Abelsk kategori

En Abelisk kategori  är en kategori där morfismer kan läggas till, och kärnor och kokkärnor finns och har vissa bekväma egenskaper. Ett exempel som blev prototypen för den Abeliska kategorin är kategorin Abelska grupper . Abelian kategoriteori utvecklades av Alexander Grothendieck för att kombinera flera kohomologiteorier. Klassen av Abeliska kategorier är stängd under flera kategoriska konstruktioner; till exempel är kategorin av kedjekomplex med element från en abelian kategori och kategorin av funktorer från en liten kategori till en abelian kategori också abelska.

Definition

En preadditiv kategori är Abelian om:

• det finns ett nollobjekt i den ,
• alla binära produkter och samprodukter finns ,
• alla kärnor och kokkärnor existerar,
• alla monomorfismer och epimorfismer är normala .

Denna definition är likvärdig [1] med följande definition "av delar": en preadditiv kategori är Abelian om den är additiv , alla kärnor och kokkärnor finns i den, och alla monomorfismer och epimorfismer är normala .

Det är viktigt att förekomsten av strukturen hos Abeliska grupper på uppsättningar av morfismer är en följd av fyra egenskaper från den första definitionen. Detta understryker den grundläggande rollen för kategorin abelska grupper i denna teori.

Exempel

• Kategorin av Abeliska grupper är Abelian. Kategorin av ändligt genererade Abeliska grupper är också Abeliska, liksom kategorin av ändliga Abelska grupper.
• Om  är en ring , är kategorin för vänster (eller höger) moduler över Abelian. Enligt Freud-Mitchell Embedding Theorem är vilken abelian kategori som helst likvärdig med en fullständig underkategori av kategorin moduler.
• Om är en vänster Noetherian  ring, då är kategorin av ändligt genererade vänster -moduler Abelian. Speciellt kategorin ändligt genererade moduler över en Noetherian kommutativ ring är Abelian.
• Om  är ett topologiskt utrymme , då är kategorin kärvar av Abeliska grupper på Abelian.

Grothendiecks axiom

I Sur quelques points d'algèbre homologique [2] föreslog Grothendieck flera ytterligare axiom som kan hålla i den abelianska kategorin .

• AB3) För varje uppsättning objekt i kategorin finns det en samprodukt . Detta axiom är ekvivalent med fullständigheten av en abeliaansk kategori [3] .
• AB4) uppfyller Axiom AB3) och biprodukten av en familj av monomorfismer är en monomorfism (det vill säga samprodukten är en exakt funktion ).
• AB5) uppfyller Axiom AB3) och de filtrerade kogränserna exakta sekvenser är exakta. På motsvarande sätt , för alla gitter av subobjekt av ett objekt och alla gitter av subobjekt av ett objekt , är det sant att

Axiomen AB3*), AB4*) och AB5*) erhålls från ovanstående axiom som dubbla till dem (det vill säga genom att ersätta kogränser med gränser ). Axiomen AB1) och AB2) är standardaxiom som finns i vilken Abelsk kategori som helst (mer exakt definieras en Abelisk kategori som en additiv kategori som uppfyller dessa axiom):

• AB1) Varje morfism har en kärna och en kokkärna.
• AB2) För varje morfism är den kanoniska morfismen från till en isomorfism. (Här ).

Grothendieck formulerar också de starkare axiomen AB6) och AB6*), men använder dem inte i denna artikel.

Historik

Begreppet en abeliaansk kategori föreslogs av Buxbaum 1955 ( han använde namnet "exakt kategori") och av Grothendieck 1957 . På den tiden fanns det en teori om kohomologi för kärvar på algebraiska varianter och en teori om kohomologi för grupper. Dessa teorier definierades olika, men hade liknande egenskaper. Grothendieck lyckades kombinera dessa teorier; båda kan definieras av härledda funktorer på den Abeliska kategorin av skivor respektive den Abeliska kategorin av moduler.

Anteckningar

1. ↑ Freyd, 1964 .
2. ↑ Grothendieck, 1957 .
3. ↑ Weibel, 1994 , s. 426-428.

Litteratur

• D.A. Buchsbaum. Exakta kategorier och dualitet // Transactions of the American Mathematical Society . - 1955. - T. 80 , nr 1 . — S. 1–34 . — ISSN 0002-9947 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 . — .
• Peter Freyd. Abeliska kategorier . - N.Y .: Harper och Row, 1964.
• A. Grothendieck. Sur quelques points d'algebre homologique  // The Tohoku Mathematical Journal. andra serien. - 1957. - T. 9 . — S. 119–221 . — ISSN 0040-8735 .
• Charles A. Weibel. En introduktion till homologisk algebra. — Cambridge University Press, 1994.