konkurrens .

Sats 5 (Svensson) [10] : Om alla Pareto-optimala distributioner är sigma-optimala, så existerar EPBZ-distributioner.

Tillväxt av ytterligare inkomster

STEP-distributioner kanske inte existerar även om alla preferenser är konvexa om det finns produktion och tekniken har ökande inkrementella intäkter.

Proposition 6 (Vohra) [11] : Det finns ekonomier där alla preferenser är kontinuerliga, strikt monotona och konvexa, den enda källan till icke-konvexitet inom teknik är fasta priser, och det finns ingen STEP-distribution för dem.

Således representerar närvaron av ökande extra inkomster en grundläggande konflikt mellan effektivitet och frånvaro av avund.

Frånvaron av avund kan dock försvagas på följande sätt. En allokering X definieras som väsentligen avundsfri ( EEF ) om det för någon agent i finns en genomförbar allokering Yi med samma verktyg (alla agenter ser ingen skillnad mellan X och Yi) där agent i inte avundas någon. Det är uppenbart att all distribution utan avund är PBZ, eftersom vi kan ta X som Yi för vilken agent som helst i.

Sats 7 (Vohra) [11] : Antag att alla preferenser för agenter är strikt monotona och representeras av kontinuerliga nyttofunktioner. Sedan finns det en Pareto-effektiv distribution, mestadels utan avund.

Icke-existens av EPBZ-distributioner

Ickekonvexa inställningar

EPBZ-distributioner kanske inte existerar även utan produktion om preferenserna inte är konvexa.

Som ett exempel, anta att den totala fonden är (4,2), med Alice och Bob som har samma konkava verktygsfunktioner:

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

Med samma fördelning [(2,1);(2,1)] finns ingen avundsjuka, och nyttovektorn är lika med (2,2). Dessutom måste all allokering utan avund ge båda agenterna samma nytta (eftersom de har samma nyttofunktion) och dessa verktyg bör inte överstiga 2. Ingen sådan allokering är dock Pareto-effektiv, eftersom det är Pareto som domineras av distributionen [( 4 ,0);(0,2)], vars nyttovektor är lika med (4,2).

Det finns ingen distribution, även om vi reducerar bristen på avund till frånvaron av dominans — ingen agent får mer av varje vara än den andra agenten.

Proposition 8 (Maniquet) [12] : Det finns ekonomier med 2 produkter och 3 agenter med strikt monotona, kontinuerliga och till och med differentierbara nyttofunktioner där det finns en dominans av vilken Pareto-effektiv distribution som helst.

Hitta EPBZ-distributionen

För två agenter är proceduren för " inställning av vinnare " en enkel procedur som hittar en EPBZ-distribution med två ytterligare egenskaper - den är också opartisk och högst en resurs delas av två agenter.

För tre eller flera agenter med linjära hjälpfunktioner är alla Nash-optimala distributioner en EPBZ. Den optimala Nash-fördelningen är fördelningen som maximerar produkten av agenternas verktyg, eller motsvarande summan av logaritmerna för verktygen. Att hitta sådana distributioner är ett konvext optimeringsproblem

${\text{maximize}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~$ , om är en distribution, $(X_{1},\ldots ,X_{n})$

och kan därför hittas effektivt. Det faktum att varje Nash-optimal distribution är en EPBZ är sant även under de mer allmänna förhållandena för en rättvis kakskärning [13] .

Bevis : Tänk på en oändlig liten tårta Z. För varje agent i är det oändliga bidraget från Z till $\log(u_{i}(X_{i}))$

$u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i} (Z) \över u_{i}(X_{i})}$ .

Således ger Nash-optimalitetsregeln varje sådan del av Z till agenten j för vilken detta uttryck är störst:

$\forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \över u_{j}(X_{j}) }\geqslant {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$

Summering över alla infinitesimala delmängder av mängden X j ger oss

$\forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geqslant {u_{i}(X_{j} ) \över u_{i}(X_{i})}$

Av detta följer definitionen av en avundsfri distribution:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geqslant {u_{i}(X_{j)))))$

Se även

Wellers teorem om förekomsten av en avundsfri Pareto-effektiv distribution (EPBZ-distribution) för att skära kakan.
Andra relaterade satser av Hal Varian kan hittas i Varians artikel [14] .
Satserna om den fördelningsmässiga EFSP i en ekonomi med produktion kan hittas i Pikettys papper [15] .

Anteckningar

↑ Schmeidler, Yaari, 1971 .
↑ Varian, 1974 , sid. 79.
↑ Varian, 1974 , sid. 68.
↑ Observera att en liknande ekonomi dök upp i 1974 års tidning som ett exempel där STEP-distributionen inte existerar. Kanske var det bara ett stavfel - istället för "min" borde det ha varit "max", som i exempel C nedan. Se tråd för ekonomistackbyte
↑ Varian, 1974 , sid. 69.
↑ Svensson, 1983 , sid. 301–308.
↑ Diamantaras, 1992 , sid. 141–157.
↑ Eilenberg, Montgomery, 1946 , sid. 214–222.
↑ Svensson, 1994 , sid. 528.
↑ Svensson, 1994 , sid. 531.
↑ 1 2 Vohra, 1992 , sid. 185–202.
↑ Maniquet, 1999 , sid. 467–474.
↑ Segal-Halevi, Sziklai, 2018 .
↑ Varian, 1976 , sid. 249–260.
↑ Piketty, 1994 , sid. 391–405.

Litteratur

David Schmeidler, Menahem Yaari. rättvisa tilldelningar. — 1971. Opublicerad artikel, muntlig presentation - CORE (1969), Stanford, 1970
Hal Varian. Rättvisa, avundsjuka och effektivitet // Journal of Economic Theory. - 1974. - T. 9 . - doi : 10.1016/0022-0531(74)90075-1 .
Lars-Gunnar Svensson. Om förekomsten av rättvisa tilldelningar (engelska) // Zeitschrift für Nationalökonomie. - 1983. - September ( vol. 43 , utgåva 3 ). - s. 301-308. — ISSN 0044-3158 . - doi : 10.1007/BF01283577 .
Dimitrios Diamantaras. Om rättvisa med kollektiva nyttigheter // Socialt val och välfärd. - 1992. - Juni ( vol. 9 , nummer 2 ). — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00187239 .
Rajiv Vohra. Rättvisa och effektivitet i icke-konvexa ekonomier // Socialt val och välfärd. - 1992. - Juli ( vol. 9 , nummer 3 ). — S. 185–202 . — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00192877 .

Samuel Eilenberg, Deane Montgomery. Fixed Point Theorems for Multi-Valued Transformations // American Journal of Mathematics. - 1946. - T. 68 , nr. 2 . - doi : 10.2307/2371832 . — .
Lars-Gunnar Svensson. σ-Optimality and Fairness // International Economic Review. - 1994. - T. 35 , nr. 2 . - doi : 10.2307/2527068 . — .
Francois Maniquet. En stark inkompatibilitet mellan effektivitet och rättvisa i icke-konvexa ekonomier // Journal of Mathematical Economics. - 1999. - December ( vol. 32 , nummer 4 ). — ISSN 0304-4068 . - doi : 10.1016/S0304-4068(98)00067-6 .
Erel Segal-Halevi, Balazs R. Sziklai. Monotonicitet och konkurrenskraftig jämvikt i kakskärning // Ekonomisk teori. - 2018. - Maj. — ISSN 1432-0479 . - doi : 10.1007/s00199-018-1128-6 . - arXiv : 1510.05229 .
Hal R Varian. Två problem i teorin om rättvisa // Journal of Public Economics. - 1976. - V. 5 , nr. 3–4 . - doi : 10.1016/0047-2727(76)90018-9 .
Thomas Piketty. Förekomsten av rättvisa tilldelningar i ekonomier med produktion // Journal of Public Economics. - 1994. - November ( vol. 55 , nummer 3 ). — ISSN 0047-2727 . - doi : 10.1016/0047-2727(93)01406-Z .